理科数学试题第1页(共11页)绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共23题,共150分,共4页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.12i12iA.43i55B.43i55C.34i55D.34i552.已知集合22{(,)|3,,AxyxyxyZZ},则A中元素的个数为A.9B.8C.5D.43.函数2ee()xxfxx的图象大致为4.已知向量a,b满足||1a,1ab,则(2)aabA.4B.3C.2D.05.双曲线22221(0,0)xyabab的离心率为3,则其渐近线方程为A.2yxB.3yxC.22yxD.32yx6.在ABC△中,5cos25C,1BC,5AC,则ABA.42B.30C.29D.25理科数学试题第2页(共11页)7.为计算11111123499100S,设计了右侧的程序框图,则在空白框中应填入A.1iiB.2iiC.3iiD.4ii8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30723.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是A.112B.114C.115D.1189.在长方体1111ABCDABCD中,1ABBC,13AA,则异面直线1AD与1DB所成角的余弦值为A.15B.56C.55D.2210.若()cossinfxxx在[,]aa是减函数,则a的最大值是A.π4B.π2C.3π4D.π11.已知()fx是定义域为(,)的奇函数,满足(1)(1)fxfx.若(1)2f,则(1)(2)(3)(50)ffffA.50B.0C.2D.5012.已知1F,2F是椭圆22221(0)xyCabab:的左,右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为36的直线上,12PFF△为等腰三角形,12120FFP,则C的离心率为A.23B.12C.13D.14二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.曲线2ln(1)yx在点(0,0)处的切线方程为__________.14.若,xy满足约束条件250,230,50,xyxyx≥≥≤则zxy的最大值为__________.15.已知sincos1αβ,cossin0αβ,则sin()αβ__________.开始0,0NTSNTS输出1i100i1NNi11TTi结束是否理科数学试题第3页(共11页)16.已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为78,SA与圆锥底面所成角为45°,若SAB△的面积为515,则该圆锥的侧面积为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题。考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。17.(12分)记nS为等差数列{}na的前n项和,已知17a,315S.(1)求{}na的通项公式;(2)求nS,并求nS的最小值.18.(12分)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图.为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,,17)建立模型①:ˆ30.413.5yt;根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,,7)建立模型②:ˆ9917.5yt.(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.19.(12分)设抛物线24Cyx:的焦点为F,过F且斜率为(0)kk的直线l与C交于A,B两点,||8AB.(1)求l的方程;(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.理科数学试题第4页(共11页)20.(12分)如图,在三棱锥PABC中,22ABBC,4PAPBPCAC,O为AC的中点.(1)证明:PO平面ABC;(2)若点M在棱BC上,且二面角MPAC为30,求PC与平面PAM所成角的正弦值.21.(12分)已知函数2()exfxax.(1)若1a,证明:当0x≥时,()1fx≥;(2)若()fx在(0,)只有一个零点,求a.(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为2cos,4sin,xθyθ(θ为参数),直线l的参数方程为1cos,2sin,xtαytα(t为参数).(1)求C和l的直角坐标方程;(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.23.[选修4-5:不等式选讲](10分)设函数()5|||2|fxxax.(1)当1a时,求不等式()0fx≥的解集;(2)若()1fx≤,求a的取值范围.PAOCBM理科数学试题第5页(共11页)绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案一、选择题1.D2.A3.B4.B5.A6.A7.B8.C9.C10.A11.C12.D二、填空题13.2yx14.915.1216.402π三、解答题17.解:(1)设{}na的公差为d,由题意得13315ad.由17a得d=2.所以{}na的通项公式为29nan.(2)由(1)得228(4)16nSnnn.所以当n=4时,nS取得最小值,最小值为−16.18.解:(1)利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为ˆ30.413.519226.1y(亿元).利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为ˆ9917.59256.5y(亿元).(2)利用模型②得到的预测值更可靠.理由如下:(ⅰ)从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线30.413.5yt上下.这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基理科数学试题第6页(共11页)础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型ˆ9917.5yt可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.(ⅱ)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型②得到的预测值更可靠.以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.19.解:(1)由题意得(1,0)F,l的方程为(1)(0)ykxk.设1221(,),(,)AyxyxB,由2(1),4ykxyx得2222(24)0kxkxk.216160k,故122224kxkx.所以122244||||||(1)(1)xkABAFBFkx.由题设知22448kk,解得1k(舍去),1k.因此l的方程为1yx.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为2(3)yx,即5yx.设所求圆的圆心坐标为00(,)xy,则00220005,(1)(1)16.2yxyxx解得003,2xy或0011,6.xy因此所求圆的方程为22(3)(2)16xy或22(11)(6)144xy.20.解:理科数学试题第7页(共11页)(1)因为4APCPAC,O为AC的中点,所以OPAC,且23OP.连结OB.因为22ABBCAC,所以ABC△为等腰直角三角形,且OBAC,122OBAC.由222OPOBPB知POOB.由,OPOBOPAC知PO平面ABC.(2)如图,以O为坐标原点,OB的方向为x轴正方向,建立空间直角坐标系Oxyz.由已知得(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,0),(0,0,23),(0,2,23),OBACPAP取平面PAC的法向量(2,0,0)OB.设(,2,0)(02)Maaa,则(,4,0)AMaa.设平面PAM的法向量为(,,)xyzn.由0,0APAMnn得2230(4)0yzaxay,可取(3(4),3,)aaan,所以22223(4)cos,23(4)3aOBaaan.由已知得3|cos,|2OBn.所以22223|4|3=223(4)3aaaa.解得4a(舍去),43a.所以83434(,,)333n.又(0,2,23)PC,所以3cos,4PCn.所以PC与平面PAM所成角的正弦值为34.理科数学试题第8页(共11页)21.解:(1)当1a时,()1fx等价于2(1)e10xx.设函数2()(1)e1xgxx,则22()(21)e(1)exxg'xxxx.当1x时,()0g'x,所以()gx在(0,)单调递减.而(0)0g,故当0x时,()0gx,即()1fx.(2)设函数2()1exhxax.()fx在(0,)只有一个零点当且仅当()hx在(0,)只有一个零点.(i)当0a时,()0hx,()hx没有零点;(ii)当0a时,()(2)exh'xaxx.当(0,2)x时,()0h'x;当(2,)x时,()0h'x.所以()hx在(0,2)单调递减,在(2,)单调递增.故24(2)1eah是()hx在[0,)的最小值.理科数学试题第9页(共11页)①若(2)0h,即2e4a,()hx在(0,)没有零点;②若(2)0h,即2e4a,()hx在(0,)只有一个零点;③若(2)0h,即2e4a,由于(0)1h,所以()hx在(0,2)有一个零点,由(1)知,当0x时,2exx,所以33342241616161(4)11110e(e)(2)aaaaahaaa.故()hx在(2,4)a有一个零点,因此()hx在(0,)有两个零点.综上,()fx在(0,)只有一个零点时,2e4a.22..解:(1)曲线C的直角坐标方程为221416xy.当cos0时,l的直角坐标方程为tan2tanyx,当cos0时,l的直角坐标方程为1x.(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程,整理得关于t的方程22(13cos)4(2cossin)80tt