模糊数学方法在数学建模中的应用

模糊数学建模方法于鹏陕西科技大学理学院模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方法.众所周知，经典数学是以精确性为特征的.然而，与精确形相悖的模糊性并不完全是消极的、没有价值的.甚至可以这样说，有时模糊性比精确性还要好.例如,要你某时到某地去迎接一个“大胡子高个子长头发戴宽边黑色眼镜的中年男人”.尽管这里只提供了一个精确信息――男人，而其他信息――大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中年等都是模糊概念，但是你只要将这些模糊概念经过头脑的综合分析判断，就可以接到这个人.第一部分模糊数学基本概念1.1模糊集合的基本定义1.2模糊集合的截集1.3模糊关系1.4模糊等价关系与经典等价关系y§1.1模糊子集及其运算模糊子集与隶属函数设U是论域，称映射A(x)：U→[0,1]确定了一个U上的模糊子集A，映射A(x)称为A的隶属函数，它表示x对A的隶属程度.当映射A(x)只取0或1时，模糊子集A就是经典子集，而A(x)就是它的特征函数.可见经典子集就是模糊子集的特殊情形.12{,,,},niUxxxUAAx::模糊集合的表示方法：设论域是有限论域，上的模糊集其隶属函数为（）（i=1,2,,n)1212nnAxAxAxAxxx::::(1)扎德表示法（）（）（）1122(2){nnAxAxxAxxAx序偶表示法（，（）），（，（）），，（，（））::::L12111,1,2,,,(,,,)ninAAxAxAxainaaaa(3)向量表示法（（），（），，（））一般，若0则称为模糊向量.::::例1设论域U={x1(140),x2(150),x3(160),x4(170),x5(180),x6(190)}(单位：cm)表示人的身高，那么U上的一个模糊集“高个子”(A)的隶属函数A(x)可定义为140190140)(xxA100200100)(xxA也可用Zadeh表示法：65432118.06.04.02.00xxxxxxA6543219.08.06.042.02.015.0xxxxxxA例2古代史的分期（指划分奴隶社会和封建社会的界限）是模糊的，可表示为模糊集110.90.70.50.40.30.1A夏商西周春秋战国秦西汉东汉模糊集的运算相等：A=BA(x)=B(x)；包含：ABA(x)≤B(x)；并：A∪B的隶属函数为(A∪B)(x)=A(x)∨B(x)；交：A∩B的隶属函数为(A∩B)(x)=A(x)∧B(x)；余：Ac的隶属函数为Ac(x)=1-A(x).§1.2模糊集的基本定理(A)=A={x|A(x)≥}-截集：模糊集的-截集A是一个经典集合，由隶属度不小于的成员构成.例：论域U={u1,u2,u3,u4,u5,u6}(学生集)，他们的成绩依次为50,60,70,80,90,95，A=“学习成绩好的学生”的隶属度分别为0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,0.95，则A0.9(90分以上者)={u5,u6},A0.6(60分以上者)={u2,u3,u4,u5,u6}.§1.3模糊关系与模糊子集是经典集合的推广一样，模糊关系是普通关系的推广.设有论域X，Y，XY的一个模糊子集R称为从X到Y的模糊关系.模糊子集R的隶属函数为映射R:XY[0,1].并称隶属度R(x,y)为(x,y)关于模糊关系R的相关程度.特别地，当X=Y时，称之为X上各元素之间的模糊关系.模糊关系的运算由于模糊关系R就是XY的一个模糊子集，因此模糊关系同样具有模糊子集的运算及性质.设R，R1，R2均为从X到Y的模糊关系.相等：R1=R2R1(x,y)=R2(x,y)；包含：R1R2R1(x,y)≤R2(x,y)；并：R1∪R2的隶属函数为(R1∪R2)(x,y)=R1(x,y)∨R2(x,y)；交：R1∩R2的隶属函数为(R1∩R2)(x,y)=R1(x,y)∧R2(x,y)；余：Rc的隶属函数为Rc(x,y)=1-R(x,y).(R1∪R2)(x,y)表示(x,y)对模糊关系“R1或者R2”的相关程度，(R1∩R2)(x,y)表示(x,y)对模糊关系“R1且R2”的相关程度，Rc(x,y)表示(x,y)对模糊关系“非R”的相关程度.模糊关系的矩阵表示对于有限论域X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}，则X到Y模糊关系R可用m×n阶模糊矩阵表示，即R=(rij)m×n，其中rij=R(xi,yj)∈[0,1]表示(xi,yj)关于模糊关系R的相关程度.模糊关系的合成设R1是X到Y的关系,R2是Y到Z的关系,则R1与R2的合成R1°R2是X到Z上的一个关系.(R1°R2)(x,z)=∨{[R1(x,y)∧R2(y,z)]|y∈Y}当论域为有限时，模糊关系的合成化为模糊矩阵的合成.设X={x1,x2,…,xm},Y={y1,y2,…,ys},Z={z1,z2,…,zn}，且X到Y的模糊关系R1=(aik)m×s，Y到Z的模糊关系R2=(bkj)s×n，则X到Z的模糊关系可表示为模糊矩阵的合成：R1°R2=(cij)m×n，其中cij=∨{(aik∧bkj)|1≤k≤s}.§1.4模糊等价关系与经典等价关系模糊等价关系若模糊关系R是X上各元素之间的模糊关系，且满足：(1)自反性：R(x,x)=1；(2)对称性：R(x,y)=R(y,x)；(3)传递性：R2R,则称模糊关系R是X上的一个模糊等价关系.I≤R(rii=1)RT=R(rij=rji)R2≤R.模糊相似关系若模糊关系R是X上各元素之间的模糊关系，且满足：(1)自反性：R(x,x)=1；(2)对称性：R(x,y)=R(y,x)；则称模糊关系R是X上的一个模糊相似关系.当论域X={x1,x2,…,xn}为有限时，X上的一个模糊相似关系R就是模糊相似矩阵，即R满足：(1)自反性：I≤R(rii=1)；(2)对称性：RT=R(rij=rji).模糊等价关系与经典等价关系的联系 [0,1],RXRX若是上的模糊等价关系，当且仅当，是上的经典等价关系。第二部分模糊数学的基本应用2.1模糊聚类分析基础2.2模糊模式识别基础2.3模糊综合评判基础2.4模糊线性规划y§2.1模糊聚类分析数据标准化设论域X={x1,x2,…,xn}为被分类对象,每个对象又由m个指标表示其形状:xi={xi1,xi2,…,xim},i=1,2,…,n于是,得到原始数据矩阵为nmnnmmxxxxxxxxx.....................212222111211平移•标准差变换),...,2,1,,...,2,1(mjnisxxxjjijij其中nijijjniijjxxnsxnx121)(1,1平移•极差变换}1|min{}1|max{}1|min{nixnixnixxxijijijijij模糊相似矩阵建立方法相似系数法----夹角余弦法mkjkmkikmkjkikijxxxxr12121相似系数法----相关系数法mkjjkmkiikmkjjkiikijxxxxxxxxr12121)()(||||其中.1,111mkjkjmkikixmxxmx距离法rij=1–cd(xi,xj)其中c为适当选取的参数.海明距离mkjkikjixxxxd1||),(欧氏距离mkjkikjixxxxd12)(),(切比雪夫距离d(xi,xj)=∨{|xik-xjk|,1≤k≤m}具体的聚类过程在模糊聚类分析中，对于各个不同的∈[0,1]，可得到不同的分类，从而形成一种动态聚类图，这对全面了解样本分类情况是比较形象和直观的.(1)已知类别DNA序列的模糊分类提取已知类别的20个DNA序列的A,T,C,G的百分含量构成如下矩阵：X=(xij)20×4,其中xi1,xi2,xi3,xi4分别表示第个DNA系列中的A,T,C,G的百分含量.采用切比雪夫距离法建立模糊相似矩阵,然后用传递闭包法进行聚类,动态聚类图如下.(2)确定最佳分类将20个已知DNA序列分成如下3类为最佳：A1={1,2,3,5,6,7,89,10},A2={4,17},A3={11,12,13,14,15,16,18,19,20}.建立标准模型库：A1,A2,A3.(3)未知DNA序列的模糊识别采用格贴近度公式：0(A,B)=[A°B+(1-A⊙B)]/2,将隶属于A1的DNA序列归为A类,隶属于A3的DNA序列归为B类,隶属于A2的DNA序列归为非A,B类.§2.2模糊模型识别模型识别已知某类事物的若干标准模型，现有这类事物中的一个具体对象，问把它归到哪一模型，这就是模型识别.模糊模型识别所谓模糊模型识别,是指在模型识别中,模型是模糊的.也就是说,标准模型库中提供的模型是模糊的.模糊模型识别的类型（1）具体元素对模糊模型的识别问题。给定了标准模型库A1,A2,…,Am？问对象x属于上述模型库的哪一类?（2）模糊元素对模糊模型的识别问题。给定了标准模型库A1,A2,…,Am中的哪一类？问对象x属于上述模型库的哪一类?其中对象X本身就是模糊的。最大隶属原则最大隶属原则Ⅰ设论域X={x1,x2,…,xn}上有m个模糊子集A1,A2,…,Am(即m个模型),构成了一个标准模型库,若对任一x0∈X,有k∈{1,2,…,m},使得Ak(x0)=∨{A1(x0),A2(x0),…,Am(x0)}，则认为x0相对隶属于Ak.最大隶属原则Ⅱ设论域X上有一个标准模型A,待识别的对象有n个：x1,x2,…,xn∈X,如果有某个xk满足A(xk)=∨{A(x1),A(x2),…,A(xn)},则应优先录取xk.例细胞染色体形状的模糊识别细胞染色体形状的模糊识别就是几何图形的模糊识别,而几何图形常常化为若干个三角图形,故设论域为三角形全体.即X={(A,B,C)|A+B+C=180,A≥B≥C}标准模型库={E(正三角形),R(直角三角形),I(等腰三角形),I∩R(等腰直角三角形),T(任意三角形)}.某人在实验中观察到一染色体的几何形状，测得其三个内角分别为94,50,36,即待识别对象为x0=(94,50,36).问x0应隶属于哪一种三角形？先建立标准模型库中各种三角形的隶属函数.直角三角形的隶属函数R(A,B,C)应满足条件：(1)当A=90时,R(A,B,C)=1;(2)当A=180时,R(A,B,C)=0;(3)0≤R(A,B,C)≤1.因此，不妨定义R(A,B,C)=1-|A-90|/90.则R(x0)=0.955.或者.0,1,0,901),,(1pppCBARp其中p=|A–90|则R(x0)=0.54.正三角形的隶属函数E(A,B,C)应满足：(1)当A=B=C=60时,E(A,B,C)=1;(2)当A=180,B=C=0时,E(A,B,C)=0;(3)0≤E(A,B,C)≤1.因此，不妨定义E(A,B,C)=1–(A–C)/180.则E(x0)=0.677.或者.0,1,0,1801),,(1pppCBAEp其中p=A–C则E(x0)=0.02.等腰三角形的隶属函数I(A,B,C)应满足：(1)当A=B或者B=C时,I(A,B,C)=1;(2)当A=180,B=60,C=0时,I(A,B,C)=0;(3)0≤I(A,B,C)≤1.因此，不妨定义I(A,B,C)=1–[(A–B)∧(B–C)]/60.则I(x0)=0.766.或者.0,1,0,601),,(1pppCBAIpp=(A–B)∧(B–C)则I(x0)=0.10.等腰直角三角形的隶属函数(I∩R)(A,B,C)=I(A,B,C)∧R(A,B,C);(I∩R)(x0)=0.766∧0.955=0.766.任意三角形的隶属