习题一：真空中的静电场习题详解

第1页共1页1真空中的静电场习题详解习题册-下-1习题一一、选择题1．如图所示，半径为R的圆环开有一小空隙而形成一圆弧，弧长为L，电荷均匀分布其上。空隙长为Q−(LLR)ΔΔ，则圆弧中心O点的电场强度和电势分别为[]（Ａ）200,44QLQiRLRπεπ−Δ−rε；（Ｂ）2200,84QLQiRLRπεπ−Δ−rε；（Ｃ）200,44QLQiRLRπεπΔrε；（Ｄ）200,44QLQLiRLRπεπε−Δ−ΔrL。xO答案：A解：闭合圆环中心场强为0，则圆弧产生的场强与空隙在圆心处产生的场强之和为0。由于空隙Δl非常小，可视为点电荷，设它与圆弧电荷密度相同，则所带电荷为，产生的场强为/QLL−Δ204QLiRLπεΔr，所以圆弧产生的场强为204OQLEiRLπε−Δ=rr；又根据电势叠加原理可得04OQURπε−=.2．有两个电荷都是＋q的点电荷，相距为2a。今以左边的点电荷所在处为球心，以a为半径作一球形高斯面。在球面上取两块相等的小面积S1和S2，其位置如图所示。设通过S1和S2的电场强度通量分别为1Φ和2Φ，通过整个球面的电场强度通量为SΦ，则［］（A）12,/Sq0εΦ；（B）ΦΦ=012,2/SqεΦ；ΦΦ=0SS12（C）12,/SqεΦ=ΦΦ=；（D）12,/Sq0εΦ。ΦΦ=答案：D解：由高斯定理知0Φ=Sqε。由于面积S1和S2相等且很小，场强可视为均匀。根据场强叠加原理，，所以。120,0EE=12Φ0,Φ0=3．半径为R的均匀带电球体的静电场中各点的电场强度的大小E与距球心的距离r的关系曲线为[]答案：BEOr(A)E∝1/r2REOr(B)E∝1/r2REOr(C)E∝1/r2REOr(D)E∝1/r2RE∝1/rqOq2ax1第2页共2页1真空中的静电场习题详解习题册-下-1解：由高斯定理知均匀带电球体的场强分布为()302041()4qrrRREqrRrπεπε⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩，所以选（B）。4．如图所示，一半径为a的“无限长”圆柱面上均匀带电，其电荷线密度为　。在它外面同轴地套一半径为b的薄金属圆筒，圆筒原先不带电，但与地连接。设地的电势为零，则在内圆柱面里面、距离轴线为r的P点的场强大小和电势分别为[]（A）00,ln2aEUrλε==π；（B）00,ln22bEUrrλλεε==ππ；（C）00,ln2bEUaλε==π；（D）00,ln2π2bEUraλλεε==πabrPλ。答案：C解：由高斯定理知内圆柱面里面各点E＝0，两圆柱面之间02πErλε=，则P点的电势为00d0ddln2π2babrrabUErrrraλλεε==+=π∫∫∫．在边长为a的正方体中心处放置一点电荷Q，设无穷远处为电势零点，则在正方体顶（A）5角处的电势为043Qaεπ；（B）023Qaεπ；（C）06Q012Qaεπaεπ；（D）。答案：B解：正方体中心到顶角处的距离32ra=，由点电荷的电势公式得004π23QQUraεε==π、填空题平行的无限长均匀带电直线，电荷线密度分别为二1．真空中两x1P2Pλ+λ−dd2dλ−和λ，点P1和P2与两带电线共面，位置如图，取向右为坐方向，则P标正1和P2两点的场强分别为和。答案：10Eiλ=dπεr；203Eiλdπε=−r。2第3页共3页1真空中的静电场习题详解习题册-下-102Eaλπε=解：无限电直长均匀带线，在空间某点产生的场强，方向垂直于带电直线沿径向向外（0λ）。式中a为该点到带电直线的距离。由场强叠加原理，P1，P2点的场强为两直线产生的场强的矢量和。在P1点，两场强以方向相同，均沿x轴正向；在P2点，两场强方向相反，所100022Eiiidddλλλπεπεπε=+=rrr；20230023Eiiidλλλπε=−=−×ddπεπεrrr2．一半径为R，长为L的均匀带电圆柱面，其单位长度带有λ。在带电圆柱的中垂面上有一P，它到轴线距离为，则P点的电场强度的大小：当时，点()rrRrLE=_____________；当rL时，E=_____________。答案：02rλπε；204Lrλπε。解：当时，rL带电体可视为无限长均匀带电圆柱面；当时，带电体可视为点电荷。，A点与B点间距离为2l，OCD是以B为中心，以l为半径的半圆路径。A、B处各放有一点电荷，电量分别为＋q和－q。若把单位rL3．如图两正电荷从O点沿OCD移到D点，则电场力所做的功为______________；把单位负电荷从D点沿AB延长线移到无穷远，电场力所做的功为_______________。答案：q+q−ABODl2Cllq06πε；lq06πε。解：电场功与无关力做路径。（1）0006qqql00044OqqUllπεπε−=+=434DUllπεπε−πε−=，=+，00()1066ODqqAQUUllπεπε⎛⎞−=−=×−=⎜⎟⎝⎠00()1066DqqAQUUllπεπ∞⎛⎞−′′=−=−×−（2）ε⎜⎟⎝⎠4．如图所示，两同心带电球面，内球面半m=q1q2r1r2径为15cr=，带电荷−=×；外球面半径为81310C，带电C。荷82610q−=−×q220cmr=3第4页共4页1真空中的静电场习题详解习题册-下-1设无穷远处电势为零，则在两球面间另一电势为零的球面半径r=__________。的均匀带电球面的电势分布为答案：10cm()()0044pqrRrUqrRRπεπε⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩解：半径为R。所以，当时，12rrr12qq，得cm10=r00244rUrrπεπε=+。令0rU=。知某静电场的电势分20Uxy=+−则场强分布5．已布为2xy，2281E=r_______________________________________。答案：()(ORoErdθdlθdxydqQ+Q−++++−−−−−−+−+)28241240Exyix=−−+−yj+rrr解：电场强度与电势梯度的关系为kzUjUiUEvvrvyx−∂∂−∂−=∂。由此可求得∂∂()()28241240Exyixyj=−−+−+rrr三、计算题．如图所示，真空中一长为L的均匀带电细直杆，总电荷为q，试求在直杆延长线上距P点的电场强度。1杆的一端为d的答案：()0qdL4dεπ+解：带电直杆的电荷线密度为/qLλ=。设坐标原点x处取一电荷元O在杆的左端，在/dqdxqdxLλ==，它在P点的场强为()()2200ddd44qqxELdxπε==LLdxπε+−+−总场强()2000d4()4LqxqELLdxdLdπεπε==++∫－方向沿x轴，即杆的延长线方向。2．如图所示，一半径为R的半圆环，半部均匀带电Q右+，半部均匀带电。问半圆环中心O点的电场强度大左Q−小为多少？方向如何？PLddqx(L+d-x)dEOx4第5页共5页1真空中的静电场习题详解习题册-下-1答案：220QRπε解：本题运用点电荷公式对电荷连续分布的带电体在空间产生的电场进行计算。，方向水平向左。如图所示，取电荷元2ddQqRRθπ=，则电荷元在中心O点产生的场强为022002d1d1d44QqERRθππεπε==由对称性可知。所以∫=0dOyE()2/2002222220000ddcos2cosdsin2OxQQEEE0QRRRππθθθθπεπεπε=====∫∫∫x−方向沿方向，即水平向左。．图示为一个均匀带电的球层，其电荷体密度为ρ，球层内表面半径（1）3为R1，外表面半径为R2。设无穷远处为电势零点，求该带电系统的场强分布和空腔内任一点的电势。答案：110()ErR=，33121220()()3rRERrRrρε−=，332132203RR()()ErR=；rρε−（2）()222102URRρε=−。解：（1）根据电场分布的球对称性，可以选以O为球心、半径为r的球面作高斯面，根据高斯定理即可求出：2int04/Erqπε⋅=。在空腔内（1rR）1E：，所以int0q=0=在带电球层内（12RrR）：33int14()3qrπρ=−，R331220()3rRErρε−=在带电球层外（）：2rR33int214()3qRRπρ=−，3321320()3RRErρε−=（2）空腔内任一点的电势为()12RR∞123333221212122000()()d0ddd332rrRRrRRRUErrrrRRrrρρρεεε∞−−==++=−∫∫∫∫还可用电势叠加法求空腔内任一点的电势。在球层内取半径为的薄球层，其电OR1R2rrdr→+量为2d4dqrrρπ=⋅5第6页共6页1真空中的静电场习题详解习题册-下-1dq在球心处产生的电势为00ddd4qrUrρrεε==π整个带电球层在球心处产生的电势为()212200200dd2RR1rrRRUUρρεε===−∫∫因为空腔内为等势区（0E=），所以空腔内任一点的电势U为()220202UURR1ρε==−4．两个带等量异号电荷的均匀带电同心球面，半径分别为10.03mR=和。已知两者的电势差为450V，求内球面上所带的电荷。20.10mR=答案：-92.1410C×解：设内球上所带电荷为Q，则两球间的电场强度的大小为204rQEεπ=(12RrR)两球的电势差221112200111d44RRRRQdrQUErrRεε⎛⎞===−⎜ππ⎝⎠∫∫2R⎟所以-9012122142.1410CRRUQRRεπ==×−5．一平面圆环，内外半径分别为R1，R2，均匀带电且电荷面密度为σ+。（1）求圆环轴线上离环心O为x处的P点的电势；（2）再应用场强和电势梯度的关系求P点的场强；（3）若令，则P点的场强又为多少？2R→∞O1RP2Ryx答案：（1）2222210()2PUx；RxRσε=+−+（2）2222012()2PxxExRxRσε=−++；（3）当，2R→∞2012pxE2xRσε=+。解：（1）把圆环分成许多小圆环。对半径为y，宽为dy的小圆环，其电量为2dqdsydyσσπ==，该带电小圆环在P点产生的电势为222200142dqydydUxyxσπεε==++y整个园环上的电荷在P点产生的电势6第7页共7页1真空中的静电场习题详解习题册-下-122112222212200()22RRpRRydyUdUxRxRxyσσεε===+−++∫∫（2）2222012()2PUxxExxRxRσε∂=−=−∂++，方向沿x正向；（3）当，2R→∞22012pxExRσε=+7