-2018江苏高考数学立体几何真题汇编

ABCDEF2008-2018江苏高考数学立体几何真题汇编（2008年第16题）在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E、F分别是AB、BD的中点，求证：（1）直线EF∥平面ACD（2）平面EFC⊥平面BCD证明：（1）E，F分别为AB，BD的中点⇒EF∥AD且AD⊂平面ACD，EF⊄平面ACD⇒直线EF∥平面ACD（2）CB＝CDF是BD的中点⇒CF⊥BDAD⊥BDEF∥AD⇒EF⊥BD⇒直线BD⊥平面EFC又BD⊂平面BCD，所以平面EFC⊥平面BCDABCDEFC₁B₁A₁（2009年第16题）如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C.求证：（1）EF∥平面ABC（2）平面A1FD⊥平面BB1C1C证明：（1）由E，F分别是A1B，A1C的中点知EF∥BC，因为EF⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC（2）由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1，又A1D⊂平面A1B1C1，故CC1⊥A1D，又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，CC1、B1C⊂平面BB1C1C故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D⊂平面A1FD，故平面A1FD⊥平面BB1C1CPABCDDPABCFE（2010年第16题）如图，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°．（1）求证：PC⊥BC；（2）求点A到平面PBC的距离．证明：（1）因为PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC．由∠BCD＝90°，得CD⊥BC，又PD∩DC＝D，PD、DC⊂平面PCD，所以BC⊥平面PCD．因为PC⊂平面PCD，故PC⊥BC．解：（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等．又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍．由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，因为PD＝DC，PF＝FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F．易知DF＝22，故点A到平面PBC的距离等于2．（方法二）等体积法：连接AC．设点A到平面PBC的距离为h．因为AB∥DC，∠BCD＝90°，所以∠ABC＝90°．从而AB＝2，BC＝1，得△ABC的面积S△ABC＝1．由PD⊥平面ABCD及PD＝1，得三棱锥P—ABC的体积V＝13S△ABC×PD＝13．因为PD⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，所以PD⊥DC．又PD＝DC＝1，所以PC＝PD2＋DC2＝2．由PC⊥BC，BC＝1，得△PBC的面积S△PBC＝22．由VA——PBC＝VP——ABC，13S△PBC×h＝V＝13，得h＝2，故点A到平面PBC的距离等于2．（2011年第16题）如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E、F分别是AP、AD的中点求证：（1）直线EF∥平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD证明：（1）在△PAD中，∵E，F分别为AP，AD的中点，∴BC∥AB，又∵EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，∴直线EF∥平面PCD（2）连接BD.∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△PAD为正三角形∵F是AD的中点，∴BF⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BF⊥平面PAD又∵BF⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面PAD（2012年第16题）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D、E分别是棱BC、CC1上的点（点D不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）直线A1F∥平面ADE．证明：（1）∵是ABC－A1B1C1直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC又∵AD⊂平面ABC，∴CC1⊥AD又∵AD⊥DE，CC1，DE⊂平面ADE，CC1∩DE＝E∴平面ADE⊥平面BCC1B1（2）∵A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，∴A1F⊥B1C1∵CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1∴CC1⊥A1F又∵CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1∴A1F⊥平面BCC1B1，由（1）知AD⊥平面BCC1B1，∴A1F∥AD又∵AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，∴A1F∥平面ADESGABCEF（2013年第16题）如图，在三棱锥S－ABC中，平面平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AB＝AS，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E,G分别是棱SA,SC的中点．求证：（1）平面EFG∥平面ABC；（2）BC⊥SA．证：（1）∵SA＝AB且AF⊥SB，∴F为SB的中点．又∵E，G分别为SA，SC的中点，∴EF∥AB，EG∥AC．又∵AB∩AC＝A，AB面SBC，AC⊂面ABC，∴平面EFG∥平面ABC．（2）∵平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝BC，AF⊂平面ASB，AF⊥SB．∴AF⊥平面SBC．又∵BC⊂平面SBC，∴AF⊥BC．又∵AB⊥BC，AF∩AB＝A，∴BC⊥平面SAB．又∵SA⊂平面SAB，∴BC⊥SA．（2014年第16题）如图，在三棱锥P－ABC中，D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5．求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．证明：（1）∵D,E为PC,AC中点∴DE∥PA∵PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF∴PA∥平面DEF（2）∵D,E为PC,AC中点∴DE＝PA2＝3∵E,F为AC,AB中点∴EF＝BC2＝4∴DE2＋EF2＝DF2∴∠DEF＝90°，∴DE⊥EF∵DE∥PA，PA⊥AC∴DE⊥AC∵AC∩EF＝E∴DE⊥平面ABC∵DE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．ABC1DEA1B1C（2015年第16题）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E求证：（1）DE∥平面AA1CC1(2)BC1⊥AB1证明：（1）由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC.又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C（2）因为三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1，又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1，又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥AC因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC，又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1A1B1C1DEFABC（2016年第16题）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D、E分别为AB、BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．求证：（1）直线DE∥平面A1C1F；（2）平面B1DE⊥平面A1C1F．证明：（1）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C1∥AC在△ABC中，因为D、E分别为AB，BC的中点，∴DE∥AC，于是DE∥A1C1又∵DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，∴直线DE∥平面A1C1F（2）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1，∵A1C1⊂平面A1B1C1，∴A1A⊥A1C1又∵A1C1⊥A1B1，A1A⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，∴A1C1⊥平面ABB1A1∵B1D⊂平面ABB1A1，∴A1C1⊥B1D又∵B1D⊥A1F，A1C1⊂平面A1C1F，A1F⊂平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，∴B1D⊥平面A1C1F∵B1D⊂平面B1DE∴平面B1DE⊥平面A1C1FABCDEF（2017年第15题）如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC证明：（1）在平面内，∵AB⊥AD，EF⊥AD∴EF∥AB又∵EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC∴EF∥平面ABC（2）∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BDBC⊂平面BCD，BC⊥BD∴BC⊥平面ABD∵AD⊂平面ABD∴BC⊥AD又∵AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC∴AD⊥平面ABC又∵AC⊂平面ABC，∴AD⊥ACD1C1B1A1DCBA（2018年第15题）在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1.求证：（1）AB∥平面A1B1C；（2）平面ABB1A1⊥平面A1BC证明：（1）平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB∥A1B1AB∥A1B1A1B1⊂平面A1B1CAB⊄平面A1B1C⇒AB∥平面A1B1C（2）平行六面体ABCD－A1B1C1D1AB∥A1B1⇒四边形A1B1BA为菱形⇒AB1⊥A1B平行六面体ABCD－A1B1C1D1⇒BC∥B1C1AB1⊥B1C1⇒AB1⊥BCAB1⊥A1BAB1⊥BCA1B∩BC＝BAB1⊂平面A1BCBC⊂平面A1BC⇒AB1⊥平面A1BCAB1⊥平面A1BCAB1⊂平面A1B1BA⇒平面ABB1A1⊥平面A1BC