中职数学圆的一般方程教学设计

圆的一般方程教学设计胡龙国201809101圆的一般方程教学设计【教学目标】1．掌握圆的一般方程，能判断一个二元二次方程是否是圆的方程．2．能根据圆的一般方程求出圆心坐标和半径，会用待定系数法求圆的方程．3．进一步培养学生数形结合的能力，综合应用知识解决问题的能力．【教学重点】圆的一般方程．【教学难点】二元二次方程与圆的一般方程的关系．【教学方法】这节课主要采用讲练结合的方法．首先由圆的标准方程展开得到圆的一般方程，然后讨论一个二元二次方程满足什么样的条件才能表示圆．最后通过例题，让学生初步感悟待定系数法和求曲线方程的一般步骤．【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图引入1.圆心为C(a，b)，半径为r(r＞0)的圆的标准方程是什么？2.回答下列问题（1）以原点为圆心，半径为3的圆的方程是；（2）圆(x－1)2＋(y＋2)2＝25的圆心坐标是，半径是．3.直线方程有多种形式，圆的方程是否还有其他的形式？师：上节课我们学习了圆的标准方程，请同学们回顾一下，圆心坐标为(a，b)，半径为r的圆的方程是什么？学生回答教师提出的问题．学生口答，教师点评．教师类比直线方程提出问题．回顾上节所学内容，为学习新知做好准备．新课探究一（1）请将圆心在(a，b)半径为r的圆的标准方程展开；（2）展开后得到的方程有几个未知数？最高次是几次？这个方程是几元几次方程？（3）如果令－2a＝D，－2b＝E，a2＋b2－r2＝F，这个方程是什么形式？（4）任意一个圆的方程都可表示为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式吗？探究二（1）请举出几个形式为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0学生解决教师提出的问题，教师点评．师：在方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0中D，E，F是常数吗？为什么？学生回答教师提出的问题．使学生初步了解圆的一般方程的形式．强调方程中D，E，F是常数．加深对圆的一般方程形式的认识．2新课的方程；（2）你所举出的方程一定表示圆吗？下述方程表示的是圆吗？x2＋y2＋2x＋2y＋8＝0，x2＋y2＋2x＋2y＋2＝0，x2＋y2＋2x＋2y＝0．探究三满足怎样的条件时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0①表示圆？将方程配方，得(x＋D2)2＋(y＋E2)2＝D2＋E2－4F4．②（1）当D2＋E2－4F0时，方程①表示以(－D2，－E2)为圆心，且半径为12D2＋E2－4F的圆；（2）当D2＋E2－4F＝0时，方程①表示点(－D2，－E2)；（3）当D2＋E2－4F0时，方程①不表示任何图形．圆的一般方程当D2＋E2－4F0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．练习一求出下列圆的圆心及半径：（1）x2＋y2－6x＝0；（2）x2＋y2－4x－6y＋12＝0.例1求过点O(0，0)，M(1，1)，N(4，2)的圆的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标．解：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D，E，F待定．由题意得学生思考教师提出的问题．师：将方程x2＋y2＋2x＋2y＋8＝0配方，你能得到怎样的方程？学生根据教师提示分组解答，配方后方程分别为(x＋1)2＋(y＋1)2＝－6，(x＋1)2＋(y＋1)2＝0，(x＋1)2＋(y＋1)2＝2．学生猜想．教师强调配方法的应用，引导学生解答．师：将方程②同圆的标准方程比较，如果方程②表示圆，必须满足怎样的条件？此时圆的圆心坐标是多少？圆的半径呢？学生回答，教师点评．师：由以上探究可知，只有当D2＋E2－4F0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0才表示一个圆．师：圆的标准方程指明了圆的圆心和半径，圆的一般方程表明了圆的方程形式是二元二次方程．学生练习，教师巡视时应当引导学生用配方法求解．师：确定一个圆的标准方程需要知道哪几个值？要确定圆的一般方程呢？学生回答．师：先设所求方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．学生通过举例验证引出问题（2）．让学生主动猜想．强调配方法在解决二次问题中的应用．类比圆的标准方程，探究方程二元二次方程表示圆的条件．强调圆的标准方程和一般方程的特点．圆的一般方程教学设计胡龙国201809103新课F＝0D＋E＋F＋2＝04D＋2E＋F＋20＝0解得D＝－8，E＝6，F＝0．于是所求圆的方程为x2＋y2－8x＋6y＝0．将这个方程配方，得(x－4)2＋(y＋3)2＝25．所以所求圆的圆心坐标是(4，－3)，半径为5．练习二求经过三点(0，0)，(3，2)，(－4，0)的圆的方程．例2已知一曲线是与两个定点O(0，0)，A(3，0)距离比为12的点轨迹，求这个曲线的方程．解在给定的坐标系中，设M(x，y)是曲线上的任意一点，点M在曲线上的充要条件是|OM||AM|＝12．由两点间的距离公式，上式可用坐标表示为x2＋y2(x－3)2＋y2＝12，两边平方并化简，得曲线方程x2＋y2＋2x－3＝0．将方程配方，得(x＋1)2＋y2＝4.所以所求曲线是以C(－1，0)为圆心，半径为2的圆．练习三求与两定点A(－1，2)，B(3，2)的距离比为2的点的轨迹方程．师：根据圆经过三个点，这三个点的坐标应满足方程，所以我们会得到一个三元一次方程组．教师引导学生解方程组．师：求出D，E，F的值，所求圆的方程也就确定了．师：像这种求圆的一般方程的方法叫待定系数法．师：类似前面的讨论，我们可以用配方法表示出圆的标准方程，然后写出圆心坐标及半径．学生练习，教师巡视．师：请同学们回顾一下推导圆的标准方程时的过程．学生看书回顾，教师指明推导标准方程的主要步骤．师：设动点，写出动点M满足的条件．师：用点的坐标表示M满足的几何条件．师：化简方程．教师演示所得图形曲线．学生练习，教师巡视．让学生了解待定系法求圆的方程的一般步骤．类比推导圆的标准方程的步骤，让学生初步感悟求曲线方程的一般步骤和方法．强化训练．小结1．圆的一般方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F0．2．待定系数法求圆的一般方程．学生在教师的引导下回顾本节主要内容．简洁明了概括本节课的重要知识，学生易于理解记忆．4作业教材P96练习A组第1，2题．教材P96练习B组第2题（选做）．学生标记作业．针对学生实际，对课后书面作业实施分层设置．