实验四 信号抽样与调制解调

信信号与系统实验报告（第四次实验）指导老师：姓名：学号：班级：实验四信号抽样与调制解调一、实验目的1、进一步理解信号的抽样及抽样定理；2、进一步掌握抽样信号的频谱分析；3、掌握和理解信号抽样以及信号重建的原理；4、掌握傅里叶变换在信号调制与解调中的应用。基本要求：掌握并理解“抽样”的概念，理解抽样信号的频谱特征。深刻理解抽样定理及其重要意义。一般理解信号重建的物理过程以及内插公式所描述的信号重建原理。理解频率混叠的概念。理解调制与解调的基本概念，理解信号调制过程中的频谱搬移。掌握利用MATLAB仿真正弦幅度调制与解调的方法。二、实验原理及方法1、信号的抽样及抽样定理抽样（Sampling），就是从连续时间信号中抽取一系列的信号样本，从而，得到一个离散时间序列（Discrete-timesequence），这个离散序列经量化（Quantize）后，就成为所谓的数字信号（DigitalSignal）。今天，很多信号在传输与处理时，都是采用数字系统（Digitalsystem）进行的，但是，数字系统只能处理数字信号，不能直接处理连续时间信号或模拟信号（Analogsignal）。为了能够处理模拟信号，必须先将模拟信号进行抽样，使之成为数字信号，然后才能使用数字系统进行传输与处理。所以，抽样是将连续时间信号转换成离散时间信号必要过程。模拟信号经抽样、量化、传输和处理之后，其结果仍然是一个数字信号，为了恢复原始连续时间信号，还需要将数字信号经过所谓的重建（Reconstruction）和平滑滤波（Smoothing）。图4.1展示了信号抽样与信号重建的整个过程。图4.2给出了信号理想抽样的原理图：AntialiasingfilterSampler/HolderA/DconvertorDigitalProcessorD/AconvertorAntialiasingfilter图4.1模拟信号的数字处理过程)(tp)(txa)(ty)(tx)(tp)(txs)(jXmm图4.2(a)抽样原理图，(b)带限信号的频谱(a)(b)上图中，假设连续时间信号是一个带限信号（BandlimitedSignal），其频率范围为mm~，抽样脉冲为理想单位冲激串（UnitImpulseTrain），其数学表达式为：)()(snTttp4.1由图可见，模拟信号x(t)经抽样后，得到已抽样信号（SampledSignal）xs(t)，且：)()()(tptxtxs4.2将p(t)的数学表达式代入上式得到：)()()(sssnTtnTxtx4.3显然，已抽样信号xs(t)也是一个冲激串，只是这个冲激串的冲激强度被x(nTs)加权了。从频域上来看，p(t)的频谱也是冲激序列，且为：)()}({ssntpF4.4根据傅里叶变换的频域卷积定理，时域两个信号相乘，对应的积的傅里叶变换等于这两个信号的傅里叶变换之间的卷积。所以，已抽样信号xs(t)的傅里叶变换为：nsssnjXTjX))((1)(4.5表达式4.5告诉我们，如果信号x(t)的傅里叶变换为X(j)，则已抽样信号xs(t)的傅里叶变换Xs(j)等于无穷多个加权的移位的X(j)之和，或者说，已抽样信号的频谱等于原连续时间信号的频谱以抽样频率s为周期进行周期复制的结果。如图4.3所示：由图可见，如果抽样频率不小于信号带宽的2倍时，xs(t)的频谱中，X(j)的各个复制品之间没有混叠（Aliasing），因此，可以用一个理想低通滤波器来恢复原始信号。由抽样信号恢复原来的原始信号的过程称为信号的重建(Reconstruction)。反之，如果抽样频率小于信号带宽的2倍时，xs(t)的频谱中，X(j)的各个复制品之间的距离（也就是s）太近，)(tx)(tp)(txs)(jX)(jP)(jXssssMMsTtttsT/1图4.3信号抽样及其频谱图所以必将造成频谱之间的混叠，在这种情况下，是无论如何也无法恢复出原来的连续时间信号的。由此，我们得出下面的结论：当抽样频率s2M时，将原连续时间信号x(t)抽样而得到的离散时间序列x[n]可以唯一地代表原连续时间信号，或者说，原连续时间信号x(t)可以完全由x[n]唯一地恢复。以上讨论的是理想抽样的情形，由于理想冲激串是无法实现的，因此，这种理想抽样过程，只能用来在理论上进行抽样过程的分析。在实际抽样中，抽样往往是用一个A/D转换器实现的。一片A/D转换芯片包含有抽样保持电路和量化器。模拟信号经过A/D转换器后，A/D转换器的输出信号就是一个真正意义上的离散时间信号，而不再是冲激串了。A/D转换器的示意图如图4.4所示。上述的实际抽样过程，很容易用简单的数学公式来描述。设连续时间信号用x(t)表示，抽样周期（SamplingPeriod）为Ts，抽样频率（SamplingFrequency）为s，则已抽样信号的数学表达式为)()(][snTtnTxtxnxs4.6在MATLAB中，对信号抽样的仿真，实际上就是完成式4.6的计算。下面给出一个例题和相应的范例程序，来实现信号抽样的仿真运算。三、实验内容及步骤Q4-1给范例程序Program4_1加注释。%Program4_1clear,closeall,tmax=4;dt=0.01;%Thehighestfrequencyofx(t)t=0:dt:tmax;Ts=1/10;ws=2*pi/Ts;w0=20*pi;dw=0.1;w=-w0:dw:w0;n=0:1:tmax/Ts;HolderQuantizersT)(tp)(tx][nxSampler图4.4A/D转换器示意图x=exp(-4*t).*u(t);xn=exp(-4*n*Ts);subplot(221)plot(t,x),title('Acontinuous-timesignalx(t)'),xlabel('Timet'),axis([0,tmax,0,1]),gridonsubplot(223)stem(n,xn,'.'),title('Thesampledversionx[n]ofx(t)'),xlabel('Timeindexn'),axis([0,tmax/Ts,0,1]),gridonXa=x*exp(-j*t'*w)*dt;X=0;fork=-8:8;X=X+x*exp(-j*t'*(w-k*ws))*dt;endsubplot(222)plot(w,abs(Xa))title('Magnitudespectrumofx(t)'),gridonaxis([-60,60,0,1.8*max(abs(Xa))])subplot(224)plot(w,abs(X))title('Magnitudespectrumofx[n]'),xlabel('Frequencyinradians/s'),gridonaxis([-60,60,0,1.8*max(abs(Xa))])Q4-2范例程序Program4_1中的连续时间信号x(t)是什么信号？答：是不连续的信号。Q4-3在1/2—1/10之间选择若干个不同Ts值，反复执行执行范例程序Program4_1，保存执行程序所得到的图形。Ts=1/2时的信号时域波形和频谱0123400.51Acontinuous-timesignalx(t)Timet0246800.51Thesampledversionx[n]ofx(t)Timeindexn-5005000.10.20.30.4Magnitudespectrumofx(t)-5005000.10.20.30.4Magnitudespectrumofx[n]Frequencyinradians/sTs=1/4时的信号时域波形和频谱图Ts=1/8时的信号时域波形和频谱图0123400.51Acontinuous-timesignalx(t)Timet010203000.51Thesampledversionx[n]ofx(t)Timeindexn-5005000.10.20.30.4Magnitudespectrumofx(t)-5005000.10.20.30.4Magnitudespectrumofx[n]Frequencyinradians/s根据上面的三幅图形，作一个关于抽样频率是怎样影响已抽样信号频谱的小结。答：抽样频率越高，就越接近不容易失真。Q4-4请手工计算升余弦信号x(t)=[1+cos(pi*t)].*[u(t+1)-u(t-1)]的傅里叶变换的数学表达式，手工绘制其幅度频谱图。计算过程：x(w)=2Sa(w)[()2w（))2w（)手工绘制的升余弦信号x(t)=[1+cos(pi*t)].*[u(t+1)-u(t-1)]的幅度频谱图从上图的幅度频谱上看，升余弦信号是否是带限信号？能否近似将它看作是一个带限信号？如果可以，那么，估计信号的最高频率大约是多少？答：是带限信号，信号的最高频率大约50HZQ4-5阅读范例程序Program4_2，在这个程序中，选择的信号的最高频率是多少？这个频率选择得是否恰当？为什么？答：选择信号的最高频率为100HZ,这个频率选择恰当，因为f2fmaxQ4-6在1—8之间选择抽样频率与信号最高频率之比，即程序Program4_2中的a值，反复执行范例程序Program4_2，观察重建信号与原信号之间的误差，通过对误差的分析，说明对于带限信号而言，抽样频率越高，则频谱混叠是否越小？答：程序如下：%ProgramQ4_6%Signalsamplingandreconstruction%Theoriginalsignalistheraisedcosinsignal:x(t)=[1+cos(pi*t)].*[u(t+1)-u(t-1)].clear;closeall,wm=2*pi;%Thehighestfrequencyofx(t)a=input('Typeinthefrequencyratews/wm=:');%wsisthesamplingfrequencywc=wm;%Thecutofffrequencyoftheideallowpassfiltert0=2;t=-t0:0.01:t0;x=(1+cos(pi*t)).*(u(t+1)-u(t-1));subplot(221);%Plottheoriginalsignalx(t)plot(t,x);gridon,axis([-2,2,-0.5,2.5]);title('Originalsignalx(t)');xlabel('Timet');ws=a*wm;%SamplingfrequencyTs=2*pi/ws;%SamplingperiodN=fix(t0/Ts);%Determinethenumberofsamplersn=-N:N;nTs=n*Ts;%Thediscretetimevariablexs=(1+cos(pi*nTs)).*(u(nTs+1)-u(nTs-1));%Thesampledversionofx(t)subplot(2,2,2)%Plotxsstem(n,xs,'.');xlabel('Timeindexn');gridon,title('Sampledversionx[n]');xr=zeros(1,length(t));%SpecifyamemorytosavethereconstructedsignalL=length(-N:N);xa=xr;figure(2);%Openanewfigurewindowtoseethedemoofsignalreconstructionstem(nTs,xs,'.');xlabel('Timeindexn');gridon;holdonfori=1:Lm=(L-1)/2+1-i;xa=Ts*(wc)*xs(i)*sinc((wc)*(t