相似三角形小结031

相似三角形小结贺胜中学初三数学组相似图形位似图形相似多边形相似三角形对应角相等对应边的比相等周长比等于相似比面积比等于相似比平方应用相似三角形的判定一、本章知识结构图（一）比例的性质知识回顾.bcaddcba比例的基本性质─。ddcbbadcba比例的合比性质─bandbmcandbnmdcba)0(比例的等比性质──二、回顾与思考点C把线段AB分成两条线段AC和BC,ACBACBCABAC如果,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比.黄金比215≈0.618（二）黄金分割知识回顾（三）平行线分线段成比例定理知识回顾（1）三条平行线截两条直线,所得的对应线段的比相等.（2）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等ABCDEABCEDDEFABCL3L4L5L1L2知识回顾（四）相似多边形的定义，判定，性质（2）相似多边形周长的比等于相似比.（3）相似多边形面积的比等于相似比的平方.（4）相似多边形的对应边上的高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比.3.性质2.相似多边形的判断方法若两个多边形满足对应角相等,对应边的比相等，则这两个多边形相似.相同形状的图形称为相似形。1.相似图形的概念：（1）相似多边形对应角相等,对应边的比相等.（五）相似三角形的定义.判定.性质.1、定义：三角对应角相等、三边对应成比例的两个三角形叫相似三角形2、判定：（4）两角相等的两个三角形相似（2）三边对应成比例的两个三角形相似（3）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似3、性质：（2）相似三角形对应高的比，对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比（1）相似三角形对应角相等，对应边成比例知识回顾（5）斜边与一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．（1）平行三角形一边的直线和其他两边相交(或两边的延长线),所构成的三角形与原三角形相似.（3）相似三角形周长的比等于相似比.（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方ADEBABABCD△ADE绕点A旋转DCADEBCABCDEBCADE点E移到与C点重合∠ACB=Rt∠CD⊥AB知识回顾相似三角形基本图形（六）位似图形的定义和性质知识回顾1．位似图形的概念如果两个图形不仅相似，而且每组对应顶点所在的直线都经过同一点，对应边互相平行（或共线）,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心，其相似比又叫做位似比.2.位似图形的性质1.对应点与位似中心共线。2.不经过位似中心的对应边平行。3.位似图形上任意一对应点到位似中心的距离之比等于位似比。①确定位似中心，位似中心的位置可随意选择；②确定原图形的关键点，如四边形有四个关键点，即它的四个顶点；③确定位似比，根据位似比的取值，可以判断是将一个图形放大还是缩小；④符合要求的图形不唯一，因为所作的图形与所确定的位似中心的位置有关，并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形。3.位似变换的步骤4.位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k．即：在平面直角坐标系中,以原点O为位似中心,位似比为k,若原图形上点A的坐标为（x，y），那么位似图形对应点A’的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）例1、如图，在长8cm、宽6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分所示），使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形面积为多少？解：由题意得8cm6cmx48=68（（2设留下矩形的面积为xcm，2解得：x=27cm2答：留下矩形的面积为27cm2典例精析例2.如图所示，E是正方形ABCD的边AB上的动点，EF⊥DE交BC于点F．（1）求证:△ADE∽△BEF；（2）设正方形的边长为4，AE=x，BF=y．当x取什么值时，y有最大值?并求出这个最大值．ABCDEF证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAE=∠FBE=90°，∴∠ADE+∠DEA=90°.解题小结证三角形相似的方法有多种,应根据已知条件合理选用.一直角三角形的一个锐角与另一直角三角形的一个锐角互余,则两直角三角形对应锐角相等,两直角三角形相似.又EF⊥DE，∴∠DEA+∠FEB=90°，∴∠ADE=∠FEB，∴△ADE∽△BEF.典例精析解：由（1）△ADE∽△BEF，AD=4，BE=4-x，得44yxx利用三角形相似，对应边的比相等建立动点问题中变量之间的函数关系式，再利用二次函数顶点的意义求最大(小)值.解题小结ABCDEF所以当x=2时，y有最大值，y的最大值为1.222111(4)[(2)4](2)1444yxxxx∴例2.如图所示，E是正方形ABCD的边AB上的动点，EF⊥DE交BC于点F．（2）设正方形的边长为4，AE=x，BF=y．当x取什么值时，y有最大值?并求出这个最大值．2:552cm2、已知三角形甲各边的比为3:4:6，和它相似的三角形乙的最大边为10cm，则三角形乙的最短边为______cm.3、等腰三角形ABC的腰长为18cm，底边长为6cm,在腰AC上取点D,使△ABC∽△BDC,则DC=______.ABCDE一.填空、选择题:1、如图，DE∥BC,AD:DB=2:3,则△AED和△ABC的相似比为＿＿＿.牛刀小试4.如图，△ADE∽△ACB,则DE:BC=_____。5.如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD,使△ABC∽△DBA的条件是（）.A.AC:BC=AD:BDB.AC:BC=AB:ADC.AB2=CD·BCD.AB2=BD·BC6.D、E分别为△ABC的AB、AC上的点，且DE∥BC，∠DCB=∠A，把每两个相似的三角形称为一组，那么图中共有相似三角形_______组。1:3D4ABEDCACBDE2733DACB做一做1、如图，已知△ADF∽△ABC，AD=6cm，DB=3cm，BC=9.9cm，∠A=70°，∠B=50°。（1）求∠ADE的大小；（2）求∠AED的的小；（3）求DE的长。ABCDE解：（1）△ADF∽△ABC∠ADE=∠B=50°（2）∠A=70°∠ADE=50°{∠AED=60°（3）△ADF∽△ABCADAB=DEBC69=DE9.9DE=6.6cm70°50°639.9？？？牛刀小试做一做2、如图，在△ABC中，已知DE//BC，AD=3BD，S△ABC=48，求S△ADEABCDE解：DE//BC∠ADE=∠B∠AED=∠C{{△ADE∽△ABC=（）ADABS△ADES△ABC2AD=3BDADAB=34{=916S△ADES△ABCS△ABC=48{S△ABC=273份1份做一做3、如图，AB、CD交于点O，且AC//BD。则OA·OD=OC·OB吗？为什么？ABCDO解：OA·OD=OC·OB，理由如下：AC//BD{∠A=∠B∠C=∠D{△AOC∽△BODOAOB=OCODOA·OD=OC·OB4.小明想利用影长测量树高.他在某一时刻测得小树高为1.5m，其影长为1.2m，测量教学楼旁的一棵大树影长，因大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上.经测量，地面部分影长为6.4m，墙上影长为1m，那么这棵大树多高?D6.4？1ABC解：作DE⊥AB于E,∴△ADE∽△EGF.∴解得AE=8.∴AB=8+1=9m.易错之处:物体的影长不等于地上的部分加上墙上的部分156412AEE1.21.5EFG做一做解决过程中要实行数学建模:审题画示意图明确数量关系解决问题在实际生活中,我们面对不能直接测量物体的或宽度时，可以把它们转化为数学问题,建立相似三角形模型,再利用对应边的比相等来达到求解的目的.解题小结A31425-2-1012345-2-1xy5、（1）在平面直角坐标系中描出点A（4，2），B（2，4），C（0，4），D（0，2），E（2，0），顺次连接点A、B、C、D、E、A，得到一个五边形ABCDE。做一做（2）将点A、B、C、D、E的横坐标和纵坐标都除以2，得到五个新的点，顺次连接这五个点，得到一个新的五边形，这两个五边形相似吗？如果将点A、B、C、D、E的横坐标和纵坐标都除以3呢？解：●●●●●BCDE●●●●●ABCDE所以、除以2后得到的新五边形与原五边形相似同样，除以3后得到的新五边形与原五边形相似小结（1）理解相似图形的性质.（2）灵活运用相似三角形的判定方法及性质进行计算或证明（3）利用相似解决一些实际问题.(4)利用位似将图形放缩.通过这一节课的复习你有哪些收获？知识能力思想方法（1）数学建模的思想方法（2）函数思想方法（3）数形结合思想方法我的收获数学使人聪明巩固练习1.如图：小明想测量一颗大树AB的高度，发现树的影子恰好落在地面BC上和土坡的坡面CD上，测得BC=10m,CD=4m，CD与地面成30°角，同时测得1m标杆的影长为2m，那么树的高度是多少？CABDEF巩固练习2.如图，在Rt△ABC内有边长分别为a、b、c的三个正方形．则a、b、c满足的关系式是（）A.b=a+cB．b=acC．b2=a2+c2D．b=2a=2cA