概率论与数理统计公式大全

仅供个人参考不得用于商业用途第1章随机事件及其概率（6）事件的关系与运算结合率：A(BC)=(AB)CA∪(B∪C)=(A∪B)∪C分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C)(A∪B)∩C=(AC)∪(BC)德摩根率：11iiiiAABABA，BABA（7）概率的公理化定义设为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件：1°0≤P(A)≤1，2°P(Ω)=13°对于两两互不相容的事件1A，2A，…有常称为可列（完全）可加性。则称P(A)为事件A的概率。（10）加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)（11）减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)当BA时，P(A-B)=P(A)-P(B)当A=Ω时，P(B)=1-P(B)（12）条件概率定义设A、B是两个事件，且P(A)0，则称)()(APABP为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为)/(ABP)()(APABP。条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如P(Ω/B)=1P(B/A)=1-P(B/A)（13）乘法公式乘法公式：)/()()(ABPAPABP更一般地，对事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An-1)0，则有21(AAP…)nA)|()|()(213121AAAPAAPAP……21|(AAAPn…)1nA。（14）独立性①两个事件的独立性设事件A、B满足)()()(BPAPABP，则称事件A、B是相互独立的。若事件A、B相互独立，且0)(AP，则有)()()()()()()|(BPAPBPAPAPABPABP若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。必然事件和不可能事件Ø与任何事件都相互独立。Ø与任何事件都互斥。②多个事件的独立性设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，11)(iiiiAPAP仅供个人参考不得用于商业用途P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互独立。对于n个事件类似。（15）全概公式设事件nBBB,,,21满足1°nBBB,,,21两两互不相容，),,2,1(0)(niBPi，2°niiBA1，则有)|()()|()()|()()(2211nnBAPBPBAPBPBAPBPAP。（16）贝叶斯公式设事件1B，2B，…，nB及A满足1°1B，2B，…，nB两两互不相容，)(BiP0，i1，2，…，n，2°niiBA1，0)(AP，则njjjiiiBAPBPBAPBPABP1)/()()/()()/(，i=1，2，…n。此公式即为贝叶斯公式。)(iBP，（1i，2，…，n），通常叫先验概率。)/(ABPi，（1i，2，…，n），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。（17）伯努利概型我们作了n次试验，且满足每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；n次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样；每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。用p表示每次试验A发生的概率，则A发生的概率为qp1，用)(kPn表示n重伯努利试验中A出现)0(nkk次的概率，knkknnqpkPC)(，nk,,2,1,0。仅供个人参考不得用于商业用途第二章随机变量及其分布（1）离散型随机变量的分布律设离散型随机变量X的可能取值为Xk(k=1,2,…)且取各个值的概率，即事件(X=Xk)的概率为P(X=xk)=pk，k=1,2,…，则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：,,,,,,,,|)(2121kkkpppxxxxXPX。显然分布律应满足下列条件：（1）0kp，,2,1k，（2）11kkp。（2）连续型随机变量的分布密度设)(xF是随机变量X的分布函数，若存在非负函数)(xf，对任意实数x，有xdxxfxF)()(，则称X为连续型随机变量。)(xf称为X的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。密度函数具有下面4个性质：1°0)(xf。2°1)(dxxf。（3）离散与连续型随机变量的关系dxxfdxxXxPxXP)()()(积分元dxxf)(在连续型随机变量理论中所起的作用与kkpxXP)(在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。仅供个人参考不得用于商业用途（4）分布函数设X为随机变量，x是任意实数，则函数)()(xXPxF称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。)()()(aFbFbXaP可以得到X落入区间],(ba的概率。分布函数)(xF表示随机变量落入区间（–∞，x]内的概率。分布函数具有如下性质：1°,1)(0xFx；2°)(xF是单调不减的函数，即21xx时，有)(1xF)(2xF；3°0)(lim)(xFFx，1)(lim)(xFFx；4°)()0(xFxF，即)(xF是右连续的；5°)0()()(xFxFxXP。对于离散型随机变量，xxkkpxF)(；对于连续型随机变量，xdxxfxF)()(。（5）八大分布0-1分布P(X=1)=p,P(X=0)=q二项分布在n重贝努里试验中，设事件A发生的概率为p。事件A发生的次数是随机变量，设为X，则X可能取值为n,,2,1,0。knkknnqpCkPkXP)()(，其中nkppq,,2,1,0,10,1，则称随机变量X服从参数为n，p的二项分布。记为),(~pnBX。当1n时，kkqpkXP1)(，1.0k，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。泊松分布设随机变量X的分布律为ekkXPk!)(，0，2,1,0k，则称随机变量X服从参数为的泊松分布，记为)(~X或者P()。泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。仅供个人参考不得用于商业用途几何分布,3,2,1,)(1kpqkXPk，其中p≥0，q=1-p。随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。均匀分布设随机变量X的值只落在[a，b]内，其密度函数)(xf在[a，b]上为常数ab1，即,0,1)(abxf其他，则称随机变量X在[a，b]上服从均匀分布，记为X~U(a，b)。分布函数为xdxxfxF)()(当a≤x1x2≤b时，X落在区间（21,xx）内的概率为abxxxXxP1221)(。指数分布其中0，则称随机变量X服从参数为的指数分布。X的分布函数为记住积分公式：!0ndxexxn0，xa，,abaxa≤x≤b1，xb。a≤x≤b)(xf,xe0x,0,0x,)(xF,1xe0x,,0x0。仅供个人参考不得用于商业用途正态分布设随机变量X的密度函数为222)(21)(xexf，x，其中、0为常数，则称随机变量X服从参数为、的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为),(~2NX。)(xf具有如下性质：1°)(xf的图形是关于x对称的；2°当x时，21)(f为最大值；若),(~2NX，则X的分布函数为dtexFxt222)(21)(。。参数0、1时的正态分布称为标准正态分布，记为)1,0(~NX，其密度函数记为2221)(xex，x，分布函数为。xtdtex2221)()(x是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。Φ(-x)＝1-Φ(x)且Φ(0)＝21。如果X~),(2N，则X~)1,0(N。1221)(xxxXxP。离散型已知X的分布列为LLLL,,,,,,,,)(2121nnipppxxxxXPX，)(XgY的分布列（)(iixgy互不相等）如下：LLLL,,,,),(,),(),()(2121nnipppxgxgxgyYPY，若有某些)(ixg相等，则应将对应的ip相加作为)(ixg的概率。连续型先利用X的概率密度fX(x)写出Y的分布函数FY(y)＝P(g(X)≤y)，再利用变上下限积分的求导公式求出fY(y)。仅供个人参考不得用于商业用途第三章二维随机变量及其分布（1）联合分布离散型如果二维随机向量（X，Y）的所有可能取值为至多可列个有序对（x,y），则称为离散型随机量。设=（X，Y）的所有可能取值为),2,1,)(,(jiyxji，且事件{=),(jiyx}的概率为pij,,称),2,1,()},(),{(jipyxYXPijji为=（X，Y）的分布律或称为X和Y的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：YXy1y2…yj…x1p11p12…p1j…x2p21p22…p2j…xipi1…ijp…这里pij具有下面两个性质：（1）pij≥0（i,j=1,2,…）；（2）.1ijijp连续型对于二维随机向量),(YX，如果存在非负函数),)(,(yxyxf，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D，即D={(X,Y)|axb,cyd}有DdxdyyxfDYXP,),(}),{(则称为连续型随机向量；并称f(x,y)为=（X，Y）的分布密度或称为X和Y的联合分布密度。分布密度f(x,y)具有下面两个性质：（1）f(x,y)≥0;（2）.1),(dxdyyxf仅供个人参考不得用于商业用途（2）二维随机变量的本质)(),(yYxXyYxX（3）联合分布函数设（X，Y）为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数},{),(yYxXPyxF称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件})(,)(|),{(2121yYxX的概率为函数值的一个实值函数。分布函数F(x,y)具有以下的基本性质：（1）;1),(0yxF（2）F（x,y）分别对x和y是非减的，即当x2x1时，有F（x2,y）≥F(x1,y);当y2y1时，有F(x,y2)≥F(x,y1);（3）F（x,y）分别对x和y是右连续的，即);0,(),(),,0(),(yxFyxFyxFyxF（4）.1),(,0),(),(),(FxFyFF（5）对于，，2121yyxx0)()()()(11211222yxFyxFyxFyxF，，，，.（4）离散型与连续型的关系dxdyyxfdyyYydxxXxPyYxXP)()()(，，，（5）边缘分布离散型X的边缘分布为),2,1,()(jipxXPPijjii；Y的边缘分布为),2,1,()(jipyYPPijijj。连续型X的边缘分布密度为；dyyxfxfX),()(Y的边缘分布密度为.),()(dxyxfyfY仅供个人参考不得用于商业用途（6）条件分布离散型在已知X=xi的条件下，Y取值的条件分布为；iijijppxXyYP)|(在已知Y=yj的条件下，X取值的条件分布为,)|(jijjippyYxXP连续型在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为)(),()