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第十一届“小机灵杯”数学竞赛决赛试卷（四年级组）时间：60分钟1.19=1×9+(1+9)29=2×9+(2+9)39=3×9+(3+9)49=4×9+(4+9)……..189=18×9+(18+9)则________.【答案】91099(9)AAAA=+=++，其中A是一个正整数【分析】考点：找规律2.110除以一个两位数的余数是5，符合条件的所有两位数是________.【答案】15，21，35【分析】考点：数论，余数，分解质因数110除以这个两位数是5，那么1105105−=除以这个两位数没有余数，即能整除，1051105335521715=×=×=×=×，于是，符合条件的所有两位数是15、21、353.把2012写成N个互不相同的正整数的和，N最大等于________.【答案】62【分析】考点：等差数列，最值1263(631)63220162012+++=+×÷=，即63N1262(621)62219532012+++=+×÷=，于是62N=4.1×1+2×2+3×3+….2011×2011+2012×2012的和最后一位数是________.【答案】0【分析】考点：尾数，数列规律算式中的每一项的个位以1、4、9、6、5、6、9、4、1、0这十个数为周期循环，2012102012÷=，算式的个位与201(146959641)14×++++++++++的个位相等，个位为0。5.用A、B、C、D代表四个数字分别是12,14,16,18,将四个数字代入等式A×B+B×C+B×D+C×D和最大是________.【答案】980【分析】考点：最值()ABBCBDCDBACDCD×+×+×+×=×+++×，显然CD×最大为1618288×=，下面考虑最大()BACD×++，由于()1214161860BACD+++=+++=，和是一个定值于是，由于和一定时，两数的差越小，两数的积越大于是，B取18时，乘积最大，为18(121416)756×++=但考虑到18只有一个，只能从B、C、D中选一个若B取18，则原式和为18(121416)1416980×+++×=若B取16，则原式和为16(121418)1418956×+++×=若B取14，则原式和为14(121618)1618932×+++×=综上，原算式和最大为9806.把一个三位数的百位与个位上的两个数字交换,十位数不变,所得的新数与原数相等,这样的数共有________个，其中能被4整除的有________个.【答案】20【分析】考点：加乘原理，整除百位与个位交换后，数字不变，即要求百位数字与个位数字相等，于是这样的三位数有910190××=个，考虑其能被4整除，首先，个位一定是偶数，当个位为2、6时，十位必须是奇数，有5种选择，当个位为4、8时，十位必须是偶数，有5种选择，综上，其中能被4整除的有4520×=7.111121133114641151010511615201561……………………第一百行第三个=________.【答案】4851【分析】考点：数列规律，排列组合（杨辉三角）（方法一）观察每一行的第三个数，发现第一、二行没有，从第三行开始，每行的第三个数为1、3、6、10、15、21、……，规律：从第3行到第4行为+2，从第4行到第5行为+3，从第5行到第6行为+4，……，从第99行到第100行为+98，第一百行第三个数为：33459812345984851+++++=++++++=（方法二）此三角形为杨辉三角，其中的数都是组合数，第n行第m个数为11mnC−−，第100行第3个数为312100199999824851CC−−==×÷=8将编号是1,2,3,….15的十五名学生按编号顺序面向里站成一圈,第一次,编号是1的同学向后转,第二次,编号是2,3的同学向后转,第三次编号是4,5,6的同学向后转,….第15次,全体同学向后转,当转完第12次时,这时面向外的同学还有________名.【答案】12【分析】考点：逆推，奇偶性若15次全部转完，共计有12315120++++=人次向后转，其中每个学生转120158÷=次第15次，全体学生都转了1次，由于没有进行第15次，所以每个学生转7次第14次，编号为15、14、13、……、3、2号的同学转身第13次，编号为1、15、14、13、……、5、4这两次中，1、2、3号同学转1次身，4、5、……、15号同学转2次身。于是，当转完12次时，1、2、3号同学转6次，向里；4、5、……、15号同学转5次，向外，此时向外的同学有12名。9.长方形ABCD的面积是________.96321【答案】33.25【分析】考点：巧求面积如下图，面积为：1241.5362.254.5933.25++++++++=1.5×4.5÷3=2.253×9÷6=4.51×3÷2=1.52×6÷3=49632110.一只猎狗,在它前面十步有一只兔子,兔子跑九步的距离等于狗跑五步的距离,兔子跑三步的时间等于狗跑两步的时间,问狗跑________步能追上兔子.【答案】60【分析】考点：猎狗追兔兔子跑9步的距离等于狗跑5步的距离，而兔子跑9步的时间内狗能跑6步，原来狗和兔子的距离狗要跑10步，在兔子跑9步、狗跑6步的时间内，两只动物之间的距离缩短651−=，即狗跑1步的距离，10110÷=，狗要跑61060×=步能追上兔子。11.把1到200这两百个自然数中,既不是3的倍数,又不是5的倍数的数从小排到大排成一排,其中第100个数是________【答案】187【分析】考点：周期，数论3和5的最小公倍数是15，1到15中，既不是3的倍数，又不是5的倍数的数分别是：1、2、4、7、8、11、13、14，共有8个，所以以8个数为周期，1008124÷=，所以，第100个数为12157187×+=12.黑板上一共写了65个数，包括11个11，12个12，13个13，14个14，15个15，每次操作者都擦去其中4个不同的数并写上一个第5种数（如擦去11,12,13,14,写上一个15，或者是擦去12,13,14,15,写上一个11….），如果经过若干次操作后，黑板上恰好剩下两个数，这两数是________.【答案】12，14【分析】考点：奇偶性考虑奇偶性：黑板上有3种奇数，开始它们两两之间个数的差都是偶数，每做一次操作，可能的变化为：（1）3种数各减少1个，则两两之间个数差不变；（2）1种数增加1个，另2种数各减少1个，则两两之间个数的三个差中1个不变，2个增大2或者减少2；综上，3种数两两之间个数的差奇偶性始终不曾变化，一直都是偶数。易知，操作结束后，3种奇数至少有一种剩下0个，若最后剩下的两个数中存在奇数，则这两种奇数个数之差为1，不为偶数。由上述讨论，可知剩下的数中不存在奇数。黑板上有2种偶数，开始时它们个数的差是2，每做一次操作，可能的变化为：（1）2种数各减少1个，则个数差不变；（2）1种数增加1个，另1种数各减少1个，则个数差增大2或者减少2；每一次操作，黑板上减少3个数，于是总共操作(652)321−÷=次，在这21次操作中，39个奇数全部消失，而对奇数操作1次，奇数减少1个；对偶数操作1次，奇数减少3个，于是，这21次操作中，对奇数操作了12次，对偶数操作了9次，于是，考虑黑板上两种偶数个数的差，对奇数操作的12次中，它们个数的差不变，对偶数操作的9次中，它们个数的差或者增大2或者减少2，共变化9次，为奇数次，于是可知，操作结束后，它们个数的差会发生变化。开始时，这个差为2，而显然，最后之剩两个偶数，若这两个偶数相同，则个数差为2，若这两个偶数不同，则个数差为0，考虑到开始时为2，结束时发生变化，所以结束时，黑板上所剩两个偶数不同，为12、1413.五个人比赛,每两个比一场,胜一场得2分,平一场得1分,负一场得0分;第一名没有平局,第二名没有输过,五个人得分各不相同,问每个人得分是________.【答案】6、5、4、3、2【分析】考点：体育比赛中的逻辑推理5个人比赛，赛制为单循环，故共比54210×÷=场分制为2分制，故总分为10220×=分。第一名没有平局，故第一名的得分一定是偶数，每人赛了4场，故最多得8分，若第一名得8分，则必为全胜，于是他应胜过第二名，而第二名没有输过，矛盾，所以第一名不为8分，若第一名得4分，由于五人得分各不相同，则剩余四人得分只能是3、2、1、0，五人总分为10分，与总分为20矛盾，所以第一名只能是三胜一负得6分，其中一负为负于第二名，由于五人得分各不相同，此时剩余四人得分最多为5、4、3、2，此时五人总分恰为20分，这是五人总分的最高分，其他情况，五人总分只会比20分低，结合总分20分，所以五人得分分别为6、5、4、3、214.1000多根棍子可以摆成图1（一行的长方形）,也可以摆成图2（二行的长方形）,还可以摆成图3（正方形）的形状,都没有剩余,问棍子最少________根.……图一…………图二············……………………………………图三【答案】6、5、4、3、2【分析】考点：数列规律，余数设第一个图形为1k×个小正方形，第二个图形为2m×个小正方形，第三个图形为nn×个小正方形，于是有31522(1)kmnn+=+=+，即求一个大于1000的最小的数，这个数除以3余1，除以5余2，且能写成2(1)nn+的形式。首先，由2(1)nn+，这个数一定是偶数，且一定是4的倍数，再由，52m+，这个数的末尾一定是2，再考虑最小，一次考察1002、1012、1022、1032、……，显然，1002是3的倍数，除以3余0，舍去。1012除以3余1，210122112322223=××=××，符合要去，所以，最小的数是1012。注：如果1012不能写成2(1)nn+的形式，那么下一个不用考虑1022和1032，由除以3余1，可直接考虑1012301042+=、再下一个考虑1072……直到有符合题设要求的数为止。15.所有三位回文数之和为________.【答案】49500【分析】考点：加乘原理，位值原理三位回文数中，只要百位与个位相等，十位取0到9都可以。于是，百位为1的回文数之和为1011010(0129)×+×++++，同理，百位为a的回文数之和为1011010(0129)a××+×++++，于是，三位回文数之和为10110(129)910(0129)49500××++++××++++=