大一下学期高等数学期末考试试题及答案

高数第1页共2页高等数学A(下册)期末考试试题【A卷】院（系）别班级学号姓名成绩大题一二三四五六七小题12345得分一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上）1、已知向量a、b满足0ab，2a，2b，则ab．2、设ln()zxxy，则32zxy．3、曲面229xyz在点(1,2,4)处的切平面方程为．4、设()fx是周期为2的周期函数，它在[,)上的表达式为()fxx，则()fx的傅里叶级数在3x处收敛于，在x处收敛于．5、设L为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则()Lxyds．※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级．二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分）1、求曲线2222222393xyzzxy在点0M(1,1,2)处的切线及法平面方程．2、求由曲面2222zxy及226zxy所围成的立体体积．3、判定级数11(1)lnnnnn是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？4、设(,)sinxzfxyyy，其中f具有二阶连续偏导数，求2,zzxxy．5、计算曲面积分,dSz其中是球面2222xyza被平面(0)zhha截出的顶部．高数第2页共2页三、（本题满分9分）抛物面22zxy被平面1xyz截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．四、（本题满分10分）计算曲线积分(sin)(cos)xxLeymdxeymxdy，其中m为常数，L为由点(,0)Aa至原点(0,0)O的上半圆周22(0)xyaxa．五、（本题满分10分）求幂级数13nnnxn的收敛域及和函数．六、（本题满分10分）计算曲面积分332223(1)Ixdydzydzdxzdxdy，其中为曲面221(0)zxyz的上侧．七、（本题满分6分）设()fx为连续函数，(0)fa，222()[()]tFtzfxyzdv，其中t是由曲面22zxy与222ztxy所围成的闭区域，求30()limtFtt．-------------------------------------备注：①考试时间为2小时；②考试结束时，请每位考生按卷面答题纸草稿纸由表及里依序对折上交；不得带走试卷。高数第3页共2页高等数学A(下册)期末考试试题【A卷】参考解答与评分标准一、填空题【每小题4分，共20分】1、4；2、21y；3、2414xyz；4、3，0；5、2.二、试解下列各题【每小题7分，共35分】1、解：方程两边对x求导，得323dydzyzxdxdxdydzyzxdxdx，从而54dyxdxy，74dzxdxz…………..【4】该曲线在1,1,2处的切向量为571(1,,)(8,10,7).488T…………..【5】故所求的切线方程为1128107xyz………………..【6】法平面方程为81101720xyz即810712xyz……..【7】２、解：2222226zxyzxy222xy，该立体在xOy面上的投影区域为22:2xyDxy．…..【2】故所求的体积为Vdv222262200202(63)6dddzd……..【7】３、解：由11limlimln(1)limln(1)10nnnnnnunnn，知级数1nnu发散…………………【3】又111||ln(1)ln(1)||1nnuunn,1lim||limln(1)0nnnun.故所给级数收敛且条件收敛．【7】４、解：121211()0zfyfyffxyy，…………………………………【3】2111122212222211[()][()]zxxfyfxfffxfxyyyyy111222231.xfxyfffyy【7】５、解：的方程为222zaxy，在xOy面上的投影区域为2222{(,)|}xyDxyxyah．又222221xyzzaaxy，…..………【３】高数第4页共2页故2222222200xyahDdSadxdydadzaxya2222012ln()2ln2ahaaaah..【7】三、【9分】解：设(,,)Mxyz为该椭圆上的任一点，则点M到原点的距离为222dxyz……【1】令22222(,,)()(1)Lxyzxyzzxyxyz，则由22220220201xyzLxxLyyLzzxyxyz，解得132xy，23z．于是得到两个可能极值点1213131313(,,23),(,,23).2222MM…………………【7】又由题意知，距离的最大值和最小值一定存在，所以距离的最大值与最小值分别在这两点处取得．故max2min1||953,||953.dOMdOM……【9】四、【10分】解：记L与直线段OA所围成的闭区域为D，则由格林公式，得22(sin)(cos)8xxDLOAIeymdxeymxdymdma．………………【5】而10(sin)(cos)axxOAIeymdxeymxdymdxma…………【8】221(sin)(cos).8xxLeymdxeymxdyIImama………………………【10】五、【10分】解：1131limlim3133nnnnnnanRan，收敛区间为(3,3)…………【2】又当3x时，级数成为11nn，发散；当3x时，级数成为11nnn，收敛．……【4】故该幂级数的收敛域为3,3………【5】令13nnnxsxn（33x），则高数第5页共2页11111111()()33331/33nnnnnxxsxxx,(||3x)……【8】于是000()()ln3ln3ln33xxxdxsxsxdxxxx，（33x）………………….【10】六、【10分】解：取1为220(1)zxy的下侧，记与1所围成的空间闭区域为，则由高斯公式，有133222222316Ixdydzydzdxzdxdyxyzdv………….…【5】2211200062ddzdz…………………….…【7】而221133221122313133xyIxdydzydzdxzdxdyzdxdydxdy….…【9】2123.III…………………….…【10】七、【6分】解：2224000sincostFtddrfrrdr….…【2】3224400002sincossinttdrdrdfrrdr4220228ttrfrdr….…【4】故32223200022()22222limlimlim().333tttttftFtftatt【6】