相似形大题初中数学组卷解析

第1页（共39页）相似形大题初中数学组卷一．解答题（共27小题）1．（2015•杨浦区二模）已知：如图，Rr△CDE中，∠ABC=∠CDE=90°，且BC与CD共线，联结AE，点M为AE中点，联结BM，交AC于点G，联结MD，交CE于点H（1）求证：MB=MD；（2）当AB=BC，DC=DE时，求证：四边形MGCH为矩形．2．（2015•湖州模拟）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长．3．（2015•常州模拟）如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且CF=3FD，△ABE与△DEF相似吗？为什么？4．（2015•湖州模拟）如图，在边长为8的正方形ABCD中，点O为AD上一动点（4＜OA＜8），以O为圆心，OA的长为半径的圆交边CD于点M，连接OM，过点M作⊙O的切线交边BC于N．（1）求证：△ODM∽△MCN；（2）设DM=x，OA=R，求R关于x的函数关系式；（3）在动点O逐渐向点D运动（OA逐渐增大）的过程中，△CMN的周长如何变化？说明理由．行知教育第2页（共39页）5．（2015•黄陂区校级模拟）如图1，梯形ABCD中AB∥CD，且AB=2CD，点P为BD的中点，直线AP交BC于E，交DC的延长线于F．（1）求证：DC=CF；（2）求的值；（3）如图2，连接DE，若AD⊥ED，求证：∠BAE=∠DBE．6．（2015•成都模拟）已知点E在△ABC内，∠ABC=∠EBD=α，∠ACB=∠EDB=60°，∠AEB=150°，∠BEC=90°．（1）当α=60°时（如图1），①判断△ABC的形状，并说明理由；②求证：BD=AE；（2）当α=90°时（如图2），求的值．7．（2015•青浦区一模）已知如图，D是△ABC的边AB上一点，DE∥BC，交边AC于点E，延长DE至点F，使EF=DE，联结BF，交边AC于点G，联结CF（1）求证：=；（2）如果CF2=FG•FB，求证：CG•CE=BC•DE．行知教育第3页（共39页）8．（2015•历城区一模）已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，点P在BC上，且∠MPN=90°．（1）当点P为线段AC的中点，点M、N分别在线段AB、BC上时（如图1）．过点P作PE⊥AB于点E，请探索PN与PM之间的数量关系，并说明理由；（2）当PC=PA，①点M、N分别在线段AB、BC上，如图2时，请写出线段PN、PM之间的数量关系，并给予证明．②当点M、K分别在线段AB、BC的延长线上，如图3时，请判断①中线段PN、PM之间的数量关系是否还存在．（直接写出答案，不用证明）9．（2015•深圳模拟）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AD=2，CD=4，tanB=．点P在AB上，PM⊥BC于点M，PN⊥CD于点N，若点P从点B开始沿BA向点A运动，（1）求AB的长度；（2）设BP=x，用含x的代数式表示矩形CMPN的面积S．（3）当点P移动到何位置时，矩形CMPN的面积S取最大值，并求最大值．10．（2015•三亚三模）如图，▱ABCD中，AE：EB=2：3，DE交AC于F．（1）求证：△AEF∽△CDF；（2）求△AEF与△CDF周长之比；（3）如果△CDF的面积为20cm2，求△AEF的面积．行知教育第4页（共39页）11．（2015•黄浦区一模）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且∠ABE=∠ACD，BE、CD交于点G．（1）求证：△AED∽△ABC；（2）如果BE平分∠ABC，求证：DE=CE．12．（2015•普陀区一模）如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，点D在边BC上，CE⊥AB，CF⊥AD，E、F分别是垂足．（1）求证：AC2=AF•AD；（2）联结EF，求证：AE•DB=AD•EF．13．（2015•长宁区一模）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，点G在AD上，过G作BC的平行线分别与AB、AC交于P、Q两点，过点P作PE⊥BC于点E，过点Q作QF⊥BC于点F．设AD=80，BC=120，当四边形PEFQ为正方形时，试求此正方形的边长．14．（2015•岳池县模拟）如图，P是平行四边形ABCD的边BC的延长线上任意一点，AP分别交BD、CD于点M、N，求证：AM2=MN•MP．15．（2014•乐山）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON=1．（1）求BD的长；行知教育第5页（共39页）（2）若△DCN的面积为2，求四边形ABNM的面积．16．（2014•南宁）如图，AB∥FC，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，分别延长FD和CB交于点G．（1）求证：△ADE≌△CFE；（2）若GB=2，BC=4，BD=1，求AB的长．17．（2014•新泰市校级模拟）在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD，对角线AC与BD相交于点O，线段OA、OB的中点分别为点E、F．（1）求证：△FOE≌△DOC；（2）若直线EF与线段AD、BC分别相交于点G、H，求的值．18．（2014•东台市二模）如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作PF⊥AE于F，设PA=x．（1）求证：△PFA∽△ABE；（2）若以P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似，试求x的值；（3）试求当x取何值时，以D为圆心，DP为半径的⊙D与线段AE只有一个公共点．19．（2014•大连模拟）已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB、CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC．连接DE，DE=．（1）求证：AM•MB=EM•MC；（2）求EM的长；（3）求sin∠EOB的值．行知教育第6页（共39页）20．（2014•东莞模拟）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，DC=5，BC=10，梯形的高为4．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t（秒）．（1）当MN∥AB时，求t的值；（2）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形．21．（2014•都匀市模拟）如图，E是正方形ABCD的边DC上的一点，过A作AF⊥AE，交CB延长线于点F．AE的延长线交BC的延长线于点G．（1）求证：AE=AF．（2）若AF=7，DE=2，求EG的长．22．（2014•西安模拟）如图，平行四边形ABCD中，AB=10cm，BC=8cm，点E为AD边上一点且DE=5cm，连接CE并延长交BA的延长线于点F．求AF的长．23．（2014•嘉定区一模）四边形ABCD是平行四边形，E是对角线AC上一点，射线DE分别交射线CB、AB于点F、G．（1）如图，如果点F在CB边上，点G在AB边的延长线上，求证：；（2）如果点F在CB边的延长线上，点G在AB边上，试写出与之间的一种等量关系，并给出证明．行知教育第7页（共39页）24．（2014•徐汇区一模）已知：如图，△ABC中，点D、E是边AB上的点，CD平分∠ECB，且BC2=BD•BA．（1）求证：△CED∽△ACD；（2）求证：．25．（2014•郯城县模拟）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点，连接AE、BD交于点F，AE=AB．（1）若∠AEB=2∠ADB，求证：四边形ABCD是菱形．（2）若AB=10，BE=2EC，求EF的长．26．（2014•德庆县二模）如图，已知矩形ABCD中，CE⊥BD于E，CF平分∠DCE与DB交于点F，FG∥DA与AB交于点G．（1）求证：BC=BF；（2）若AB=4，AD=3，求CF；（3）求证：GB•DC=DE•BC．27．（2014•湖里区模拟）如图，平行四边形ABCD中，点M为BC边中点，且AM=9，BD=12，AD=10，AM与BD的交于点E．求证：AM⊥BD．行知教育第8页（共39页）相似形大题初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共27小题）1．（2015•杨浦区二模）已知：如图，Rr△CDE中，∠ABC=∠CDE=90°，且BC与CD共线，联结AE，点M为AE中点，联结BM，交AC于点G，联结MD，交CE于点H（1）求证：MB=MD；（2）当AB=BC，DC=DE时，求证：四边形MGCH为矩形．考点：平行线分线段成比例；全等三角形的判定与性质；矩形的判定．菁优网版权所有专题：证明题．分析：（1）延长BM交DE的延长线于N，如图，根据平行线分线段成比例定理，由AB∥DN得到=，加上AM=ME，则BM=MN，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到MB=MD；（2）根据平行线分线段成比例定理，由AB∥NE得到==1，即AB=NE，再利用AB=BC，DC=DE可得BD=DN，则△BDN为等腰直角三角形，所以DM⊥BN，∠DBN=∠N=45°，∠BMD=45°，接着由Rt△ABC和Rt△CDE都是等腰直角三角形得到∠CED=∠ACB=∠45°，则可得到CE∥BN，AC∥DM，于是可判断四边形MGCH为平行四边形，加上∠GMH=90°，则可判断四边形MGCH为矩形．解答：证明：（1）延长BM交DE的延长线于N，如图，∵∠ABC=∠CDE=90°，∴AB∥DN，∴=，而点M为AE中点，∴AM=ME，∴BM=MN，∴DM为Rt△BDN的斜边上的中线，∴MB=MD；（2）∵AB∥NE，∴==1，即AB=NE，∵AB=BC，DC=DE，∴BD=BC+CD=AB+DE=NE+DE=DN，行知教育第9页（共39页）∴△BDN为等腰直角三角形，∴DM⊥BN，∠DBN=∠N=45°，∠BMD=45°，∵AB=BC，DC=DE，∴Rt△ABC和Rt△CDE都是等腰直角三角形，∴∠CED=∠ACB=∠45°，∴∠CED=∠N，∠ACB=∠BDM，∴CE∥BN，AC∥DM，∴四边形MGCH为平行四边形，而∠GMH=90°，∴四边形MGCH为矩形．点评：本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．也考查了矩形的判定和等腰直角三角形的性质．2．（2015•湖州模拟）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长．考点：相似三角形的判定；正方形的性质；平行线分线段成比例．菁优网版权所有专题：计算题；证明题．分析：（1）利用正方形的性质，可得∠A=∠D，根据已知可得，根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；（2）根据平行线分线段成比例定理，可得CG的长，即可求得BG的长．解答：（1）证明：∵ABCD为正方形，∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，∵AE=ED，∴，行知教育第10页（共39页）∵DF=DC，∴，∴，∴△ABE∽△DEF；（2）解：∵ABCD为正方形，∴ED∥BG，∴，又∵DF=DC，正方形的边长为4，∴ED=2，CG=6，∴BG=BC+CG=10．点评：此题考查了相似三角形的判定（有两边对应成比例且夹角相等三角形相似）、正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识的综合应用．解题的关键是数形结合思想的应用．3．（2015•常州模拟）如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且CF=3FD，△ABE与△DEF相似吗？为什么？考点：相似三角形的判定．菁优网版权所有专题：常规题型．分析：先根据正方形的性质得∠A=∠D=90°，AB=AD=CD，设AB=AD=CD=4a，利用E为边AD的中点，CF=3FD，得到AE=DE=2a，DF=a，则可计算出==2，加上∠A=∠D，于是根据相似三角