2018年高考全国2卷理科数学(含答案)

理科数学试题第1页（共11页）绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共23题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．12i12iA．43i55B．43i55C．34i55D．34i552．已知集合22{(,)|3,,AxyxyxyZZ}，则A中元素的个数为A．9B．8C．5D．43．函数2ee()xxfxx的图象大致为4．已知向量a，b满足||1a，1ab，则(2)aabA．4B．3C．2D．05．双曲线22221(0,0)xyabab的离心率为3，则其渐近线方程为A．2yxB．3yxC．22yxD．32yx6．在ABC△中，5cos25C，1BC，5AC，则ABA．42B．30C．29D．25理科数学试题第2页（共11页）7．为计算11111123499100S，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入A．1iiB．2iiC．3iiD．4ii8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A．112B．114C．115D．1189．在长方体1111ABCDABCD中，1ABBC，13AA，则异面直线1AD与1DB所成角的余弦值为A．15B．56C．55D．2210．若()cossinfxxx在[,]aa是减函数，则a的最大值是A．π4B．π2C．3π4D．π11．已知()fx是定义域为(,)的奇函数，满足(1)(1)fxfx．若(1)2f，则(1)(2)(3)(50)ffffA．50B．0C．2D．5012．已知1F，2F是椭圆22221(0)xyCabab：的左，右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为36的直线上，12PFF△为等腰三角形，12120FFP，则C的离心率为A．23B．12C．13D．14二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．曲线2ln(1)yx在点(0,0)处的切线方程为__________．14．若,xy满足约束条件250,230,50,xyxyx≥≥≤则zxy的最大值为__________．15．已知sincos1αβ，cossin0αβ，则sin()αβ__________．开始0,0NTSNTS输出1i100i1NNi11TTi结束是否理科数学试题第3页（共11页）16．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为78，SA与圆锥底面所成角为45°，若SAB△的面积为515，则该圆锥的侧面积为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题。考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）记nS为等差数列{}na的前n项和，已知17a，315S．（1）求{}na的通项公式；（2）求nS，并求nS的最小值．18．（12分）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,,17）建立模型①：ˆ30.413.5yt；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,,7）建立模型②：ˆ9917.5yt．（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．19．（12分）设抛物线24Cyx：的焦点为F，过F且斜率为(0)kk的直线l与C交于A，B两点，||8AB．（1）求l的方程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．理科数学试题第4页（共11页）20．（12分）如图，在三棱锥PABC中，22ABBC，4PAPBPCAC，O为AC的中点．（1）证明：PO平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且二面角MPAC为30，求PC与平面PAM所成角的正弦值．21．（12分）已知函数2()exfxax．（1）若1a，证明：当0x≥时，()1fx≥；（2）若()fx在(0,)只有一个零点，求a．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2cos,4sin,xθyθ（θ为参数），直线l的参数方程为1cos,2sin,xtαytα（t为参数）．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）设函数()5|||2|fxxax．（1）当1a时，求不等式()0fx≥的解集；（2）若()1fx≤，求a的取值范围．PAOCBM理科数学试题第5页（共11页）绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案一、选择题1．D2．A3．B4．B5．A6．A7．B8．C9．C10．A11．C12．D二、填空题13．2yx14．915．1216．402π三、解答题17．解：（1）设{}na的公差为d，由题意得13315ad．由17a得d=2．所以{}na的通项公式为29nan．（2）由（1）得228(4)16nSnnn．所以当n=4时，nS取得最小值，最小值为−16．18．解：（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为ˆ30.413.519226.1y(亿元)．利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为ˆ9917.59256.5y(亿元)．（2）利用模型②得到的预测值更可靠．理由如下：（ⅰ）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线30.413.5yt上下．这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基理科数学试题第6页（共11页）础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型ˆ9917.5yt可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．（ⅱ）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226．1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理．说明利用模型②得到的预测值更可靠．以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．19．解：（1）由题意得(1,0)F，l的方程为(1)(0)ykxk．设1221(,),(,)AyxyxB，由2(1),4ykxyx得2222(24)0kxkxk．216160k，故122224kxkx．所以122244||||||(1)(1)xkABAFBFkx．由题设知22448kk，解得1k（舍去），1k．因此l的方程为1yx．（2）由（1）得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为2(3)yx，即5yx．设所求圆的圆心坐标为00(,)xy，则00220005,(1)(1)16.2yxyxx解得003,2xy或0011,6.xy因此所求圆的方程为22(3)(2)16xy或22(11)(6)144xy．20．解：理科数学试题第7页（共11页）（1）因为4APCPAC，O为AC的中点，所以OPAC，且23OP．连结OB．因为22ABBCAC，所以ABC△为等腰直角三角形，且OBAC，122OBAC．由222OPOBPB知POOB．由,OPOBOPAC知PO平面ABC．（2）如图，以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz．由已知得(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,0),(0,0,23),(0,2,23),OBACPAP取平面PAC的法向量(2,0,0)OB．设(,2,0)(02)Maaa，则(,4,0)AMaa．设平面PAM的法向量为(,,)xyzn．由0,0APAMnn得2230(4)0yzaxay，可取(3(4),3,)aaan，所以22223(4)cos,23(4)3aOBaaan．由已知得3|cos,|2OBn．所以22223|4|3=223(4)3aaaa．解得4a（舍去），43a．所以83434(,,)333n．又(0,2,23)PC，所以3cos,4PCn．所以PC与平面PAM所成角的正弦值为34．理科数学试题第8页（共11页）21．解：（1）当1a时，()1fx等价于2(1)e10xx．设函数2()(1)e1xgxx，则22()(21)e(1)exxg'xxxx．当1x时，()0g'x，所以()gx在(0,)单调递减．而(0)0g，故当0x时，()0gx，即()1fx．（2）设函数2()1exhxax．()fx在(0,)只有一个零点当且仅当()hx在(0,)只有一个零点．（i）当0a时，()0hx，()hx没有零点；（ii）当0a时，()(2)exh'xaxx．当(0,2)x时，()0h'x；当(2,)x时，()0h'x．所以()hx在(0,2)单调递减，在(2,)单调递增．故24(2)1eah是()hx在[0,)的最小值．理科数学试题第9页（共11页）①若(2)0h，即2e4a，()hx在(0,)没有零点；②若(2)0h，即2e4a，()hx在(0,)只有一个零点；③若(2)0h，即2e4a，由于(0)1h，所以()hx在(0,2)有一个零点，由（1）知，当0x时，2exx，所以33342241616161(4)11110e(e)(2)aaaaahaaa．故()hx在(2,4)a有一个零点，因此()hx在(0,)有两个零点．综上，()fx在(0,)只有一个零点时，2e4a．22．．解：（1）曲线C的直角坐标方程为221416xy．当cos0时，l的直角坐标方程为tan2tanyx，当cos0时，l的直角坐标方程为1x．（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程22(13cos)4(2cossin)80tt