梁的挠度和转角ypxcw

回顾：弯曲内力——在外力作用下，梁的内力沿轴线的变化规律。弯曲应力——在外力作用下，梁内应力沿横截面高度的分布规律。本章:弯曲变形——在外力作用下，梁在空间位置的变化规律。第八章弯曲变形研究弯曲变形的目的（1）刚度计算；（2）解简单的超静定梁。本章的基本内容：一、弯曲变形的量度及符号规定；二、挠曲线及其近似微分方程三、计算弯曲变形的两种方法(1)积分法(2)叠加法四、刚度条件提高梁弯曲刚度的措施五、用变形比较法解简单的超静定梁。第八章弯曲变形一、弯曲变形的量度及符号规定第八章弯曲变形梁的挠度和转角ypxccwx1、度量弯曲变形的两个量：（1）挠度：梁轴线上的点在垂直于梁轴线方向的所发生的线位移ω称为挠度。（工程上的一般忽略水平线位移）（2）转角：梁变形后的横截面相对于原来横截面绕中性轴所转过的角位移θ称为转角。第八章弯曲变形/一、弯曲变形的量度及符号规定梁的挠度和转角ypxccwx（2）挠度的符号规定：向上为正，向下为负。2、符号规定：（1）坐标系的建立：坐标原点一般设在梁的左端，并规定：以变形前的梁轴线为x轴，向右为正；以y轴代表曲线的纵坐标（挠度），向上为正。（3）转角的符号规定：逆时针转向的转角为正；顺时针转向的转角为负。W（-）θ（-）第八章弯曲变形/一、弯曲变形的量度及符号规定第八章弯曲变形二、挠曲线及其近似微分方程1、挠曲线：在平面弯曲的情况下，梁变形后的轴线在弯曲平面内成为一条曲线，这条曲线称为挠曲线。轴线纵向对称面FqM弯曲后梁的轴线（挠曲线）第八章弯曲变形/二、挠曲线及其近似微分方程MAB＝MCD＝0MBC＝const答案D2、挠曲线的特征：光滑连续曲线(1)2、挠曲线的特征：光滑连续曲线(2)FA＝0FB＝0MCD＝const答案DABCD2、挠曲线的特征：光滑连续曲线(3)pplpplpplpplFA＝0pplABCDMBD＝constFB＝P答案CplMMBB力学公式数学公式1＝MEI纯弯曲横力弯曲（l／h＞5）1（x）M（x）EI＝＝1（x）d2wdx2[1+(dwdx)2]3/2＋－3、挠曲线的近似微分方程(1)曲率与弯矩、抗弯刚度的关系小挠度情形下此即弹性曲线的小挠度微分方程.0175.010maxrador横力弯曲1（x）M（x）EI＝max＝（0.01－0.001）l；(ddx)21＝1（x）d2dx2[1+(ddx)2]3/2＋－MEI＝d2dx2＋－（x）2owxMM0022Mdxdw选取如图坐标系，则弯矩M与恒为同号22dxd(2)挠曲线近似微分方程符号及近似解释MEI＝d2dx2（x）近似解释：（1）忽略了剪力的影响；（2）由于小变形，略去了曲线方程中的高次项。22(3)选用不同坐标系下的挠曲线近似微分方程＝d2dx2M(x)EIM(x)EI＝d2dx2第八章弯曲变形三、计算弯曲变形的两种方法1、积分法——基本方法利用积分法求梁变形的一般步骤：（1）建立坐标系（一般：坐标原点设在梁的左端），求支座反力，分段列弯矩方程；分段的原则:①凡载荷有突变处（包括中间支座），应作为分段点；②凡截面有变化处，或材料有变化处，应作为分段点；③中间铰视为两个梁段间的联系，此种联系体现为两部分之间的相互作用力，故应作为分段点；第八章弯曲变形/三、计算弯曲变形的两种方法第八章弯曲变形/三、计算弯曲变形的两种方法(2)分段列出梁的挠曲线近似微分方程，并对其积分两次对挠曲线近似微分方程积分一次，得转角方程：再积分一次，得挠曲线方程：))((1)(cdxxMEIdxdxDcxdxxMEIx))((1)(第八章弯曲变形/三、计算弯曲变形的两种方法(3)利用边界条件、连续条件确定积分常数①积分常数的数目——取决于的分段数M(x)——n段积分常数——2n个举例：)(xM分2段，则积分常数2x2=4个第八章弯曲变形/三、计算弯曲变形的两种方法②积分常数的确定——边界条件和连续条件：边界条件：梁在其支承处的挠度或转角是已知的，这样的已知条件称为边界条件。连续条件：梁的挠曲线是一条连续、光滑、平坦的曲线。因此，在梁的同一截面上不可能有两个不同的挠度值或转角值，这样的已知条件称为连续条件。边界条件积分常数2n个=2n个连续条件第八章弯曲变形/三、计算弯曲变形的两种方法00AA右左右左BBBB边界条件：连续条件：例题：列出图示结构的边界条件和连续条件。第八章弯曲变形/三、计算弯曲变形的两种方法例题：列出图示结构的边界条件和连续条件。000CAA右左右左右左BBDDDD解：边界条件：连续条件：第八章弯曲变形/三、计算弯曲变形的两种方法④积分常数的物理意义和几何意义物理意义：将x=0代入转角方程和挠曲线方程，得即坐标原点处梁的转角，它的EI倍就是积分常数C；即坐标原点处梁的挠度的EI倍就是积分常数D。几何意义：C——转角D——挠度(4)建立转角方程和挠曲线方程；(5)计算指定截面的转角和挠度值，特别注意和及其所在截面。oEICoEIDmaxmax第八章弯曲变形/三、计算弯曲变形的两种方法AqBLA例题悬臂梁受力如图所示。求和。AX``yx取参考坐标系Axy。解：1、列出梁的弯矩方程221)(qxxM)0(Lx2、22dxdzEIxM)(221qxEI积分一次：CqxEIEI361'积分二次：DCxqxEI4241（1）（2）第八章弯曲变形/三、计算弯曲变形的两种方法3、确定常数C、D.由边界条件：0,Lx代入（1）得：361qLC0,yLx代入（2）得：481qLD代入（1）（2）得：)6161(133qLqxEI)86241(1434qLxqLqxEI第八章弯曲变形/三、计算弯曲变形的两种方法EIqLA630x代入得：将（与C比较知：）CEIAEIqLA84（与D比较知：）DEIA常数C表示起始截面的转角×刚度(EI)因此常数D表示起始截面的挠度×刚度(EI)第八章弯曲变形/三、计算弯曲变形的两种方法例题一简支梁受力如图所示。试求和。)(),(xxmax,AALFCabAyFByFyx解：1、求支座反力,LFbFAyLFaFByx2、分段列出梁的弯矩方程,)(1xLFbxFxMA,1xLFbEI)(LxaBC段x)0(axAC段B),()(2axFxLFbxM),(2axFxLFbEI第八章弯曲变形/三、计算弯曲变形的两种方法,2'1211CxLFbEIEI)(LxaBC段)0(axAC段,)(22'22222CaxFxLFbEIEI,61131DxCxLFbEI,)(6622332DxCaxFxLFbEI3、确定常数由边界条件：0,0Ax（1）0,BLx（2）由光滑连续条件：21时，ax（3）21时，ax（4）可解得：)(6221bLLFbC,2C021DD第八章弯曲变形/三、计算弯曲变形的两种方法则简支梁的转角方程和挠度方程为)],(3[6)(2221bLxLEIFbx)(LxaBC段)0(axAC段],)([6)(2231xbLxLEIFbx,2)()](3[6)(22222axFbLxLEIFbx])(6)([6)(32232axLxbLxLEIFbx4、求转角0x代入得：LEIbLFbxA6)(2201Lx代入得：LEIaLFabLxB6)(2第八章弯曲变形/三、计算弯曲变形的两种方法5、求。max0dxd由求得的位置值x。max,06)(22LEIbLFbA)(03)(1baLEIbaFabaxC段。在AC00)](3[6)(2221bLxLEIFbx则由解得：322bLx第八章弯曲变形/三、计算弯曲变形的两种方法)(1xy代入得：EIbLFb39)(2322max2Lba若则：EIFLLx4832max在简支梁情况下，不管F作用在何处（支承除外），可用中间挠度代替，其误差不大，不超过3%。max第八章弯曲变形/三、计算弯曲变形的两种方法积分法求梁变形举例：用积分法求图示梁的、、、：BBCC第八章弯曲变形/三、计算弯曲变形的两种方法8)(21qlxM2l)2(21)2(8)(2222lxlxqqlxM222)2(28lxqqllxl22一分段建立弯矩方程：AB段：（0x1≤)BC段：（）第八章弯曲变形/三、计算弯曲变形的两种方法EIxMdxd)(121128)(211qlxMEI1111)()(cdxxmEIxEI1128cxql111111)((DxcdxdxxMEIxEI）11121216Dxcxql二、分段建立近似微分方程，并对其积分两次：AB段：即：……………（1）……（2）第八章弯曲变形/三、计算弯曲变形的两种方法22222)2(28)(lxqqlxMEI2322222)2(68)(clxqxqlEIxEI2224222222)2(2416)(DxclxqxqlEIxEIBC段：………（3）…（4）第八章弯曲变形/三、计算弯曲变形的两种方法01x0A01x0A三、利用边界条件、连续条件确定积分常数由边界条件确定C1、D1：当当时，,由（1）式得C1=0；时，,由（2）式得D1=0。由连续条件确定C2、D2：第八章弯曲变形/三、计算弯曲变形的两种方法212lxx)()(12xx23212)22(62828CllqlqlClql021CC212lxx)()(12xx1122224222)2(162)22(24)2(16DlClqlDlCllqlql当时，,即联立(1)、(3)式子：，当时，，即联立(2)、(4)式：即得：D2=0第八章弯曲变形/三、计算弯曲变形的两种方法1218)(xqlxEI212116)(xqlxEI32222)2(68)(lxqxqlxEI422222)2(2416)(lxqxqlxEI四、分段建立转角方程、挠曲线方程：AB段：………………………（5）……………………（6）BC段：…………（7）……（8）第八章弯曲变形/三、计算弯曲变形的两种方法21lxEIqlB163EIqlB644lx2EIqllqqlEIc485)2(681333EIqllqlqlEIc38423)2(24)(1614422五．求梁指定截面上的转角和挠度当时，由（5）式得，由（6）式得，当时，由（7）式得，由（8）式得，第八章弯曲变形/三、计算弯曲变形的两种方法叠加法前提小变形力与位移之间的线性关系挠度、转角与载荷（如P、q、M）均为一次线性关系轴向位移忽略不计。2、叠加法——简捷方法须记住梁在简单荷载作用下的变形——挠曲线方程、转角、挠度计算公式。第八章弯曲变形/三、计算弯曲变形的两种方法叠加法的两种处理方法：（1）荷载叠加：叠加原理：在小变形和线弹性范围内，由几个载荷共同作用下梁的任一截面的挠度和转角，应等于每个载荷单独作用下同一截面产生的挠度和转角的代数和。第八章弯曲变形/三、计算弯曲变形的两种方法已知：q、l、EI求：wC,B例题EIqlwC384541,33)(323EIqlEIlqlBEIqlwC48343,1616)(322EIqlEIlqlBEIlqlwC48)(32321BB