2018年考研数学二真题

2018年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.若2120lim(e)1xxxaxbx®++=，则A.1,1.2ab==-B.1,1.2ab=-=-C.1,1.2ab==D.1,1.2ab=-=2.下列函数中，在0x=处不可导的是A.()sin.fxxx=B.()sin.fxxx=C.()cos.fxx=D.()cos.fxx=3.设函数2,1,1,0,()(),10,1,0,,0.axxxfxgxxxxxbxì-£-ïïì-ïï==-³ïîï-³ïïî若()()fxgx+在R上连续，则A.3,1.ab==B.3,2.ab==C.3,1.ab=-=D.3,2.ab=-=4.设函数()fx在[0，1]上二阶可导，且10()d0,fxx则A.当'()0fx时，1()0.2fB.当()0fx时，1()0.2fC.当'()0fx时，1()0.2fD.当()0fx时，1()0.2f5.设22222222(1)1d,d,(1cos)d,1exxxMxNxKxxx则A..MNKB..MKNC..KMND..KNM6.22021210d(1)dd(1)dxxxxxxyyxxyyA.5.3B.5.6C.7.3D.7.67.下列矩阵中，与矩阵110011001相似的为A.111011001.B.101011001.C.111011001.D.101010001.8.设A，B为n阶矩阵，记r(X)为矩阵X的秩，（XY）表示分块矩阵，则A.r(AAB)=r(A).B.r(ABA)=r(A).C.r(AB)=max{r(A),r(B)}.D.r(AB)=r(ATBT).二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。9.2+lim[arctan(1)arctan]xxxx=.10.曲线22lnyxx在其拐点处的切线方程是.11.251d43xxx=.12.曲线33cos,sinxtyt在4t对应点处的曲率为.13.设函数,zzxy（）由方程1lnezzxy确定，则1(2,)2zx=.14.设A为3阶矩阵，123,,为线性无关的向量组.若11232,2232,323，则A的实特征值为.三、解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或深处步骤.15.（本题满分10分）求不定积分2earctane1d.xxx16.（本题满分10分）已知连续函数()fx满足200()d()d.xxftttfxttax（1）求()fx;（2）若()fx在区间[0，1]上的平均值为1，求a的值.17.（本题满分10分）设平面区域D由曲线sin,2π1cosxtttyt（0）与x轴围成，计算二重积分(2)ddDxyxy18.（本题满分10分）已知常数ln21k.证明：21ln2ln1xxxkx()()0.19.（本题满分10分）将长为2m的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形.三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值.20.（本题满分11分）已知曲线24:(0)9Lyxx=³，点(0,0)O，点(0,1)A.设P是L上的动点，S是直线OA与直线AP及曲线L所围图形的面积.若P运动到点(3，4)时沿x轴正向的速度是4，求此时S关于时间t的变化率.21.（本题满分11分）设数列{}nx满足：110,ee1(1,2,).nnxxnxxn+=-=证明{}nx收敛，并求lim.nnx22.（本题满分11分）设实二次型2221231232313(,,)()()(),fxxxxxxxxxax=-+++++其中a是参数.（1）求123(,,)0fxxx=的解；（2）求123(,,)fxxx的规范形.23.（本题满分11分）已知a是常数，1213027aaA可经初等列变换化为矩阵12011.111aB（1）求a;（2）求满足AP=B的可逆矩阵P.