曲边梯形面积与定积分PPT

1.4定积分与微积分基本定理第一节曲边梯形面积与定积分第二节定积分的计算第三节定积分的应用习题课引例1.求曲线y=x2与直线x=1,y=0所围成的区域的面积.xyo11解:将区间［0,1］等分为n个小区间:112110,,,,...,,,...,,.iinnnnnnnnn每个小区间的长度为：11iixnnn矩形的高：底：21in1xnxyo11解:将区间［0,1］等分为n个小区间:112110,,,,...,,,...,,.iinnnnnnnnn11iixnnn矩形的高：底：21in1xn矩形的面积：222211121110,,,...,.nnnnnnnnxyo11解:矩形的面积和：222211121110...nnSnnnnnnn222231[012...(1)]nn31(1)(21)6nnnn111(1)(2)6nn1xn,0nx00111limlim(1)(2)6nxxSSnn13引例2.弹簧在拉伸过程中,力与伸长量成正比,即力F(x)=kx(k是常数,x是伸长量).求弹簧从平衡位置拉长b所做的功.W=FxF(x)=kx将区间［0,b］n等分:解：bxn分点依次为：01212(1)0,,,...,,.nnbbnbxxxxxbnnn,nii+1i在分段[x,x]所用的力约为kx，所做的功:iiibWkxxkxn则从0到b所做的功W近似等于:111000nnniiiiiibbWkxxknn,n当得到弹簧从平衡位置拉长b所做的功为111000nnniiiiiibbWkxxknn22222[012...(1)](1)1(1)22kbnnkbnnkbnn210lim2ninikbWW10lim()niniSfxx引例2.弹簧在拉伸过程中,力与伸长量成正比,即力F(x)=kx(k是常数,x是伸长量).求弹簧从平衡位置拉长b所做的功.引例1.求曲线y=x2与直线x=1,y=0所围成的区域的面积.10lim()niniWfxx第一节定积分的概念一、引例曲边梯形的面积二、定积分的定义三、定积分的几何意义四、定积分的性质一、曲边梯形的面积abxyo)(xfy?A曲边梯形是指在直角坐标系中，由闭区间],[ba上的连续函数)0)(()(xfxfy，x轴以及直线ax，bx围成的平面图形，如图4-1，下面的任务是要计算这个曲边梯形的面积.图4-1abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）abxyoix1x1ix1nx求解曲边梯形面积的步骤：（1）分割：将曲边梯形分割成n个小曲边梯形.任取分点bxxxxann110，把底边],[ba分成n个小区间),,2,1(],[1nixxii.（2）近似替代：用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积。在第i个小区间上任取一点),,2,1(nii，作以],[1iixx为底，)(if为高的小矩形，用其面积近似代替第i个小曲边梯形的面积iA，),,2,1()(nixfAiiiabxyoiix1x1ix1nx（3）求和：把n个小矩形面积相加就得到曲边梯形面积A的近似值。即AniiA1niiixf1)(（4-1）（4）取极限：无限细分区间],[ba，并使所有小区间的长度趋于零。为此，记}{max1inix，当0时，和式（4-1）的极限值是曲边梯形的面积A，即niiixfA10)(lim（和式的极限）（4-2）步骤：分割，近似，求和，取极限类似想法、方法还有许多应用，比如在物理学里，已知一物体沿直线运动，速度)(tVV是时间t函数，计算在],[21TT这段时间内所经过的路程S。仿照上面方法：（１）分割：任取分点21101TttttTnn，把],[21TT分成n个小区间，每个小区间长为),,2,1(1nitttiiitOT1T2t0t1ti1tn1tn=iiiitvsni,,2,1第i段路程值第i段某时刻的速度（2）近似替代：把每小段],[1iitt上的运动视为匀速，任取时刻],[1iiitt，作乘积iitV)(，显然这小段时间所走路程iS可近似表示为：（3）求和：把n个小段时间上的路程相加，就得到总路程S的近似值，即niiiniitVSS11)(（4）取极限：当0}{max1init时，上述总和的极限就是S的精确值，即niiitVS10)(lim经过这四个步骤的分析计算，得到的结论是变速直线运动的物体在时间间隔],[21TT上的路程也是一个和式的极限。步骤：分割，近似，求和，取极限二、定积分的定义定义设函数)(xfy在区间],[ba上连续，在],[ba内任意插入n-1个分点bxxxxann110把区间],[ba分成n个小区间1[,](0,1,2,,1)iixxin记1(0,1,2,,1)iiixxxin，01max{}iinx在每个小区间1[,]iixx上任取一点i，做乘积()(0,1,2,,1)iifxin的和式：10()nniiiIfx如果无论对],[ba怎样分，也不论小区间],[1iixx上的点i怎样取，只要当0时，上述的极限存在，则称此极限值为函数)(xf在区间],[ba上的定积分，记为100()lim()nbiiaifxdxfxbadxxf)(被积函数被积表达式积分变量积分区间],[ba其中积分上限积分下限有了这个定义，前面两个实际问题都可用定积分表示为：曲边梯形面积badxxfA)(变速直线运动的路程21)(TTdttVS两点注意：（1）定积分为一确定常数，其值与被积函数，积分区间有关；与积分变量无关。即有bababaduufdttfdxxf)()()(。（2）补充定义：当ba时，badxxf0)(；当ab时，abbadxxfdxxf)()(。三、定积分的几何意义如果在],[ba上0)(xf时，定积分badxxf)(在几何上表示由曲线)(xfy，x轴以及直线ax，bx围成的曲边梯形的面积。如果在],[ba上0)(xf时，由曲线)(xfy，x轴以及直线ax，bx围成的曲边梯形位于x轴的下方，如图4-3所示，定积分badxxf)(在几何上表示上述曲边梯形的面积的负值。1A2A3A4A4321)(AAAAdxxfba如果在],[ba上)(xf即取正值又取负值时，函数)(xf的图形某些部分在x轴的上方，而其他部分在x轴的下方，如图4-4所示，则定积分badxxf)(可用四个曲边梯形面积的代数和表示尽管定积分badxxf)(在各种实际问题中的意义各不相同，但它的值在几何上都可以用曲边梯形的面积来表示.四、定积分的性质性质1被积函数的常数因子可以提到积分符号外面，即babadxxfkdxxkf)()(（k为常数）性质2函数的代数和的定积分等于它们的定积分的代数和，即bababadxxgdxxfdxxgxf)()()]()([这个性质对有限个函数的代数和也成立.性质3如果将区间[a，b]分成两个区间[a，c]及[c，b]，那么有bccabadxxfdxxfdxxf)()()(这个性质对区间分成有限个的情形也成立。性质4积分的上下限对换则积分变号，即abbadxxfdxxf)()(练习教材Ｐ３９习题课后小结本节要求学生理解定积分的概念，性质。教学重点为定积分的概念。