高代2考试试卷

试卷1一、填空题(每小题3分,共15分)1、若二次型2221231213235224xxxtxxxxxx是正定二次型，则t的取值范围是。2、线性空间P[x]n中的向量f(x)，在基1121,()nnxaxa，，下的坐标是。3、n维线性空间V的数乘变换A：()kV在基e1，…，en下的矩阵是。4、已知方阵A的不变因子是1、1、2(1)(1)，则A的若当标准形是。5、设是正交变换A的特征值，则=。二、选择题(每小题3分,共15分)1、若二次型XAX经非退化线性替换XCY变为二次型YBY，则下列（）不成立。（A）A与B秩相等（B）A与B相似（C）A与B合同（D）A与B等价2、设V1和V2是n维线性空间V的两个子空间，若和V1+V2是直和，则（）。（A）维(V1)+维(V2)=n（B）维(V1)+维(V2)维(V1+V2)（C）维(V1)+维(V2)=维(V1+V2)（D）维(V1)+维(V2)维(V1+V2)3、在P[x]的下列变换中，（）不是线性变换。（A）A(f(x))=0()xftdt（B）A(f(x))=f/(x)（C）A(f(x))=[f(x)]2（D）A(f(x))=f(x+x0)（x0是P中固定的数）4、在下列条件中，（）不是两个同级复矩阵A与B相似的充分必要条件。（A）EA与EB等价（B）A与B有相同的特征多项式（C）A与B有相同的不变因子（D）A与B有相同的初等因子5、设=(x1，…，xn)，=(y1，…，yn)是Rn中的向量，Rn关于内积（）不构成欧氏空间。（A）(，)=x1y1+x2y2+…+xnyn（B）(，)=x1y1x2y2…xnyn（C）(，)=x1y1+2x2y2+…+nxnyn（D）(，)=n(x1y1+…+xnyn)三、本题满分14分已知二次型22212312312(,,)22fxxxxxxxx，求正交线性替换X=TY，把123(,,)fxxx　化为标准形。四、本题满分12分已知123,,是3维线性空间V的一组基，11，212，3123。（1）证明，123,,也是V的一组基；（2）若V中的向量在基123,,下的坐标为(3，2，1)，求在基123,,下的坐标。五、本题满分10分设P3的线性变换A把P3的基1=(1，0，0)，2=(2，1，0)，3=(1，1，1)变为基1=(1，2，1)，2=(2，2，1)，3=(2，1，1)，求A在基123,,和基123,,下的矩阵．六、本题满分10分设齐次线性方程组1234123423405330xxxxxxxx，（1）求解空间W；（2）求W在R4中的正交补W．七、本题满分6分设A为n级正定矩阵，B是n级实反对称矩阵，证明：AB2是正定矩阵。八、本题满分6分设V1和V2都是线性空间V的子空间，若V1∪V2也是V的子空间，则V1∪V2=V1+V2．九、本题满分6分设A是线性空间V的线性变换，证明，A2=(零变换)的充分必要条件是AVA1(0)。十、本题满分6分设，是欧氏空间V中两个向量，若||=||，证明+与正交．并在R2中说明几何意义．试卷2一、填空题(每小题3分,共18分)1、已知实二次型222123123121323(,,)255442fxxxxxxxxxxtxx的正惯性指数等于3，则t的取值范围是。2、已知4P的向量1(1,2,1,2)，2(1,2,2,3)，3(2,4,3,5)，123(,,)VL，则dimV=。3、设在欧氏空间3R向量(1,2,2)与(2,1,)x的夹角为3，则x=。4、设方阵A的不变因子为1，1，2(1)，则A的若当标准形为。5、[]nPx的微商变换/()()fxfx在基211,,,,2!(1)!nxxxn下的矩阵是。6、3[]Px中的向量223xx在基21,1,1xx下的坐标为。二、选择题(每小题3分,共18分)1、设/XAX是n元实二次型，则（）是/XAX正定的必要条件，但不是充分条件。（A）/12(,,,),0nnXxxxRX，有/0XAX；（B）矩阵A的各阶顺序主子式都大于0（C）矩阵A的行列式大于0（D）矩阵A的特征值都大于02、设A是正交矩阵，则（）不一定是正交矩阵（A）kA（k是实数）（B）/A（C）1A（D）*A3、设12,VV是n维欧氏空间的子空间，若12VV，则（）。（A）维(V1)+维(V2)=n（B）维(V1)+维(V2)维(V1+V2)（C）维(V1)+维(V2)=维(V1+V2)（D）维(V1)+维(V2)维(V1+V2)4、设是欧氏空间V的线性变换，（）不是为正交变换的充分必要条件。（A）,||||V（B）,,(,)(,)Vdd（C）,,,,V（D）,,(,)(,)V5、在下面所定义的变换中，（）不是线性变换。（A）在[]Px中，()(1)fxfx（B）在[]Px中，0()()fxfx，其中0xP，是一固定的数（C）把复数域看作复数域上的线性空间，（D）在nnP中，()XBXC，其中nnBCP、是两个固定的矩阵6、设V是数域P上n维线性空间，()LV={|是V的线性变换}，则()LV与下列中的（）同构．（A）[]nPx（B）[]Px（C）nP（D）nnP三、本题满分12分已知二次型222123123121323(,,)222fxxxxxxxxxxxx，求正交线性替换XTY，把123(,,)fxxx　化为标准形。四、本题满分8分在3P中，求基1(1,1,0)，2(0,1,1)，3(0,0,1)到基1(1,0,0)，2(0,1,1)，3(0,1,1)的过渡矩阵，并求向量(1,2,3)在这两个基下的坐标。五、本题满分8分已知111(0,,,0)22，2112(0,,,)222，求434,R，使1234,,，是4R的标准正交基。六、本题满分8分设P是数域，111211222122,,1,2,0ijaaVaPijaaaa，证明V是22P的子空间，并求V的一组基和维数。七、本题满分6分设是线性空间V上的线性变换，V，10k，但0(0)kk。证明（1）1(,,,)kWL的维数为k。（2）W是的不变子空间。八、本题满分6分设是n维线性空间V的线性变换，则可逆1(0){|0}{0}AV九、本题满分8分设矩阵2202202022022Ax，（1）证明x不论取何值，A都不可能是正定矩阵。（2）x取何值时，A为正交矩阵。十、本题满分8分设是欧氏空间V一单位向量，xR，定义：2(,)x，()V（1）证明是V的线性变换。（2）当x取何值时，是正交变换，并讨论的类型。试卷3一、填空题(每小题3分,共18分)1、设,AB为数域P上nn矩阵，如果有P上可逆的nn矩阵C，使，那么称,AB合同.2、如果12,VV是线性空间V的两个子空间，那么有维数公式：维(V1)+维(V2)=.3、设三维线性空间V上的线性变换A在基123,,下的矩阵为111213212223313233aaaAaaaaaa，则A在基321,,下的矩阵为.4、设三级矩阵A的特征值1,0,2，则行列式2AAE.5、在欧氏空间3R中与向量12(1,4,0),(1,2,2)都正交的单位向量等于.6、设A为欧氏空间V上的线性变换，如果对任意的,V，均有，那么称A为对称变换.二、选择题(每小题3分,共18分)1、设,AB均为nn矩阵，12nxxXx，如果//XAXXBX，则当（）时，必有AB.（A）秩()A秩()B；（B）AA；（C）BB；（D）AA且BB.2、设,AB是n级正交矩阵，则下列命题错误的是（）.（A）,AB必为可逆矩阵；（B）1A；（C）AB必为正交矩阵；（D）AB必为正交矩阵.3、有限维欧氏空间的任意一组基的度量矩阵一定是（）.（A）正定矩阵；（B）正交矩阵；（C）对角矩阵；（D）三角矩阵.4、不能与“线性变换A为正交变换”等价的是（）.（A）,||||VΑ；（B）,,(,)(,)VddΑΑ；（C）,,,,VΑΑ；（D）,,(,)(,)VΑΑ.5、下列命题中正确的是（）.（A）n级矩阵必有n个线性无关的特征向量；（B）实对称矩阵一定可以对角化；（C）行列式大于零的实对称矩阵一定是正定矩阵；（D）矩阵的特征向量的非零线性组合仍为特征向量.6、设12,VV是欧氏空间V的两个子空间，则必有（）.（A）1212()VVVV；（B）1212()VVVV；（C）1212()VVVV；（D）1212()VVVV.三、计算题(12分)已知122212221A，1323xXxRx，（1）试求正交矩阵T，使TAT为对角形；（2）试求二次型XAX的标准形.四、计算题(12分)在线性空间3P中，求基1(1,2,1)，2(0,1,3)，3(0,1,2)到基1(2,1,5)，2(2,3,1)，3(1,3,2)的过渡矩阵，并求向量(1,2,3)在基1(1,2,1)，2(0,1,3)，3(0,1,2)下的坐标.五、计算题(10分)设矩阵010440212A，试求A的若尔当标准形．六、证明题(8分)设P是数域，,,abVabcPca，证明V是22P的子空间，并求V的一组基和维数.七、证明题(8分)设A为n级实矩阵，证明：AAE是正定矩阵.八、证明题(8分)设12,是线性变换A的两个不同特征值，12,是分别属于12,的特征向量，（1）证明12,线性无关；（2）证明12不是A的特征向量.九、证明题(4分)设A，B是两个线性变换，且AB=A，BA=B，证明11(0)(0)AB.十、讨论题(8分)设BA,都是n级矩阵，(1)如果BA,相似，证明BA,的特征多项式相等；（2）举例说明（1）的逆命题不成立；(3)如果BA,都是实对称矩阵，且它们的特征值相等，证明：存在正交矩阵T，使1TATB．试卷4一、计算题．10%在4R中求单位向量，使之同时与向量12(2,1,4,0),(1,1,2,2),3(3,2,5,4)中每一个都正交．二、计算题．12%设矩阵201034011A，试求(1)A的不变因子、初等因子；(2)A的若当标准形．三、填空题．15%（每小题3分）1、已知三级矩阵A的特征值为321，，，*A为A的伴随矩阵，E为单位矩阵，则行列式__________23*EAA.2、设向量)3,3,6,2(),2,0,2,1(),0,1,3,0(),3,1,0,2(4321，则由4321,,,生成的子空间),,,(4321L的维数等于._________3、实二次型22123121213(,,)222fxxxxxxxxx的正惯性指数等于．4、在[]nPx中，()()fxfx，则线性变换的核为________．5、n级正交矩阵的n个列向量可作为欧氏空间nR的一组___________基．四