XX质量和环境手册

3.3Cauchy积分公式3.3.1.Cauchy积分公式3.3.2.解析函数的无穷可微性3.3.3Cauchy积分公式的应用定理3.11设区域D的边界是围线(或复围线)C,f(z)在D内解析,在=D+C上连续,则有：).()(21)(Dzdzfizfc这就是柯西积分公式.(3.15)D3.3.1Cauchy积分公式Dz3.3.2解析函数的无穷可微性定理3.13设区域D的边界是围线(或复围线)C,f(z)在D内解析,在=D+C上连续,则函数f(z)在区域D内存在各阶导数,并且有),2,1)(()()(2!)(1)(nDzdzfinzfcnnD定理3.14设f(z)在z平面上的区域D内解析,则在D内具有各阶导数,并且它们也在区D内解析.证设z0为D内任一点,将定理3.13应用于以z0为心的充分小的圆内(只要这个必圆全含于D内),即知f(z)它在此圆内有个阶导数.特别来说,f(z)在点z0有各阶导数.由于z0的任意性,所以f(z)在D内有各阶导数.这样,由函数在D内解析(注意:仅只假设其导数在D内存在!),就推出了其各阶导数在D内存在且连续:而数学分析中区间上的解析函数,在此区间上不一定有二阶导数,更谈不上有高阶导数了.借助解析函数的无穷可微性,我们现在来判断函数f(z)在区域D内解析的一个充分条件----定理2.5,补充证明成刻划解析函数的第二个等价定理:定理3.15函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析的充要条件是(1)ux,uy,vx,vy在D内连续;(2)u(x,y),v(x,y)在D内满足C.-R.条件.证充分性：即定理2.5.必要性：条件(2)的必要性以由定理2.1得出.现在,由于解析函数f(z)的无穷可微性,f’(z)必在D内连续,因而ux,uy,vx,vy必在D内连续.3.3.3Chauchy公式的应用①柯西不等式设f(z)在区域D内解析,a为D内一点,以a为心作圆周γ:|ζ-a|=R,只要γ及其内部K均含于D,则有,)(!|)(|)(nnRRMnaf其中M(R)=max|f(z)|,n=1,2,….|z-a|=R证应用定理3.13于K上,则有.)(!2.)(.2!|)()(2!||)(|11)(nnnnRRMnRRRMndafinaf刘维尔定理有界整函数f(z)必为常数.证设|f(z)|的上界为M,则在柯西不等式中,对无论什么样的R,均有M(R)≤M.于是n=1有上式对一切R均成立,让R+∞,即知f”(a)=0.而a是z平面上任意一点,故f(z)在z平面上的导函数为零.由第二张习题(一)6(1)知f(z)必为常数.,RM|)('|af代数学基本定理在z平面上,n次多项式至少有一个零点.)0()(0110aazazazpnnn证反证法,设p(z)在z平面上无零点.由于p(z)在z平面上是解析的,1/p(z)在z平面上也必解析.下面我们证明1/p(z)在z平面上有界.由于,0)(1lim,)(lim)(lim10zpzazaazzpznnnzz故存在充分大的正数R,使当|z|R时,|1/p(z)|1.又因1/p(z)在必圆|z|≤R上连续,故可设|1/p(z)|≤M(M为正常数),从而,在z平面上|1/p(z)|M+1,于是,1/p(z)在z平面上是解析且有界的.由刘维尔定理,1/p(z)必为常数,即p(z)必为常数.这与定理的假设矛盾.故定理得证.摩勒拉(Morera)定理定理3.16若函数f(z)在单连通区域D内连续,且对D内任一围线C,有则f(z)在D内解析.cdzzf,0)(证在假设条件下,根据定理3.7即知)()()(00DzdfzFzz在D内解析,且F’(z)=f(z)(z∈D).但解析函数F(z)的导数F’(z)还是解析的.即是说f(z)在D内解析.定理3.17f(z)在区域G内解析的充要条件是:(1)f(z)在G内连续;(2)对任一围线C,只要C及其内部全含于G内,就有cdzzf.0)(证必要性可由柯西定理3.3导出.至于充分性,我们可在G内任一点z0的一个邻域K:|ξ-z0|ρ内来应用定理3.16,只要ρ充分小,就知道f(z)在圆K内解析.特别说来,在z0解析,因为z0可在G内任意取,故f(z)在G内解析.