【质量管理精品文档】中心极限定理

及中心极限定理定理一设随机变量X1,X2,…,Xn,…相互独立,且具有相同的数学期望和方差:E(Xk)=,D(Xk)=2(k=1,2,…)作前n个随机变量的算术平均nkknXnY11}|{|limnnYP(1.1).1}|1{|lim1nknnXnP一大数定律频率具有稳定性，大量测量值的算术平均值也具有稳定性，这种稳定性就是大数定律的客观背景。则对于任意正数ε有定理的意义：当n很大时X1,X2,…,Xn的算术平均值.)()()(1211knkkXEXEXEXn接近于这种接近是在概率意义下的接近.通俗地讲,在定理的条件下,n个随机变量的算术平均,当n无限增大时将几乎变成一个常数。设Y1,Y2,…,Yn是一个随机变量序列，a是一个常数，若对于任意0有,1}|{|limaYPnn则称序列Y1,Y2,…,Yn依概率收敛于a,记为aYPn则连续在点又设函数设,),(),(,,bayxgbYaXPnPn).,(),(bagYXgPnn故上述定理一又可叙述为：定理一设随机变量X1,X2,…,Xn,…相互独立,且具有相同的数学期望和方差:E(Xk)=,D(Xk)=2(k=1,2,…)则序列.11依概率收敛于nkknXnY定理二(贝努利定理)设nA是n次独立重复试验中事事件A发生的次数,p是事件A在每次试验中发生的概率，依概率收敛的序列还有以下的性质则对于任意正数0,有1}||{limpnnPAn或(1.2)证引入随机变量.0}||{limpnnPAn.1,2,k1,0，发生次试验中若在第，不发生，次试验中若在第AkAkXk显然nA=X1+X2+····+Xn.由于Xk只依赖于第k次试验，而各次试验是独立的.于是X1,X2,···是相互独立的;又由于Xk服从(0--1)分布，故有E(Xk)=p,D(Xk)=p(1-p),k=1,2,···,n,···.由定理一有,1}|)(1|{lim21pXXXnPnn.1}|{|limpnnPAn即贝努利定理表明事件A发生的频率nA/n依概率收敛于事件的概率p，且以严格的数学形式表达了频率的稳定性。n很大时，事件发生的频率与概率的偏差很小,故可用频率代替概率。定理一中要求X1,X2····的方差存在。但服从相同分布的场合，并不需要这一要求，故有以下定理。定理三(辛钦定理)设随机变量X1,X2,…,Xn,…相互独立,服从同一分布,且具有相同的数学期望E(Xk)=(k=1,2,···),则对于任意正数，有.1}|1|{lim1nkknXnP(1.3)二中心极限定理有些随机变量,它们是由大量相互独立的随机因素综合影响所形成的,而其中每一个别因素在总的影响中所起作用都是很微小的。这种随机变量往往近似服从正态分布。证略。易见贝努利定理是辛钦定理的特殊情况定理四(独立同分布的中心极限定理)设随机变量X1,X2,…,Xn,…相互独立,服从同一分布,且具有数学期望和方差：E(Xk),D(Xk)20(k1,2,…),则随机变量)()(111nkknkknkknXDXEXY的分布函数Fn(x)对于任意x满足}{lim)(lim1xnnXPxFnkknnnxtdte2221nnXnkk1(2.1)证略。}{)(xYPxFnn}{1xnnXPnkk例1：据以往经验，某种电子元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现随机的取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率?解：设Xk表示第k只元件的寿命（k=1,2,3,…….16)则Xk服从指数分布，E(Xk)=100，D(Xk)=10000设Z=X1+X2+……+X16则所求概率为：161}1920{}1920{kkxPZP}1920P{161nnnnxkk由于：E(xk)=100,D(xk)=1002则}1920P{}1920{161nnnnxZPkk}10016100161920P{161nnxkk}8.0P{161nnxkk}8.0P{1161nnxkk7881.012119.0)8.0(1定理五(李雅普诺夫Liapunov定理)设随机变量X1,X2,…,Xn,…相互独立,且它们具有数学期望和方差：.1,2,...,k)D(X,)E(X1222kkknkknkB记若存在正数d,使得当n时，,0}|{|1122nkkknXEBdd则随机变量)()(111nkknkknkknXDXEXZnnkknkkBX11的分布函数Fn(x)对于任意x,满足}{lim)(lim11xBXPxFnnkknkknnnxtdte2221证明略。定理五表明，在定理的条件下，随机变量Zn,当n很大时，服从正态分布N(0,1)。由此，当n很大时nkknnnkkZBX11近似服从正态分布).,(21nnkkBN即就是说,无论各个Xk具有怎样的分布,只要满足定理的条件,那么其和Xk,当n很大时,近似地服从正态分布.例如城市耗电量是大量用户耗电的总和。物理实验误差是由许多观察不到的、可加的小误差构成，故服从正态分布。定理六(德莫佛-拉普拉斯Demoiver-Laplace定理)设随机变量hn(n=1,2,···)服从参数为n,p(0p1)的二项分布，则对于任意x,恒有})1({limxpnpnpPnnhxtdte2221(2.3)证由前面知可以将hn看成是n个相互独立、服从同一(0--1)分布的诸随机变量X1,X2,…,Xn之和，即有,1nkknXh其中Xk(k=1,2,···,n)的分布律为P{Xk=i}=pi(1-p)1-i,i=0,1.由于E(Xk)=P,D(Xk)=p(1-p)(k=1,2,···,n),由定理四得})1({limxpnpnpPnnh})1({lim1xpnpnpXPnkkn.2122xtdte对于任意区间(a,b]有})1({limbpnpnpaPnnh.2122batdte).()(ab例2一加速器同时收到20个噪音电压Vk(k=1,2,···,20)设它们是相互独立的随机变量，且都在区间(0,10)上服从均匀分布。记V=Vk,求P{V105}的近似值。解易知E(Vk)=5,D(Vk)=100/12(k=1,2,···,20),由定理四，随机变量2012/100520201kkVZ2012/100520V近似服从正态分布N(0,1),于是}105{VP}.20)12/10(52010520)12/10(520{VP}387.020)12/10(100{VP}387.020)12/10(100{1VP.348.0)387.0(1211387.022dtet即有P{V105}≈0.387.例3设一船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击,纵摇角大于3o的概率为p=1/3,若船舶遭受了90000次波浪的冲击,问其中有29500~30500次纵摇角大于3o的概率是多少？解设X为在90000次波浪中纵摇角大于3o的次数,则X~b(90000,1/3)其分布律为}{kXP所求的概率为}3050029500{XP由定理六，得305002950190000)32()31(90000kkk}3050029500{XP)1()1(29500{pnpnpXpnpnpP})1(30500pnpnp.90000,,1,0,)32()31(9000090000kkkk其中n=90000,p=1/3.即有P{29500X30500}.995.0)2/25()2/25()1(30500)1(295002221pnpnppnpnptdte))1(29500())1(30500(pnpnppnpnp例一家保险公司里有10000人参加保险，每年每人付12元保险费，在一年内一个人死亡的概率为0.006,死亡时其家属可向保险公司领得1000元，问：（1）保险公司亏本的概率是多少？（2）保险公司一年的利润不少于40000元，60000元，80000元的概率是多少？解：设x为一年内死亡的人数，则x服从B(10000,0.006)从而E(X)=np=60D(X)=np(1-p)=59.64(1)亏本即入不敷出，公司每年收入12000元死一人支出1000元，死120人要支出120000元故{X120}发生时，就要亏本。P{X120}=1-P{X≤120}}64.596012064.5960{1XP)769.7(10（2）利润不少于40000元，即支出要少于120000-40000=80000元因此死亡人数不能多于80000/1000人设利润不少于40000元的概率为p,则}600{Xpp}64.59608064.596064.59600{Xp)769.7()5898.2(9952.0