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5第一章离散时间信号与系统1.直接计算下面两个序列的卷积和)n(h*)n(x)n(y=请用公式表示。分析：①注意卷积和公式中求和式中是哑变量m（n看作参量），结果)(ny中变量是n,;)()()()()(∑∑∞−∞=∞−∞=−=−=mmmnxmhmnhmxny②分为四步（1）翻褶（-m），（2）移位（n）,（3）相乘，;)()(4nynnyn值的，如此可求得所有值的）相加，求得一个（③围的不同的不同时间段上求和范一定要注意某些题中在n000,01()0,,()0,nnnanNhnnnnxnnnβ−⎧≤≤−=⎨⎩⎧≤⎪=⎨⎪⎩其他6如此题所示，因而要分段求解。2.已知线性移不变系统的输入为)n(x,系统的单位抽样响应为)n(h,试求系统的输出)n(y,并画图。)(5.0)(,)1(2)()4()(5.0)(,)2()()3()()(,)()()2()()(,)()()1(3435nunhnunxnRnhnnxnRnhnRnxnRnhnnxnnn=−−==−=====δδ分析：①如果是因果序列)(ny可表示成)(ny={)0(y，)1(y，)2(y……}，例如小题（2）为)(ny={1，2，3，3，2，1};②)()(*)(,)()(*)(mnxnxmnnxnxn−=−=δδ;③卷积和求解时，n的分段处理。()∑∑∑+−=+−=−−+===−=−+≥nNnmmnnnNnmmnnmnnmmnhmxnyNnn111N-000)()()(,1)3(αββααβ全重叠时当()()()()βααβαβαβαββααβαβαβ==≠−−=−−=−−−+++−−,)(,1000111nnNNnNnnNnnnNny∑∞−∞=−==mmnhmxnhnxny)()()(*)()(:解0)()1(0=nynn时当,1)2(00部分重叠时当−+≤≤Nnnn()∑∑∑==−−===−=nnmmnnnnmmnnmnnmmnhmxny00000)()()(αββααβ()()βαβαβαβααβαβαβ≠−−=−−=−+−++−,10000111nnnnnnnn())(,1)(00βαα=−+=−nnnynn73.已知10,)1()(−−=−anuanhn，通过直接计算卷积和的办法，试确定单位抽样响应为)(nh的线性移不变系统的阶跃响应。4.判断下列每个序列是否是周期性的,若是周期性的,试确定其周期：)6()()()n313sin()()()873cos()()(ππππ−==−=njenxcAnxbnAnxa分析：序列为)cos()(0ψω+=nAnx或)sin()(0ψω+=nAnx时，不一定是周期序列，①当=0/2ωπ整数，则周期为0/2ωπ；)()(*)()()1(5nRnhnxny==解：}1,2,3,3,2,1{)(*)()()2(==nhnxny)2(5.0)(5.0*)2()()3(323−=−=−nRnRnnynnδ)(5.0)()1(2)()4(nunhnunxnn=−−=nmmmnnyn−−−∞=−⋅==≥∑23125.0)(01当nmnmmnnyn23425.0)(1⋅==−≤∑−∞=−当aaanynaaanynnhnxnyanuanhnunxmmnnmmn−==−−==−≤=−−==∑∑−−∞=−−−∞=−−1)(11)(1)(*)()(10,)1()()()(:1时当时当解8②；为为互素的整数）则周期、（有理数当,20QQPQP=ωπ③当=0/2ωπ无理数，则)(nx不是周期序列。。周期为是周期的解：14,31473/2/2)873cos()()(0∴==−=ππωπππnAnxa。是周期的，周期是6136313/2/2)313sin()()(0∴===ππωππnAnxb是非周期的。是无理数∴=−−=−+−==−12/26sin6cos)6sin()6cos()()(0)6(Tnjnnjnenxcnjπωππππ5.设系统差分方程为:)()1()(nxnayny+−=其中)(nx为输入,)(ny为输出。当边界条件选为0)1()2(0)0()1(=−=yy试判断系统是否是线性的?是否是移不变的?分析：已知边界条件，如果没有限定序列类型（例如因果序列、反因果序列等），则递推求解必须向两个方向进行（n≥0及n0）。0)2()1()2(0)1()0()1(0))()1()()()()(0)0((1):11111111111=+==+=+−===xayyxayyninxnaynynnxay处递推，向按，设，时解δ┇93111211111111111111111)]2()2([1)3()]1()1([1)2()]0()0([1)1()]1()1([1)()1()()1(0)0,0)(0)()1()(−−−−=−−−=−−=−−−=−−=−=−+−+=++=+≥=∴=+−=axyayaxyayaxyaynxnyanynxnaynyniinnynxnayny因而则变换处递推，将原方程加以向┇)1()(),))]1()1([1)(1111−−−=−=+−+=nuanyiiianxnyanynn可知：综上axayyxayynxnaynyninnxb=+==+=+−=−=)2()1()2(1)1()0()1()()1()(0))1()()(222222222按，处递推向设δ┇0)]1()1([1)2(0)]0()0([1)1()]1()1([1)()(0)1,)()()1()(2222222222121222=−−−=−=−=−+−+=≥=∴=+−=−−xyayxyaynxnyanynyniinanyanxnaynynn按变换后的，处递推向┇变系统。条件下，系统不是移不以在不是移一位的关系，所与是移一位的关系，但与结果可知，由 可得：综上２0)0()()()()()(,)()1()()),0)]1()1([1)(1212222=−==+−+=−ynynynxnxbanuanyiiinxnyanyn102333333333)3()2()3()2()1()2(1)1()0()1(0))1()()()axayyaxayyxayyninnnxc=+==+==+=−+=处递推向设δδ┇23331333131333)]1()1([1)2()]0()0([1)1(0)1,)()()1()(−−−−−=−−−=−−=−=−≥=∴=+−=axyayaxyayniinanyanxnaynynn处递推向┇条件下是线性系统。所给系统在可得：综上0)0()()()1()1()()),1,)]1()1([1)(2113333=∴+=−−−−=−≤−=+−+=−ynynynuanuanyiiinanxnyanynnn6.试判断:是否是线性系统?并判断(2),(3)是否是移不变系统?分析：利用定义来证明线性：满足可加性和比例性，)]([)]([)]()([22112211nxTanxTanxanxaT+=+移不变性：输入与输出的移位应相同T[x(n-m)]=y(n-m)。∑−∞==nmmxny)()()1(解：()[]()∑−∞===nmmxnxTny111)(()()[]()mxnxTnynm∑−∞===222()()()()[]∑−∞=+=+nmnbxmaxnbynay212111()()[]()()[]∑−∞=+=+nmnbxnaxnbxnaxT2121()()[]()()nbynaynbxnaxT2121+=+系统是线性系统∴()[]2)()2(nxny=解：()[]()[]2111)(nxnxTny==()()[]()[]2222nxnxTny==()()()[]()[]212121nbxnaxnbynay+=+()()[]()()[]()[]()[]()()()()[]()()nbynaynbxnaxTnxnabxnbxnaxnbxnaxnbxnaxT2121212221221212+≠+++=+=+即()[]()[]()()[]()[]()系统是移不变的即∴−=−−=−−=−mnymnxTmnxmnymnxmnxT22系统不是线性系统∴127.试判断以下每一系统是否是(1)线性,(2)移不变的？)(0nnk)]([(4))()]([)3()()]([(2))()()]([)1(0nxenxTnnxnxTkxnxTnxngnxT=−===∑=分析：注意：T[x(n)]=g(n)x(n)这一类表达式，若输入移位m,则有x(n)移位变成x(n-m),而g(n)并不移位，但y（n）移位m则x（n）和g(n)均要移位m。()⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=792sin)()3(ππnxny解：()())792sin()()792sin()(2121ππππ+++=+nbxnaxnbynay()()[][]()()[]()()nbynaynbxnaxTnbxnaxnbxnaxT21212121)792sin()()(+=+++=+即有ππ系统是线性系统∴()[]()()()()()()[]()系统是移不变的即∴−=−+−=−+−=−mnymnxTmnxmnymnxmnxT792sin792sinππππ()()792sin)(11ππ+=nxny()()792sin)(22ππ+=nxny13[][])]([)]([)()()()()]()()[()()()()()()1(21212121nxbTnxaTnbxngnaxngnbxnaxngnbxnaxTnxngnxT+=×+×=+=+=解：[][]系统是线性系统。解：∴+=+=+=+=∑∑∑∑====)]([)]([)()()]()([)()()()()2(212121021000nxbTnxaTkxbkxakbxkaxnbxnaxTkxnxTnnknnknnknnk系统是线性系统。∴()[]()()()()[]()系统不是移不变的。即∴−≠−−−=−−=−mnymnxTmnxmngmnymnxngmnxT)()(()[]()()[]()系统是移不变的。即∴−=−=−=−−−mnymnxTemnyemnxTmnxmnx)()(14()[]()()()()()[]()系统不是移不变的。即∴−≠−=−=−=−∑∑∑−=−−==mnymnxTkxmnykxmkxmnxTmnnkmnmnknnk0008.以下序列是系统的单位抽样响应)(nh,试说明系统是否是(1)因果的,(2)稳定的？)4()7()1(3.0)6()(3.0)5()(3)4()(3)3()(!1)2()(1)1(2+−−−nnunununununnunnnnnδ分析：注意：0！=1，已知LSI系统的单位抽样响应，可用∞=∑∞−∞=Mnhn)(来判断稳定性，用h（n）=0，n0来判断因果性。不稳定。是因果的。时当解：∴∞⇒++=∴=•••∑∞−∞=,1101|)(|,0)(,0)1(22nnhnhn[][])]([)]([)()()()()()()3(210201210nxbTnxaTnnbxnnaxnbxnaxTnnxnxT+=−+−=+−=解：15稳定。！！！是因果的。时，当∴=+++++++++=+++=∴=•••••••••∑∞−∞=3814121111*2*311*2111211101|)(|,0)(0)2(nnhnhn不稳定。是因果的。时，当∴∞⇒+++=∴=•••∑∞−∞=210333|)(|,0)(0)3(nnhnhn稳定。是非因果的。时，当∴=+++=∴≠•••−−∞−∞=∑23333|)(|,0)(0)4(210nnhnhn系统是稳定的。系统是因果的。时，当∴=+++=∴=•••∑∞−∞=7103.03.03.0|)(|,0)(0)5(210nnhnhn系统不稳定。系统是非因果的。时，当∴∞⇒++=∴≠•••−−∞−∞=∑213.03.0|)(|0)(0)6(nnhnhn系统稳定。系统是非因果的。时，当∴=∴≠∑∞−∞=1|)(|0)(0)7(nnhnhn9．列出下图系统的差分方程,并按初始条件0,0)(