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2016春季班（三年级）教师第10讲第1页在画图形的过程中，从图的一点出发，用笔在纸上连续不断而且不重复地一笔画成，这个图形就叫一笔画.不能一笔画成的图形叫多笔画图形.一个图形是否是一笔画和这个图形的奇点、偶点个数有关.一个几何图形中和一点相连通的线的条数不同.与偶数条线相连的点叫做偶点，与奇数条线相连的点叫做奇点.一笔画的判断：(1)一笔画必须是连通的(图形的各部分之间连接在一起)；(2)没有奇点(0个奇点)的连通图形是一笔画，画时可以从任一偶点出发，一笔画成后仍回到这个偶点；(3)只有两个奇点的连通图形是一笔画，画时必须从其中一个奇点出发，经过一笔画后到达另一个奇点；(4)奇点个数超过两个的图形不能一笔画成.【例1】请你看图填写下表．图①②③④⑤⑥奇点数446688最少笔画数223344小结：(1)连通图中的奇点个数必为偶数：当有2n个奇点时，这个图形最少要用n笔画成；观察下面的图，试一试，画一画，至少用几笔画成？①②③④⑤⑥想一想练一练一笔画与多笔画课前回顾认识一笔画问题的拓展；熟练掌握多笔画问题与一笔画的转换；了解多笔画问题在实际生活中的应用.2016春季班（三年级）教师第10讲第2页图①②③奇点数8120最少笔画数461【例2】判断下列图形能否一笔画．若能，请给出一种画法，若不能，请加一条线或去一条线，将其改成可一笔画的图形．图①②③奇点数444下图不能一笔画，请增加或去掉最少的线，将它们变为一笔画．图①奇点数6分析：图（1）中有6个奇点，因此可添上两条（或3条）边后可改为一笔画；又因为这个图中，把这6个奇点任意分为3对后，最多只有两对奇点间有边相连，因此，可去掉两条边后改为一笔画，举例如图（3）～（6）。(3)想一想练一练2016春季班（三年级）教师第10讲第3页图（2）中有4个奇点，因此，可添上2条（或1条）边后改为一笔画；又因为把奇点按A与B，C与D（或A与D，B与C）分为两对后，每对间均有边相连，因此，可去掉两条（或1条）边后改为一笔画.举例如图（7）～（8）.说明：图（6）运用了两种方法，去掉边BC，添上边AD与EF.小结：(2)将不能一笔画成的图形改造成一笔画的图形的方法主要是：①加边；②去边.无论是加边还是去边，其基本思想都是减少奇点个数至0个或2个.【例3】图中是某花房的平面图，它由6间展室组成，每相邻两室有一门相通．请设计一个出口，使参观者能够从入口A进去，一次不重复地经过所有的门，最后由出口走出花房．同上分析，可把每个花室看作一个点（花房外也看作是一个结点），每个门看作是连接两结点的边，于是，上图就转化为右图.设计一个出口，实际上是添一条与结点A相连的边，使新图能够以A为起点和终点一笔画出，也就是说，新图中，所有的点都必须是偶点.观察右图，发现只有A、F两个奇点，所以，应把边添在A与F之间（如右图），即：把出口开在花室F处。【例4】下图是某博物馆的平面图，相邻两个展厅之间有一扇门相通(D与E除外)，并且有一个入口和一个出口．问参观者能否从入口入，不重复地一次穿过每一扇门？若能，请找出一条可行路径；若不能，请关闭某一扇门，参观者能否不重复地穿过每一扇开着的门？分析：类似于上一节中的问题，我们把每个厅看作一个结点（室外也看作一个结点），两厅之间有门相通可看作两结点之间有线相连，于是问题转化为图（2）能否一笔画完的问题.显然，图中有四个奇点：A、B、C、F，不可能一笔画出，即游人不可能一次不重复地穿过所有的门。4个奇点时，只要把连接其中两个奇点的一条边去掉，这个图就只剩下两个奇点，就可以一笔画出，即游人可以用剩下的FEDCBA实际应用2016春季班（三年级）教师第10讲第4页两个奇点分别作为起点和终点，不重复地穿过所有的门.关掉一扇门实际上就是去掉一条边.因此，我们可以考虑去掉边AC或AB.但是，值得注意的是：游人必须从入口进入，也即结点F必须作为起点，而本题中有4个奇点且只允许去掉一条边，因此F必须是奇点，也即不能去掉与F相连的边。通过上面的分析，我们知道：只要关闭A、C之间的门，或A、B之间的门，游人就可以从入口（边FC或FD或FE）入，一次不重复地穿过所有的门。例3与例4都是把多笔画改为一笔画的实际应用。小结：(3)我们会遇到许多应用型问题，这些问题中给出的图形不一定是几何中的图形，需要先将其转化成几何中的图形，即只由点和线构成，其中的线表示可通的路径.，然后再应用一笔画判定法则.【例5】下图是某小区的街道分布图，街道长度如图所示(单位：公里)，图中各字母表示不同楼的代号．一辆垃圾清扫车从垃圾站(垃圾站位于C楼与D楼之间的P处)出发要清扫完所有街道后仍回到垃圾站，问怎样走路线最短，最短路线是多少公里？最短路程：转化成0个奇点的一笔画问题，连接最近的2个奇点.最短邮递路线问题.解决这样的题目时，有两点值得注意：①在所给图中，每条边都有具体的长度，这与前面其他问题中不考虑长度是不同的；②邮递路线中，邮递员必须以邮局作为起点和终点，即在最后能一笔画出的图中，所有的点都必须是偶点.这也与前面游人可以选择进出口的问题不同。(2008年中国台湾小学数学竞赛选拔赛复赛)有一个城市的街道图是由一些矩形所构成，如下图．一位警察要从A点出发巡逻，行经每一条路段至少一次后回到A点．请问他至少要行走多少米？【例6】邮递员李文投送邮件的街道以及街道的长度如下图所示(单位：千米)，每天小李要从邮局出发，走遍所有街道后回到邮局．请你帮他设计一条最短路线，并计算出这条路线有多少千米？想一想练一练多笔画中的最值问题2016春季班（三年级）教师第10讲第5页分析：这又是一个最短路线的问题.通过分析可以知道：在洒水路线中，K是中间点，因此必须成为偶点，这样洒水车必须重复走KC这条边（如下左图）.至此，奇点的个数并未减少，仍是6个，但问题却转化为例6的类型.类似于例6，容易得出，洒水车必须重复走的路线有：GF、IJ、BC.即洒水路线如下右图。全程45＋3+6=54（里）.【例7】一只蜘蛛在一个长方体木块的顶点A处，已知这个长方体木块的长是80厘米，宽40厘米，高80厘米，要求蜘蛛在爬行过程中只能前进，不能后退，只能在棱上爬，且同一条棱不能爬两次．请问这只蜘蛛最多可以爬行多少厘米？课后练习下列各图至少要用几笔画完？2016春季班（三年级）教师第10讲第6页(1)判断下列图形能否一笔画．若能，请给出一种画法，若不能，请加一条线或去一条线，将其改成可一笔画的图形．(2)下图中A，B，C，D是4个防空洞，相邻防空洞之间有地道相通，能否找到一条路线可不重复地走遍所有地道？2016春季班（三年级）教师第10讲第7页图中有8个奇点，在8个奇点之间至少要去掉4条线段，才能使这8个奇点变成偶点；其次，从A点出发到B点，A，B两点必须是奇点，现在A，B都是偶点，必须在与A，B连接的线段中各去掉1条线段，使A，B成为奇点。所以至少要去掉6条线段，也就是最多能走1800米，走法如下页上图。或例2与例3的图中各有8个奇点，都是通过减少奇点个数，将多笔画变成一笔画的问题，但它们采用的方法却完全不同。因为例2中只要求走遍所有的线段，没有要求不能重复，所以通过添加线段的方法(实际是重复走添加线段的这段路)，将奇点变为偶点，使多笔画变成一笔画。而在例3中，要求不能走重复的路，所以不能添加线段，只能通过减少线段的方法，将奇点变为偶点，使多笔画变成一笔画。区别就在于能否重复走！能“重复”就“添线”，不能“重复”就“减线”。BABA右图中每个小正方形的边长都是100米.小明沿线段从A点到B点，不许走重复路，他最多能走多少米？