随机信号分析课件

南京航空航天大学信息科学与技术学院常建平随机信号分析tt确定信号－－随时间做有规律的、已知的变化。可以用确定的时间函数来描述。如：方波、锯齿波。人们可以准确地预测它未来的变化，即：这次测出的是这种波形，下次测出的还是这种波形。随机信号－－随时间做无规律的、未知的、“随机”的变化。无法用确定的时间函数来描述，无法准确地预测它未来的变化。这次测出的是这种波形，下次测出的会是另一种波形。另外，信息在传输的过程中，不仅传输的信号多数本身具有随机性，同时它们还要受到传输系统（随机）噪声的影响，使结果具有更加复杂的随机性。如果使用经典的、确定信号的理论与方法，必然是“张冠李带”无法得到正确的处理结果。－序－随着科学技术的进步，人们越来越发现，在自然界中所遇到的大量信号均属于随机信号。如：1224（）－自由电子随机游动，在电阻上产生的“热噪声”。（）－某交叉路口每天小时测量的噪音的分贝记录。（3）－证卷交易所中，某股票每周涨落的记录。（4）－反映人的生理、心理活动的“脑电波”。(5)－反映地球物理特性的“地震信号”。(6)－人说话时发出的“语音信号”。（7）－雷达自动跟踪到的某飞行器的“运动轨迹”。(8)－雷达接收到的目标信号的“幅度与相位”。随机信号是通信、信号与信息处理、自动控制等学科领域必须研究的信号形式。比如我们电子信息类专业的后修课程中需要对随机信号进行处理的课程有：通信原理、雷达原理、数字信号处理、信息论、图像信号处理、语音信号处理、线性控制系统等等课程。随机信号分析与处理是一门研究随机信号的特点与规律的学科，它广泛应用于雷达、通信、自动控制、随机振动、地震信号处理、图像处理、气象预报、生物电子等领域。近几年来，随着现代科学技术，特别是信息科学技术的发展，随机信号处理已是现代信号处理的重要理论基础和有效方法之一。然而随着现代化发展的需要，掌握这套方法，已不仅仅是我们通信、信息类专业的要求，也已成为所有科技领域、金融、管理、生物医学等许多专业的需要。－课程的特点与研究方法－学会用统计的观点来看研究对象－随机信号由于随机信号是随机变化和不确定的，只有它的统计规律才是确定的，因此对随机信号而言，从描述方式、推演方式到分析方法都是在统计意义上讨论与定义的。所以必须学会用统计的观点来看所有随机的问题。学习时必须注重物理概念的理解该课程是电子信息类和相关专业的一门专业基础课程，不是一门数学课程，课程中用到的许多数学理论是处理随机信号问题的数学工具。因此，学习时除了注意处理随机信号的方法外，更重要的是深入理解数学推演结果、结论的物理意义。对一些复杂的数学推演的中间步骤不必死记硬背，更不必深究其数学上的严密性，重在弄清楚来龙去脉，掌握分析的思路与方法。()Xt随机过程理论研究的对象－－随机过程微积分、线性代数、复变函数分析确定信号所用的数学工具有：富氏变换、拉氏变换、等等概率论上述的所有分析随机信号所用的数学工具有：随机过程理论数学工具X概率论研究的对象－－随机变量§1.1概率空间随机试验—①在相同条件下可以重复进行；②每次试验的可能结果不止一个；③在试验前不能预测哪个会出现。随机事件—随机试验中可能出现的结果。基本事件—随机试验中的“不可能再分的”最小的随机事件。又称“样本点”。样本空间—随机试验中所有可能结果“样本点”的集合。EABCD、、、i1{,,,,}in第1章概率论常建平一、事件的运算（事件的关系）AΩ事件A发生必然导致事件B发生的事件－－称事件B包含事件A。记：BABΩA与B中，只要有一个发生且发生的事件－－称A与B的“和事件”。记：A∪BA与B同时发生才发生的事件－－称A与B的“积事件”记：A∩BΩΩBAABA∩BΩΩA与B不可能同时发生的事件－－称A与B“互不相容”。记：A∩B＝（空集）A发生，而B不发生的事件－－称A与B的“差事件”。记：A－BBABAÃΩA不发生的事件－－称事件A的“逆”。记：Ā＝－AA∪Ā＝Ā∩A＝ÃA二、概率的定义若某一个随机试验E(1).它的全部可能结果——样本空间Ω中所有样本点数只有有限个。(2).每个结果的发生——是等可能的。那么，E中任意事件A发生的概率P(A)为：的个数样本空间中所有样本点包含的样本点的个数事件AAP)(1、概率的古典定义2、概率的几何定义将某一个随机试验E(含有无穷多个样本点)的样本空间，用m维空间中某一个有界区域Ω表示，而对这一区域Ω的大小的“度量”用L(Ω)表示，(它可以是一维空间Ω的长度，二维空间Ω的面积，三维空间Ω的体积)。A若随机试验E等效为均匀地向区域Ω投掷一随机点。事件A∈Ω(Ω的子集）等效为Ω中任一可能出现的小区域，L(A)是A的度量。由于是均匀投掷的随机点，所有样本点的发生是等可能的。因此随机点落入区域A的概率则为“度量”之比：()()()LAPAL区间A的度量区间B的度量3、概率的统计定义随机事件A在某组的n次试验中出现nA次，比值称作事件A在这组的n次试验中出现的频率。定义：在试验E的n次重复试验中，事件A发生的概率：()lim()limAnnnnPAfAn()AnnfAn频率具有随机性，当n有限时，这组的n次试验中的频率fn(A)与下一组的n次试验中的频率fn(A)可能不同。但概率P(A)却是固定不变的。频率fn(A)只有在n→∞时，才趋于概率。在概率论的发展史上，人们曾针对不同问题，从不同角度给出了概率的三种定义和计算方法。这三种定义和计算方法都具有各自的适用范围，存在一定的局限性，但在三种定义下概率的性质却是完全相同的。因此，人们从概率的性质出发，给概率赋予一个新的数学定义，即概率的公理化定义。这个定义只指明概率应具有的基本性质，不具体规定概率的计算方法。4、概率的公理化定义事件域F是由样本空间中的某些子集构成的非空集类。集类是指以集为元素的集合。(1,2,)iAFi()0PAAF，11()()iiiPAPA()1P(,,)FP若定义在事件域F上的一个集合函数P满足下列三个条件：⑴非负性：⑵规范性：⑶完全可加性：若且两两互不相关时，有则称P为概率。样本空间事件域F和概率P构成的总体称为随机试验E的概率空间。()1()PAPA⑸单调性：若，则()()()PABPAPB11()()nniiiiPAPA()()()()()PABPAPBPBPA且(1,2,)iAFi()()()()PABPAPBPABBA5、概率的性质给定概率空间，从概率的公理化定义的三个条件，可以推出概率的性质：⑴不可能事件的概率为0，P()=0⑵必然事件的概率为1，P()=1⑶逆事件的概率为，⑷有限可加性：若，且两两互不相容，则(,,)FP⑹加法公式：次可加性：1.1.2条件概率P(A/B)---在B事件已发生的条件下，A事件发生的概率。可以看成是在缩小的“样本空间B”上,求A发生的概率。即：BA一、条件概率的定义同理可得：()()()()()()()()()LABLABPABLAPBLBLBPBL()()()PABBPAPA若A于B互不相容P(AB)=0，则P(A/B)=0，P(B/A)=0。且有：110()1()1()()iiiiPABPBPABPAB，，ABB合格品数次品数总数第1台35540第2台501060总计85151001212()851000.85()401000.4,()601000.6()351000.35()501000.5PAPBPBPABPAB，，①由条件概率公式求，②利用缩小的样本空间来求，B例1.2两台车床加工同一种零件，从这100个零件中任取一个.设取得合格品为事件A，取得的是第1台加工的为B1，取得的是由第2台加工的为B2。求由各台车床加工时，出合格品的概率？解：由第一台加工出合格品的概率为，由第一台加工出合格品的概率为，由概率的古典定义：2()PAB1()PAB123550()0.875,()0.8334060PABPAB＝＝121212()()0.350.5()0.875,()0.833()0.4()0.6PABPABPABPABPBPB＝＝由条件概率公式可推出：P(AB)=P(A/B)P(B)＝P(B/A)P(A)以此类推可得：二、条件概率的基本公式1、乘法公式121111111121212331212122111211312211()()()()()()()()()()()()()()()()()nnnnnnnnnnnPAAAPAAAPAAPAAPAAAPAAPAAAPAAAPAAPAAPAAPAPAAAPAAAPAAAPAAPA例1.3一批零件共100个，次品率为10％。每次从其中任取一个，取出后不再放回，求第三次才取得合格品的概率？解：设第一次取出零件是次品为事件A1，第二次取出零件是次品为事件A2，第三次取出零件是合格品为事件A3。121312123121312()10100()999()9098()()()()1010099990980.0084PAPAAPAAAPAAAPAPAAPAAA，，由乘法公式求出B2、全概率公式AB1B2BiBn解：设一批产品中有i个次品的事件为。则有11()()()niiinijiiPAPABPBBBijB，；例1.4某工厂生产的产品以100个为一批。在进行抽样检查时，只从每批中抽取10个来检查，若发现其中有次品，则认为这批产品不合格。假定每批中的次品最多不超过4个，且有如下分布，求各批产品通过检查的概率？一批产品中的次品数01234概率0.10.20.40.20.1iB01234()0.1()0.2()0.4()0.2()0.1PBPBPBPBPB，，，，设事件A表示这批产品通过检查，即抽样检查的10个产品都是合格品。则1010039710010101010199100496100101029810040()1()0.73()()0.65()0.81()()()0.815iiiPABPABCCPABCCPABCCPABCCPAPBPAB，=0.90，，由全概率公式求出1()()()1,2,()()kkkniiiPBPABPBAknPBPAB，3、贝叶斯（Bayes）公式设事件A已发生，而事件A发生是由事件B的发生所引起的概率为(1,2,)iBi其中是完备的事件群后验概率例1.5（例1.2续）求：取出的合格品是由第一台车床加工的概率？解：取出的合格品是由第一台车床加工的概率121112()0.35()0.5()0.35()0.41()()0.350.5PABPABPABPBAPABPAB，由Bayes公式求出BB11()0.875()0.41PABPBA1()PBA比较由前得出的与可见，尽管第一台车床加工时，出合格品的概率比较高，担由于第一台加工的零件个数少于第二台加工零件的个数。所以，取出的合格品是由第一台车床加工的可能性却比较小。二、两个事件的相容性（属集合论范畴）两个事件互不相容－－表示两个事件不能同时发生。如果把“A与B互不相容”放在概率论范畴去讨论，则表示“A发生B就不能发生”。因A限制了B，则A与B相关。反之，若把“A与B相互独立”放在集合论范畴去讨论，由于P(AB)=P(A)P(B)≠0,{P(A)≠0,P(B)≠0}，即A∩B≠,由于A与B可以同时发生，则A与B必定相容。1.1.3事件的独立一、两个事件独立A发生的概率与B发生与否无关。即P(A/B)＝P(A)B发生的概率与A发生与否无关。即P(B/A)=P(B)由乘法公式P(AB)=P(A/B)P(B)＝P(B/A)P(A)＝P(A)P(B)三、多个事件相互独立定义：设是n个事件，若对于任意有习题：1-2，1-4，1-5，1-6，1-7，1-8如A,B,