现代控制理论课件_状态空间与状态方程

现代控制理论第二节状态空间与状态方程清华大学现代控制理论课件(自动化系石宗英)第二节状态空间与状态方程2.1状态与状态空间2.2状态方程和输出方程2.3状态方程的导出2/33清华大学现代控制理论课件(自动化系石宗英)第二节状态空间与状态方程2.1状态与状态空间2.2状态方程和输出方程2.3状态方程的导出3/33清华大学现代控制理论课件(自动化系石宗英)2.1状态与状态空间当系统的初始条件非零时，则需要外部输入和初始条件的信息，才能确定系统的输出在古典控制理论中，用传递函数来描述系统usGy)(这里假设系统的初始条件是零。)),[)((0tttu。)),[)((0ttty4/33清华大学现代控制理论课件(自动化系石宗英)2.1状态与状态空间在已知时，能唯一地确定系统运动（或行为）的在时刻的初始信息，称为该系统在时的状态。状态：在未来外部输入已知时，为完全描述系统行为（或运动）所需的最小一组变量。系统的行为由某一时刻的状态以及该时刻之后的外部输入唯一地确定。)),[)((0tttu0t0t5/33清华大学现代控制理论课件(自动化系石宗英)2.1状态与状态空间状态变量：构成系统状态的变量。状态向量：若完全描述系统行为需要n个状态变量，将其视为向量的分量，则向量称为状态向量，记为)(),...,(),(21txtxtxn)(tX)(tX)()()()(21txtxtxtXn6/33清华大学现代控制理论课件(自动化系石宗英)如图所示的机械系统的运动方程为tyhtkytftymdd)()(dd22)()(dddd22tftkytyhtym2.1状态与状态空间mkf(t)y(t)h即例17/33清华大学现代控制理论课件(自动化系石宗英)当(1)f(t)(t)给定;(2)y(t)和dy(t)/dt在时的值已知;时，则上述常微分方程的解唯一地被确定。因此，可以认为y(t)和dy(t)/dt是该系统的一组状态变量，相应的状态向量为)()()()()(21tytytxtxtX0t0t2.1状态与状态空间8/33清华大学现代控制理论课件(自动化系石宗英)考虑图所示的电路。2.1状态与状态空间例2RC1R2R1C2Cu1i1u2i2u由电路原理，知22121111121222)()(,)()()(d)(d)()(,d)(d)(RtutuiRtututittuCtitittuCti9/33清华大学现代控制理论课件(自动化系石宗英)2.1状态与状态空间若已知，则确定，故是一组状态。)(),(),(21tututu)()(21titi和)()(21tutu和若已知，则确定故是一组状态。)(),()(),(211tutututu)()(21titi和)()()(211tututu和？可否选取为状态。和11ui(为什么？)……10/33清华大学现代控制理论课件(自动化系石宗英)2.1状态与状态空间对于一给定的系统，状态变量的选取不是唯一的。将状态向量全体所构成的集合称为状态空间。当输入量有多个时，其构成的列向量称为输入向量。可量测的量（其为状态和输入的函数）所构成的向量称为输出向量。11/33清华大学现代控制理论课件(自动化系石宗英)第二节状态空间与状态方程2.1状态与状态空间2.2状态方程和输出方程2.3状态方程的导出12/33清华大学现代控制理论课件(自动化系石宗英)2.2状态方程和输出方程状态变量的一阶微分方程组称为状态方程。)()()(tButAXtX其中,R)(,R)(lntutX状态矩阵A是n×n矩阵,输入矩阵B是n×l矩阵。状态方程的第i行为)()()(11tubtxatxklkikjnjiji线性状态方程的标准形式为：13/33清华大学现代控制理论课件(自动化系石宗英)2.2状态方程和输出方程当A和B为常数矩阵时，称状态方程为定常的；当其包含有时变元时，称之为时变的。YtCXtDut其中线性输出方程的标准形式为lmnmmRDRCRY,,14/33清华大学现代控制理论课件(自动化系石宗英)2.2状态方程和输出方程非线性时变输出方程的一般形式为(,,)YthXUt),,()(tuXftX其第i行为));(),...,(),();(),...,(),(()(2121ttutututxtxtxftxlnii非线性时变状态方程的一般表示为：15/33清华大学现代控制理论课件(自动化系石宗英)2.2状态方程和输出方程UXDCBAYX简记为将状态方程和输出方程合称为运动方程。),,,,(DCBA运动方程=状态方程（1阶微分方程组）+输出方程（代数方程组）线性系统的运动方程可写成：当D=0时，记为。),,(CBA16/33清华大学现代控制理论课件(自动化系石宗英)第二节状态空间与状态方程2.1状态空间与状态方程2.2状态方程和输出方程2.3状态方程的导出17/33清华大学现代控制理论课件(自动化系石宗英))()(dddd22tftkytyhtym2.3状态方程的导出mkf(t)y(t)h例1)()()()()(21tytytxtxtX)(1)()()()()()()(21221tfmtxmhtxmktytxtxtytx则18/33清华大学现代控制理论课件(自动化系石宗英)2.3状态方程的导出即)(10)(10)()()(21tfmtXmhmktxtxtX令mBmhmkA10,10)()()(tBftAXtX则19/33清华大学现代控制理论课件(自动化系石宗英)2.1状态与状态空间例21R2R1C2Cu1i1u2i2u22121111121222,dd)()(,dd)(RuuiRuuituCtitituCti20/33清华大学现代控制理论课件(自动化系石宗英)2.1状态与状态空间uCRuCRuRRCCRuuCRuutu1121212111221111111111dd有2221222221211dduCRuCRCRuutu,)()()(21状态向量tututX令输出向量)()()(21tititY21/33清华大学现代控制理论课件(自动化系石宗英)2.1状态与状态空间)(01)(111111)(11222212211tuCRtXCRCRCRRRCtX)(01)(1101)(1221tuRtXRRRtY22/33清华大学现代控制理论课件(自动化系石宗英)2.1状态与状态空间)(01)(111111)(11222212211tuCRtXCRCRCRRRCtX)(01)(1101)(1221tuRtXRRRtYABDC)()()(tButAXtX则)()()(tDutCXtY23/33清华大学现代控制理论课件(自动化系石宗英)2.1状态与状态空间也可选取为状态，即令则)(11)(111111)(1111212211211tuCRCRtXCCRCRCRCRtX211uuu和)()()()(211tutututX注意：不能选取为状态。和11ui(为什么？)24/33清华大学现代控制理论课件(自动化系石宗英)2.3状态方程的导出uxxxxxx121221例3：设一系统由如下微分方程组描述：令23xx则uxxxxxx13123125/33清华大学现代控制理论课件(自动化系石宗英)2.3状态方程的导出令TxxxX321则uxxxxxxxxx321332321整理得uXX10011110011026/332.3状态方程的导出清华大学现代控制理论课件(自动化系石宗英)0123211233211001000101bbbyuxxxaaaxxx：（一种能控标准型）算法为输入为输出，其中uyubububyayayay210321例4：Why?27/33清华大学现代控制理论课件(自动化系石宗英)2.3状态方程的导出)1(3210321ububububyayayay)3()2(,,)2(22103102012102102231011201uβuβuβxyuβuβxyuβxyβββuβuβuβyuβxxuβuβyuβxxuβyx式有：由的推导过程如下：其中待定系数令：算法28/33清华大学现代控制理论课件(自动化系石宗英))5(0)1()4)(3(4031221332112201110013223143210432104334βaβaβabββaβabββabβbβxaxaxaxuuβuβuβuβxyuβuβuβuβyxuβxx的同次幂的系数有：，比较等号两边代入式将）（即从而有引入中间变量2.3状态方程的导出29/27清华大学现代控制理论课件(自动化系石宗英)uxxxyuxxxaaaxxxuxaxaxauxxuxxuxx03213213211233213132231343232121001100010由此可得状态方程：2.3状态方程的导出30/27清华大学现代控制理论课件(自动化系石宗英)第二节状态空间与状态方程2.1状态空间与状态方程2.2状态方程和输出方程2.3状态方程的导出31/33清华大学现代控制理论课件(自动化系石宗英)作业12.1对于下图所示的RC网络，取21uu和为状态，分别为输入和输出，写出其运动方程。oiuu和1uiu2uou2C1C1R2R32/33清华大学现代控制理论课件(自动化系石宗英)作业1tuuxtxtxdd2dd2dd222.2设一系统由如下微分方程描述：程。为输出，写出其运动方为输入，以xu33/33