17债券组合市场VaR度量

第17章债券组合市场VaR度量清华大学经管学院朱世武[e-mail]样本数据：论坛：是指这样的一种损失额，给定置信水平（1-%）和持有期限（t日），在持有期内预计超过这一损失额的概率只有%。用公式表示为，VaR度量的是头寸价值的潜在变动。影响债券价格的因素是即期利率，称为风险因子。(|VaR)%P损失额|使用到期收益率计算VaR债券价格等于预期现金流的现值。(17.1)t为现金流时刻，为t时刻的现金流，为该债券的到期收益率。到期收益率上升，债券价格下跌；到期收益率下降，债券价格上涨。(1)tttCPYTMtCYTM单只债券VaR假设到期收益率的变动服从均值为0，标准差为的正态分布，则给定置信水平,最不利情形下的到期收益率为，为实际的到期收益率，l是所选置信水平1-%（如）所对应的分位数（如1.65，SAS函数值为l=probit(.95)）。利用这个到期收益率和公式（17.1）计算出未来的债券价格。则一年期的VaR为，T年期的VaR为，realYTMYTMYTMl||futurepresentVaRPP1VaRVaRTt年期年期1%1%95%YTMrealYTM例17.1一只5年期，面值100，年息和到期收益率均为5%的政府债券（意味着债券的现价为100）。假设到期收益率的变动服从均值为0，标准差为1%的正态分布。计算95%置信水平下，该债券的一年期VaR。解：95%置信水平下的最不利YTM为，若到期收益率变为6.65%，债券价格就会跌到93.77。则该债券的VaR为，1.655%1.651%6.65%.realYTMYTMYTM10093.776.23VaRYTM100,100,5%,5%,1.645,1%,5realParPYTMlT51513.93yearyearVaRVaR五年的VaR为，SAS程序：%macrobVaR(Par,P,alpha,YTMr,sigma,T);prociml;l=probit(1-&alpha);YTM=&YTMr+l*σPf=&Par/(1+YTM);VaR1=abs(Pf-&P);VaRT=VaR1*sqrt(&T);printYTMPfVaR1VaRT;%mendbVaR;%bVaR(100,100,0.05,0.05,0.01,5);16.645%,93.77,6.23,13.93futureyearTYTMPVaRVaR债券组合考虑一债券组合，由n个债券组成，每种债券到期收益率的历史数据形成如下矩阵,计算它的协方差矩阵与相关系数矩阵,knknnnkkrrrrrrrrrR,21,22221,11211nnnnnnnrrrrrrrrrrrr2212221212121,cov,cov,cov,cov,cov,covnnnnnnnnnnrrrrrrrrrrrrC1,cov,cov,cov1,cov,cov,cov12211221212112121假如投资在某债券上的资金为（为该债券的持有数量），则该债券VaR为，全部VaRi构成债券组合的VaR向量为，于是，该债券组合的VaR为，iipresentVPiV||iiifutureipresentVaRVPP12nVaRVaRVaRVaR12VaRCVaR例17.2考虑2只债券构成的组合,一只为例1中的债券，另外一只为2年期，年息3%的政府债券，到期收益率为4%，于是，可算出该债券的实际价格为98.11，再假设该债券的到期收益率变动服从均值为0，标准差为1.2%的正态分布。计算95%置信水平下，债券组合的一年期VaR。解：对于新增债券，95%置信水平下的最不利YTM为，若到期收益率变为5.97%，债券价格就会跌到94.36。则债券的VaR为，1.654%1.651.2%5.97%realYTMYTMYTM98.1194.363.75VaR1001005%1%1,,,,,10098.114%1.2%110.95,1,5%0.951TrealYTMParPYTMσVC若组合中这两只债券到期收益率相关系数为1，则价值为的未分散组合的。但通常5年期政府债券的到期收益率与2年期政府债券的到期收益率只是高度相关，并非完全相关。假设相关系数为0.95，则组合的。这体现出了分散化投资会带来收益。5%198.1110098.11,16.233.759.98pyearVaR22,16.233.7520.956.233.759.86pyearVaR0.129.989.86SAS程序：对于债券i进行如下过程：realYTMYTMiYTMili1futurePariPiYTMi1yearfutureVaRiViPiPi组合的一年期风险值为：12,1pyearVaRVaRCVaR组合的T年期风险值为：12pTVaRTVaRCVaRdatagendat;inputPsigmaYTMrVPar;/*数据集gendat包含每个债券的现在价格()，到期收益标准差()，实际到其收益率()，债券的持有数量()，债券面值()*/cards;1000.010.05110098.110.0120.041100;datacorrmat;/*数据集corrmat包含所有的债券的相关系数矩阵*/inputc1c2;cards;10.950.951;%macrombVaR(n,alpha,gendat,corrmat,T);/*n为组合债券的数量，T为风险值的期限，为置信水平*/prociml;use&gendat;readallvar{P}intoP;readallvar{sigma}intoS;readallvar{YTMr}intoYTMr;readallvar{V}intoV;readallvar{Par}intoPar;use&corrmat;readallvar('c1':c&n)intoC;VaR1=j(&n,1,0);Pf=j(&n,1,0);YTM=j(&n,1,0);l=probit(1-&alpha);doi=1to&n;YTM[i,]=YTMr[i,]+l*S[i,];Pf[i,]=Par[i,]/(1+YTM[i,]);VaR1[i,]=V[i,]*abs(Pf[i,]-P[i,]);end;VaRp1=sqrt(t(VaR1)*C*VaR1);VaRpT=VaRp1*sqrt(&T);printPfYTMVaR1VaRp1VaRpT;%mendmbVaR;%mbVaR(2,0.05,gendat,corrmat,1);6.65%5.97%YTM93.7794.36futureP16.233.75yearVaR,19.86pyearVaR使用久期计算VaR麦考利久期与修正久期债券久期衡量的是债券价格相对于到期收益率变动的敏感性。麦考利久期定义为，久期可用于估计债券价格相对于到期收益率的变动幅度。债券价格对到期收益率求一阶导数得，1(17.2)1(1)ttttCdPdYTMYTMYTM(1)(1)(1)ttttttttttCtCYTMYTMDCPYTM两边同乘以得称为修正久期，它度量了给定到期收益率的变化水平，债券价格变动的百分比。（17.3）式可变形为：可以看出，价格变动表示为到期收益率变动的线形函数。1/P*111(17.3)1(1)1ttttCdPDDPdYTMPYTMYTMYTM*D*(17.4)dPPdYTMDVaR计算单只债券对于单只债券，假设到期收益率的变动服从均值为0，标准差为的正态分布，则给定置信水平，最不利情形下的到期收益率变动为，l是所选置信水平（如）所对应的分位数（如1.65）。利用到期收益率的变动和公式（1.4）就可以计算出未来的债券价格变化量。则一年期的VaR为，T年期的VaR为，YTM1%YTMdYTMl1%1%95%**||||||YTMVaRdPPdYTMDPlD1VaRVaRTt年期年期例17.3.假定一债券的价格为100，修正久期为4.33，到期收益率变动服从均值为0，标准差为1.2%的正态分布。给定95%置信水平下，计算一年期VaR。解：最不利的情形下，到期收益率的变动量为，所以债券价格变化量为，也就是说价格会下降8.66，即预测价格为YTM1000.01974.338.558.55dPPdDVaRdP1008.5591.45*YTM5%,1.2%,4.33,100,1DPT0.0197YTMdYTMlSAS程序：%macromdursbVaR(alpha,sigma,Dm,P,T);prociml;l=probit(1-&alpha);dYTM=l*σdP=-&P*dYTM*&Dm;VaR1=abs(dP);VaRT=VaR1*sqrt(&T);printdYTMdPVaR1VaRT;%mendmdursbVaR;%mdursbVaR(0.05,0.012,4.33,100,1);11.97%,8.55,8.55,8.55yearTdYTMdPVaRVaR债券组合考虑一债券组合，由个债券组成，每种债券到期收益率的历史数据形成如下矩阵，据此，可以计算它的协方差矩阵11121,21222,12,kknnnknkrrrrrrrrrR2112122122212cov,cov,cov,cov,cov,cov,nnnnnnnrrrrrrrrrrrrΣ和相关系数矩阵1211212122121212cov,cov,1cov,cov,1cov,cov,1nnnnnnnnnnrrrrrrrrrrrrC假如投资在某债券上的资金为（为该债券的持有数量），则该债券VaR为,全部VaRi构成债券组合的VaR向量,于是，该债券组合的VaR为，T年期的VaR为，iiVPiV*||||iiiiiiVaRVdPVPlD12nVaRVaRVaRVaR12VaRCVaR121VaRVaRTTVaRCVaRt年期年期例17.4假设组合P包含两只债券。第一只为上例中的债券。假定第二只债券的价格为98.11，修正久期为5，到期收益率变动服从均值为0，标准差为1%的正态分布。假定这两只债券之间的相关系数为0.95，计算95%置信水平下，债券组合的一年期VaR。1001.2%4.3310.95,,,,1,5%,1.64598.111%50.951Tl*YTMPσDC解：SAS程序：datagendat;inputPsigmaVDm;cards;1000.01214.3398.110.0115;datacorrmat;inputc1c2;cards;10.950.951;%macromdurmbVaR(n,alpha,gendat,corrmat,T);procim