现代控制理论课程设计1

现代控制理论课程设计题目：单倒置摆控制系统的状态空间设计学院：专业班级：姓名：学号：指导教师：设计日期：2011.5.20一、设计题目及原理图如图1所示，为单倒置摆系统的原理图。设摆的长度为、质量为m，用铰链安装在质量为M的小车上。小车有一台直流电动机拖动，在水平方向对小车施加控制力u,相对参考系产生位移z。若不给小车施加控制力，则倒置摆会向左或向右倾倒，因此，它是一个不稳定系统。控制的目的是，当倒置摆无论出现向左或向右倾倒时，通过控制直流电动机，使小车在水平方向运动，将倒置摆保持在垂直位置上。二、倒置摆的状态空间方程为简化问题，工程上可以忽略一些次要因素。在本例中，我们为了简化问题，方便研究系统空间的设计问题，忽略了摆杆质量、执行电动机惯性以及摆轴、轮轴、轮与接触面之间的摩擦及风力。设小车的瞬时位置为z，倒置摆出现的偏角为θ，则摆心瞬时位置为)sin(lz。在控制力u的作用下，小车及摆均产生加速运动，根据牛顿第二定律，在水平直线运动方向的惯性力应与控制力u平衡，则有ulzdtdmdtzdM)sin(2222即umlmlzmMsincos)(2(1)由于绕摆旋转运动的惯性力矩应与重力矩平衡，因而有sincos)sin(22mgllzdtdm即sincossincoscos2gllz（2）式（1）、式（2）两个方程都是非线性方程，需作线性化处理。由于控制的目的是保持倒置摆直立，因此，在施加合适u的条件下，可以认为、均接近于零，此时sin≈，1cos,且可以忽略2项，于是有MZu图1单倒置摆系统的原理图mLumlzmM)(（3）z+l=g（4）连联立求解式（3）、式（4），可得uMMmgz1（5）uMlgMlmM1)(（6）消去中间变量θ，可得输入量为u、输出量为z的微分方程为uMlguMzMlgmMz1)(4（7）综合上述的分析，可抽象出系统的研究对象为：位移z、小车的速度z、摆的角速度θ及其角速度的。系统的研究对象抽象成这四个变量后，接下来就可以根据前面的方程为这四个变量建立空间状态方程，并分析被控对象的特性。三、建立倒置摆的状态空间模型再上一步中，我们已经选取了四个研究对象作为状态变量，它们分别为：位移z、小车的速度z、摆的角速度θ及其角速度的。Z为输出变量，在考虑zzdtd，dtd以及式（5）、（6）、（7），可列出倒置摆的状态空间模型表达式为：uMlMMlgmMMmg10100)(0010000000010xx（8a）x0001y(8b)式中Tzzx为方便研究，假定系统的参数M=1kg,m=0.1kg,l=1m,2/81.9smg,则系统状态方程中参数矩阵为：01100100001000010A,1010b，0001c（9）此时倒置摆的状态空间模型表达式为：u101001100100001000010xxx0001y四、对模型进行分析（即对被控对象进行分析）以及相应仿真在建立完模型后我们需要对模型进行分析。作为被控制的倒置摆，当它向左或向右倾倒时，能否通过控制作用使它回复到原直立位置，这取决于其能控性。因此我们首先分析它的能控性。1.能控性分析根据能控性的秩判据，并将式（9）的有关数据带入该判据，可得4bAbAAbbM32rankrank（10）因此，单倒置摆的运动状态是可控的。换句话说，这意味着总存在一控制作用u,将非零状态x转移到零。仿真代码如下：代码：A=[0,1,0,0,;0,0,-1,0;0,0,0,1;0,0,11,0];b=[0;1;0;-1];c=[1,0,0,0];d=0;N=size(A);n=N(1);sys0=ss(A,b,c,d);S=ctrb(A,b)；f=rank(S);iff==ndisp('系统能控')elsedisp('系统不能控')end结果截图：2.稳定性分析由单倒置摆系统的状态方程，可求的其特征方程为：0)11(22AI（11）解得特征值为0,0，11，-11。四个特征值中存在一个正根，两个零根，这说明单倒置摆系统，即被控系统不稳定的。仿真:采用MATLAB对被控对象进行仿真，如下图所示为倒摆没有添加任何控制器下四个变量的单位阶跃响应。如图可知，系统不稳定，不能到达控制目的。代码：A=[0,1,0,0,;0,0,-1,0;0,0,0,1;0,0,11,0];b=[0;1;0;-1];c=[1,0,0,0];d=0;sys0=ss(A,b,c,d);t=0:0.01:5;[y,t,x]=step(sys0,t);subplot(2,2,1);plot(t,x(:,1));gridxlabel('t(s)');ylabel('x(t)');title('z');subplot(2,2,2);plot(t,x(:,2));grid;xlabel('t(s)');ylabel('x(t)');title('z的微分');subplot(2,2,3);plot(t,x(:,3));gridxlabel('t(s)');ylabel('x(t)');title('\theta')subplot(2,2,4);plot(t,x(:,4));gridxlabel('t(s)');ylabel('x(t)');title('\theta的微分')仿真结果如下：由上面两个方面对系统模型进行分析，可知被控系统是具有能控性的，但是被控系统是不稳定的，需对被控系统进行反馈综合，使四个特征值全部位于根平面S左半平面的适当位置，以满足系统的稳定工作已达到良好、静态性能的要求。因此我们需要设计两种控制器方案来使系统到达控制的目的，分别为：全维状态观测器的设计和降维观测器的设计。3、单倒置摆系统的综合采用全状态反馈。取状态变量z、z、θ、为反馈信号，状态控制规律为kxvu（12）设3210kkkkk式中，30~kk分别为z、z、θ、反馈至参考输入v的增益。则闭环控制系统的状态方程为vbxbkAx)(设置期望闭环极点为-1，-2，-1+i,-1-i由MATLAB可求得：0k=-0.4，1k=-1，2k=-21.4，3k=-6如下图画出状态反馈系统结构图：相应的Scope图形如下：仿真的代码如下：A=[0,1,0,0,;0,0,-1,0;0,0,0,1;0,0,11,0];b=[0;1;0;-1];c=[1,0,0,0];d=0;N=size(A);n=N(1);sys0=ss(A,b,c,d);P_s=[-1,-2,-1+i,-1-i];k=acker(A,b,P_s)A1=A-b*k;sys=ss(A1,b,c,d);t=0:0.01:5;[y,t,x]=step(sys,t);subplot(2,2,1);plot(t,x(:,1));gridxlabel('t(s)');ylabel('x(t)');title('z');subplot(2,2,2);plot(t,x(:,2));grid;xlabel('t(s)');ylabel('x(t)');title('z的微分');subplot(2,2,3);plot(t,x(:,3));gridxlabel('t(s)');ylabel('x(t)');title('\theta')subplot(2,2,4);plot(t,x(:,4));gridxlabel('t(s)');ylabel('x(t)');title('\theta的微分')t=0:0.01:10;[y,t,x]=step(sys,t);subplot(2,2,1);plot(t,x(:,1));gridxlabel('t(s)');ylabel('x(t)');title('z');subplot(2,2,2);plot(t,x(:,2));grid;xlabel('t(s)');ylabel('x(t)');title('z的微分');subplot(2,2,3);plot(t,x(:,3));gridxlabel('t(s)');ylabel('x(t)');title('\theta')subplot(2,2,4);plot(t,x(:,4));gridxlabel('t(s)');ylabel('x(t)');title('\theta的微分')最后显示的结果如下：k=-0.4000-1.0000-21.4000-6.0000图单倒置摆全状态反馈的阶跃响应曲线如仿真图可知，单倒置摆的全状态反馈为稳定的闭环系统。观察仿真曲线：单位阶跃的作用下，输出变量逐渐趋于某一常数，状态变量θ则是逐渐趋于0。当参考输入v单位阶跃时，状态向量在单位阶跃的作用下相应逐渐趋于稳定，这时摆杆回到原始位置（即θ=0），小车也保持稳定（即z=某一常数）。如果不将4个状态变量全用作反馈，该系统则不能稳定。五、设计方案方案一：全维观测器的设计为实现单倒置摆控制系统的全状态反馈，必须获取系统的全部状态，即z、z、θ、的信息。因此，需要设置z、z、θ、的四个传感器。在实际的工程系统中往往并不是所有的状态信息都是能检测到的，或者，虽有些可以检测，但也可能由于检测装置昂贵或安装上的困难造成难于获取信息，从而使状态反馈在实际中难于实现，甚至不能实现。在这种情况下设计全维状态观测器，解决全维状态反馈的实现问题。（1）判定系统状态的能观测性将式（9）中的数值代入能观测性秩判据，得：4)()(TTTTTTrankrankcAcAcAcN32T故北控系统的4个状态均是可观测的。这意味着，其状态可由一个全维（四维）状态观测器给出估值。GyBuxGCAxˆ)(ˆ式中Tgggg3210G全维观测器已G配置极点，决定状态向量估计误差衰减的速率。设置状态观察器的期望闭环极点为-2，-3，-2+i,-2-i。由于最靠近虚轴的希望闭环极点为-2，这意味着任一状态变量估计值至少以te2规律衰减。由MATLAB可求的出G：0g=9，1g=42，2g=-148，3g=-492为实现单倒置摆控制系统的全状态反馈，必须获取系统的全部状态，即z、z、θ、的信息。因此，需要设置z、z、θ、的四个传感器。在实际的工程系统中往往并不是所有的状态信息都是能检测到的，或者，虽有些可以检测，但也可能由于检测装置昂贵或安装上的困难造成难于获取信息，从而使状态反馈在实际中难于实现，甚至不能实现。在这种情况下设计全维状态观测器，解决全维状态反馈的实现问题。使用simulink仿真图：全维状态观测器实现状态反馈的结构图：相应的Scope显示如下：仿真的代码如下：代码1：A=[0,1,0,0,;0,0,-1,0;0,0,0,1;0,0,11,0];b=[0;1;0;-1];c=[1,0,0,0];d=0;V=obsv(A,c);m=rank(V);ifm==ndisp('系统能观')elsedisp('系统不能观')end结果1：代码2：A=[0,1,0,0,;0,0,-1,0;0,0,0,1;0,0,11,0];b=[0;1;0;-1];c=[1,0,0,0];d=0;N=size(A);n=N(1);sys0=ss(A,b,c,d);P_s=[-1,-2,-1+i,-1-i];k=acker(A,b,P_s)h=(acker(A',c',P_s))'A1=[A,-b*k;h*c,A-b*k-h*c];b1=[b;b];c1=[czeros(1,4)];