电动力学--第1章矢量分析--电磁场与电磁波课件

电磁场与电磁波刘子龙武汉理工大学物理系使用教材参考书目《电磁场与电磁波》，王家礼，朱满座，路宏敏，西安电子科技大学，2000年12月第1版《电磁场与电磁波》，李书芳等，科学出版社，2004年第1版《电动力学》，郭硕鸿，高等教育出版社，1979年第1版J.D.Kraus,D.A.Fleish,ElectromagneticsWithApplication,FifthEdition,北京：清华大学出版社，2001本课程知识结构体系静电场静磁场时变场基本性质（第4章）无界空间中的电磁波（第5、6章）有界空间中的电磁波（第7章）基本规律（第2章）静电场分析（第3章）静电场边值问题（第3章）基本规律（第2章）静磁场分析（第3章）电磁场与电磁波静态场时变场电磁波产生的基本理论（第8章)矢量分析难点分析和处理电磁场问题的方法——数学处理过程矢量分析本课程约定物理量符号上方用“”或粗斜印刷体代表矢量，例如电场强度矢量E物理量符号上方用“”代表单位矢量，例如分别代表x，y，z方向的单位矢量，代表位置矢量的单位矢量rˆrzyˆ,ˆ,ˆeeex1.场的概念及分类什么是场矢量分析是研究电磁场空间分布及其变化、传播规律的基本数学工具之一。第一章矢量分析通常，描述某物理系统之状态的物理量都是时间和空间的函数，i.e.,trΦΦ在任一时刻t，空间每个位置r，物理量都有一个确定的值与之对应，则空间所有各点物理量数值的无穷集合就形成了该系统t时刻的一种场。场是一种物质形态---爱因斯坦因此，场实际上是物理量在时间和空间上的一种分布，例如温度场，磁场，分别代表物体温度和磁场强度矢量的时空分布。,trT,trB场的分类静态场（StaticField）时变场（Time-variedField）场物理量不随时间变化，如静电场，稳恒磁场等场物理量随时间变化。本课程主要讨论随时间正弦或余弦变化的时变场，称时谐场标量场（ScalarField）矢量场（VectorField）场物理量是标量，如温度场，电位场等场物理量是矢量，如电场,trEP(x,y,z)yzxr2.三种常用的坐标系直角坐标系ˆxeˆyeˆzeˆˆˆ,,xyzeee单位矢量：基本变量：,,xyz位置矢量：zeyexerzyxˆˆˆ任意矢量：zzyyxxAeAeAeAˆˆˆyxzxzyzyxeee,eee,eeeˆˆˆˆˆˆˆˆˆ0ˆˆˆˆˆˆzzyyxxeeeeee0ˆˆˆˆˆˆxzzyyxeeeeee1ˆˆˆˆˆˆzzyyxxeeeeeezzyyxxBABABABAzyxzyxxxxBBBAAAeeeBAˆˆˆˆxeˆyeˆze圆柱坐标系zeeeˆ,ˆ,ˆ单位矢量：P(,,z)xyzzρeˆeˆzeˆ基本变量：z,ρ,(单位矢量沿坐标增加方向，彼此正交，且构成右手螺旋关系)eeeeeeeeezzzˆˆˆˆˆˆˆˆˆρeˆeˆzeˆ柱坐标系与直角坐标下的单位矢量之间的关系xyP单位圆ρeˆeˆxeˆyˆexy平面上的投影图cosˆsinˆˆsinˆcosˆˆyxyxρeeeeee单位矢量e、e随坐标变化，且ρyxyxρeeeeeeeeˆsinˆcosˆˆˆcosˆsinˆˆzρeˆzeˆP(,,z)xyzr位置矢ˆˆˆ?zreeez位置矢量：zeerzˆˆ矢量表示：zzAeAeAeAˆˆˆdzeρdedρerdzρˆˆˆr的微分:(?)球坐标系eeerˆ,ˆ,ˆ单位矢量：基本变量：,r,xyzrP(r,,)eˆreˆeˆ(单位矢量沿坐标增加方向，彼此正交，且构成右手螺旋关系)eeeeeeeeeˆˆˆˆˆˆˆˆˆrrrrz圆面xy圆面eˆeˆreˆ球坐标系与直角坐标下的单位矢量之间的关系cosˆsinsinˆcosˆˆzreeeeyxreˆeˆeˆPxeˆyeˆzˆereˆsinˆcossinˆcosˆˆzeeeeyxcosˆsinˆˆyxeee球坐标中的单位矢量都非常矢量，随球坐标、变化cosˆsinˆˆ,0ˆcosˆˆ,ˆˆsinˆˆ,ˆˆrreeeeeeeeeeeerr任意矢量AeAeAeArrˆˆˆ位置矢量rerrˆ等值面3.标量场的描述一个标量场可以用一个标量函数来表示,truu在直角坐标系中x,y,z,tuu一个标量场可以用等值面和梯度来描述。在某一时刻，对于任意给定的常数C，方程Cx,y,z,tu所决定的空间各点构成标量场u的一个等值曲面，称等值面。---等值面方程在三维空间，上述方程给出等值曲面；在二维空间，给出等值曲线。例如真空中孤立点电荷的电位函数rπεq04电位的空间分布就构成电位场(标量场)。当电位取不同的常数C时，在三维空间，等值面是同心的球面族；在二维空间，等值线是同心的圆族。=C1=C2=C3令常数C取遍所有可能的取值，绘出的等值面族可以反映出标量场u的分布状况。方向导数和梯度方向导数标量场u(x,y,z)的等值面只能描述场量u的分布状况，不能反映场量沿空间各个方向的变化情况以及沿什么方向变化最快，为此引入方向导数和梯度概念。意义：沿l方向每单位长度标量u的变化量在某点M0处，标量u沿任一方向l的空间变化率就是该点的方向导数M0MllluluΔllim0M0（定义）直角坐标系中，方向导数dldzzudldyyudldxxulu令l方向的方向余弦cos、cos、cos，则cos,cos,cosdldzdldydldx直角坐标系中方向导数的计算式coscoscoszuyuxulu（1）xeˆyˆezˆelˆl方向的单位矢量：γeβeαelzyxcosˆcosˆcosˆˆ(1)式改写成lezueyuexuluzyxˆˆˆˆ()号中的矢量记为u(是一个算符(operator),读delta)通过计算方向导数可以给出标量场u沿任意方向的变化情况，那么沿什么方向标量u变化最快？梯度（2）luululuˆ,cosˆ显然，当l方向与矢量u的方向一致时，标量场u沿该方向的空间变化率，即方向导数，取最大值，而且此最大值就是矢量u的模。矢量u就称为标量场u的梯度(Gradient)，记为gradu，即uugrad梯度u的物理意义：其方向代表标量u空间变化最快的方向，其大小就是该最大的变化率。在直角坐标系中，梯度u的计算式zyxezueyuexuuˆˆˆ该式可以改写为uzeyexeuzyxˆˆˆ是一个矢量微分算符（3）故在直角坐标系中，算符的表达式zeyexezyxˆˆˆ（4）由算符的矢量特性不难判断下列结果：00,,2Auuu2称为Laplace算符。(3)、(4)两式是梯度u及算符在直角坐标系中的形式，通过坐标变换可得到它们在柱坐标和球坐标系中的形式：zuzeueueuˆ1ˆˆzzeeeˆ1ˆˆ圆柱坐标系熟悉这些结果zureurerueursin1ˆ1ˆˆ球坐标系zrererersin1ˆ1ˆˆ例子：已知ˆˆˆ,'''xyzRexxeyyezzRR证明'31(1);(2);(3)RRRfRfRRRR其中ˆˆˆxyzeeexyz''''ˆˆˆxyzeeexyz表示对x,y,z的运算，表示对x’,y’,z’的运算。解:(1)在直角坐标系中zReyRexReRzyxˆˆˆ222'''zzyyxxRR222ˆˆˆ''''z'y'xzzyyxxzzeyyexxeRRRR(2)在直角坐标系中RzeRyeRxeRzyx1ˆ1ˆ1ˆ1zRdRRdeyRdRRdexRdRRdeRzyx1ˆ1ˆ1ˆ122211'''zzyyxxR和(1)类似，将代入上式运算即可。这里给出另一种较方便的方法zReyRexRedRRdzyxˆˆˆ1RR2131RRR(3)在直角坐标系中zRfeyRfexRfeRfzyxˆˆˆzRdRRdfeyRdRRdfexRdRRdfezyxˆˆˆRdRRdfRRdRRdf同理RdRRdfRf''222ˆˆˆ''''z'y'xzzyyxxzzeyyexxedRRdfRRdRRdf所以RfRf'在电磁场中，通常以(x’,y’,z’)表示源点(如点电荷)的坐标，以(x,y,z)表示场点(考察点)的坐标，因此以上几个结果在电磁场中很有用，大家要熟记它们。当(x’,y’,z’)=(0,0,0)时，R=r，以上各结果依然成立。梯度u的性质矢量性标量u沿任意方向l的方向导数等于其梯度在该方向上的投影。(链接)luluˆ标量场中每一点的梯度，与过该点的等值面相垂直，且指向标量u增加的方向。u两紧邻的等值面(线)u+duMgradu垂直距离最短任意标量场梯度的旋度恒等于0。0u令，则，即若矢量场B是无旋场，则总可以将其表示为另一标量场u的梯度。uB0B例如，静电场E就是无旋场，，因此静电场E可以写为，这里是电位。0EE思考：静电场为什么是无旋场(其旋度为0)？0u3.矢量场的描述矢量场F(r)可以用一些有向曲线来形象描述其矢量F的空间分布----矢量线（力线）。矢量线(a)电场线(b)磁场线矢量线的切向代表矢量的方向；矢量线的疏密代表矢量场的强弱直角坐标系中zyxFdzFdyFdxOrrdrrdF力线的微分方程0//rFrdrFrd亥姆霍兹定理指出，要完全描述一个矢量场的性质必须从两个方面着手：散度(或通量)以及旋度(或环流)矢量场的通量和散度矢量场通量F定义面元矢量ˆdSndSnˆ面元dS的法向单位矢量方向的选取原则：nˆˆn闭曲面S上的面元dS取外法向ˆndS开曲面S上的面元dS右螺法则SdrEΦSE电通量SdrBΦSB磁通量定义矢量场F(r)通过曲面S的通量(流量，Flux)dSnrFSdrFΦSSˆ---穿过S的力线数目则闭曲面S的通量SSdSnrFSdrFΦˆF为矢量F(r)穿入S面和穿出S面的通量(力线数)的代数和，即净通量。净的力线穿出闭曲面S---S内有正通量源0SSdrF若净的力线穿入闭曲面S---S内有负通量源0SSdrF若穿入为负穿出为正SESE穿出和穿入闭曲面S的通量(力线数目)相等---S内无源0SSdrF若+-例如：(正源)(负源)闭曲面S的通量