现代控制理论考试总结――第一大部分

现代控制理论考试总结第零章．绪论掌握几个概念——即“现代控制理论的六大分支”1.线性系统理论：线性系统理论通过研究线性系统的状态在输入作用下的运动规律，揭示系统的结构参数、动态行为和性能指标间的内在关系。进而从能控性与能观性两个基本概念出发，通过极点配置方法实现系统的状态反馈与状态观测器的设计。2.最优控制理论：最优控制是指在给定的限制条件（约束条件）下，寻求一种使给定的受控系统的性能指标（又称为目标函数、性能泛函、评价函数等）在一定意义下为最优的控制规律。1)庞特里亚金（Pontryagin）的极大（或极小）值原理和贝尔曼（Bellman）的动态规划法是解决最优控制问题的两种最重要的方法。2)状态的能控性与能观性是实现系统最优控制的前提。3.最优估计理论：也称为最优滤波。即考虑受环境噪声及负载干扰时，系统的不确定性可用概率和统计方法进行描述与处理的特点，在系统模型已经建立的基础上，利用受随机噪声污染的系统输入与输出的量测数据，通过统计方法对系统状态作出最优估计。1)古典的维纳（Wiener）滤波和现代的卡尔曼（Kalman）滤波理论（基于能控和能观性理论）是解决最优估计问题的两种重要方法。4.系统辨识理论：研究系统的状态，首先要建立能正确反映动态系统的输入与输出间基本关系的数学模型，这是对系统进行分析与综合的前提。当系统比较复杂无法通过解析方法直接建立模型时，可在系统试验或运行数据的基础上，构造出与系统本质特征等价的模型。1)参数估计问题——模型结构已确定，仅需确定其参数；2)系统辨识问题——模型结构与参数均需确定。5.自适应控制：是指当被控对象的内部结构与参数及外部环境与扰动存在不确定性时，系统自身能在线量测和处理信息，随时辨识系统的模型并按所得模型相应修改控制器的结构与参数，调整最优控制规律以保持系统所要求的最佳性能。1)模型参考自适应控制与自校正控制是自适应控制领域较为成熟的两大基本类型。6.非线性系统理论：主要研究非线性系统的状态的运动规律及改变这些规律的可能性与实现方法，建立并揭示系统的结构、参数、行为和性能间的关系。1)主要内容包括系统的能控性与能观性、系统的稳定性、系统的线性化、系统的解耦及其反馈控制、系统状态估计等等。（以上线性系统理论和最优控制理论是本次考试的主要内容）第一大部分：线性系统理论第一章．线性控制系统的状态空间描述1.状态方程和输出方程共同构成可以完整、准确地描述系统的全部动力学特性的状态空间描述。（）2.线性系统，其状态空间描述可表示为：其中，A(t)系统矩阵——系统内部状态变量之间的联系；B(t)控制矩阵——输入变量如何控制状态变量；C(t)观测矩阵/输出矩阵——输出变量如何反映状态变量；D(t)直接传递矩阵——输入对输出的直接作用；并且A、B、C、D四个矩阵均不依赖x和u图1.状态空间矩阵结构图【考点掌握：见例1和例2，要求：根据题目中的系统图写出状态空间描述的矩阵形式】3.高阶微分方程来描述（时域）：传递函数来描述（频域）：4.如何将一般时域描述转化为状态空间描述1)不包含输入函数导数——形容：结论：可将上述形容的方程组改写为向量形式令则状态方程：；输出方程：()(1)()(1)101nnnnnnyayaybububu(1)0111()()()nnnnnnbsbsbYsGsUssasa12Tnxxxx1122110010000010000010nnnnxxxxuxxaaab12100nxxyx(,,)(,,)ttxfxuygxuttttx=A()x+B()uy=C()x+D()udtyC(t)A(t)B(t)+-XXD(t)u()(1)10nnnyayaybu2)包含输入函数导数——形容：结论：可将上述形容的方程组改写为向量形式状态方程：；输出方程：其中,【考点掌握：见例3和例4，要求：会运用以上两个结论答题即可，重点掌握结论1的应用】5.如何将频域描述转化为状态空间描述1)系统传递函数的特征多项式的根为两两相异当系统传递函数G(S)的特征根𝜆1、𝜆2…𝜆𝑛为两两相异时,展开为部分分式的形式:矩阵形式为：，其中即：，，，2)系统传递函数的特征多项式的根有重根时有一个重根,重数为r,其余为两两相异的根，矩阵形式：，其中3)同时有单极点和多个重极点综上所述，可得如下形式：【考点掌握：见例5和例6，要求：会运用以上两个1,2结论答题即可】7.特征值及其不变性：不变性证明过程：1)线性定常系统系统的特征值，即系统矩阵A的特征值，即特征方程的根；2)对系统做非奇异变换，其特征值不变。DuCxyBuAxx0)det(AI()(1)()(1)101nnnnnnyayaybububu11122211010000100001nnnnnxxxxuxxaaa120100nxxyux001110221120111101nnnnnnnknkkbbabaabaaaba1212()()()nnkkkYsGsUssss1212111nnxxuykkkxlim()()iiisksGsxAxBuyCx12nA111B12nCkkk11121111111()()()nrrrrrnkkkkkYsGsUssssss111221111111112111010011101rrrrrnnnrrnxxxxuxxxxxxykkkkkx111111lim[()()](1)!jrjjsdksGsjds11111222111111011101mmkkkkkkklklkkmnlnlnnkmxxxxxxxxxxxxxx111,11,,1,1110101mkkklkmkmluykkkkkkx11111det()det()det()det()det()det()det()det()IAIPAPPPPAPPIAPPIAPIA3)设A特征值，非零n维向量，则称𝑣𝑖为A的属于𝜆𝑖的特征向量，并且特征向量线性无关，也因此由这些特征向量组成的矩阵P必为非奇异。8.如何将状态方程化为对角线标准型1)矩阵A为任意形式定理：对于线性定常系统若其特征值为两两相异，则必有非奇异阵，可将矩阵A化为对角线标准型,其中为矩阵A相应于的特征向量；即变换：【考点掌握：见例7，要求：做题难点是如何求矩阵P,具体步骤如下：通过求出特征值𝜆𝑖，通过利用待定系数法求出𝑣𝑖𝑗，然后，再计算，最后按，计算即可】2)矩阵A为相伴型前提是A为相伴型，即形容，又称A为友矩阵；那么矩阵A的特征值两两互异时，P可取范德蒙矩阵，为矩阵A的互异特征值。9.如何将状态方程化为约当标准型1)区别：仍存在n个线性无关的特征向量（化为对角型）&线性无关的特征向量个数小于n（化为约当标准型）2)定理：设矩阵A有q个重特征值为𝜆1，而其余n-q个特征值为两两相异分别为，则经非奇异变换，可将A化为，其中【考点掌握：见例8，要求：矩阵P具体算法为，其中为相应于重特征值𝜆1的特征向量；而为相应于其余单特征值的特征向量】（另外，P可取为，，）(1,2,,)iin1212,,,,,,,qqqnpvvvvvv12,,,qvvv12,,,qqnvvv12[]PPPiiAvvxAxBuyCx12,,,n12[]nPvvv12,,,nvvv12,,,n121000000nAPAPdet()IAijiijAvv12[]nPvvv1detadjPPP1APAP1BPB121100001000010aaaaAnnn122221211112111nnnnnnP12,,,qqnnqqAPPA0000000000000000101000012111111111211111()0()()()0()0qqqqnnAIvAIvvAIvvAIvAIv12111121211001201(1)(2)(1)(1)(1)!nnnqPnnnqnq1211111qnnnqnP第二章．线性控制系统的运动分析1.线性定常系统的自由运动1)自由运动定义：线性定常系统在没有外加输入作用下，即u=0由初始条件引起的运动，又称零输入响应；齐次状态方程（自由运动）：，上式自由运动的解可表示为：其中φ(t−𝑡𝑜)为n*n矩阵，称为状态转移矩阵,并满足：几点说明：a)物理含义为：系统在0tt任意时刻的状态()xt均由初始状态0x转移而来，此亦为状态转移矩阵得名的原因。b)线性定常系统自由运动的状态由状态转移矩阵唯一确定，它包含了系统自由运动的全部信息。2)特殊的，对于线性定常系统，状态转移矩阵为：，即状态转移矩阵为指数矩阵，展开式为：3)状态转移矩阵的基本性质：a)．可逆性:100()()tttt即00()()1[]AttAtteeb)．分解性:1212()()()tttt即1212()AttAtAteeec)．传递性:211020()()()tttttt即102021()()()AttAttAtteee4)几个特殊矩阵指数a)若A为对角矩阵,,则有；b)若A为m*m约当矩阵,,则有5)矩阵指数𝒆𝑨𝒕的计算方法a)根据矩阵指数的定义求解:b)应用拉氏反变换法求解:c)将矩阵A化为对角标准型或约当标准型法:经过非奇异变换，可将系统矩阵A变换为对角型或约当型，即i.矩阵A的特征值12,,...,n两两相异，则在确定出使A实现对角化的变换阵P及其逆P-1后，即有，则矩阵指数:ii.当矩阵A有重特征值时，设1为A的n重根，存在线性非奇异变换将A化为约当标准型：，则矩阵指数:x=AxnnAR00()()()ttttxΦx00()()(0)ttttΦAΦΦI0()0()Atttte0(0)()()