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若要进一步认识电磁相互作用，还需要深入到微观领域，研究研究带电粒子和电磁场的相互作用第七章带电粒子和电磁场的相互作用●一方面是解决基本粒子的电磁相互作用问题●另一方面是用来解决宏观物体的电磁性质问题§1.运动带电粒子的势和辐射电磁场1.任意运动带电粒子的势●运动的带电粒子沿特定轨道运动，位矢是时间的函数)(texx=●在时刻t的势是在较早的时刻t′激发的)(|)(|ttct-re′−=′=xx把粒子看作在小体积内电荷连续分布的极限tx,)(txe′)(t′υ推迟势公式：Vrcrtt′−′=∫d4)/,(),(0περϕxxVrcrtt′−′=∫d)/,(4),(V0xJxΑπμ对于带电粒子υρ=Jυ是粒子在时刻t′=t-r/c的速度势只依赖于粒子运动的速度，而不依赖于加速度tx,)(txe′)(t′υ选一个在辐射时刻相对粒子静止的坐标系Σ~在粒子静止坐标系，点上的势与点电荷产生的势相同：)~,~(tx0~~4~0==Arqπεϕ)~~(~ttcr′−=tx,)(txe′)(t′υ现在把势变回到原坐标系Σ：粒子在t′时刻的运动速度υ也是两坐标系之间的相对速度rcqccc~4111~2022222πευυϕυυA−=−=rcqcc~4111~202222πευυϕϕ−=−=)/(cAϕμiA,=用洛伦兹变换式可以把距离用Σ坐标系中的距离表示出来：222211)()()~~(~ccrccttcttcrυυυυ−⋅−=−′−⋅−′−=′−=rxx把上式代入，得,)(420rυA⋅−=crcqυπε)(40r⋅−=crqυπεϕ——李纳-维谢尔(Lienard-Wiechert)势tx,)(txe′)(t′υ电磁场场强把势对时空坐标x和t求导数可求得场强李纳-维谢尔势都是t′的函数，因此对时空求导数需要求,ttt′∇∂′∂解得ccrrttrer⋅−=⋅−=∂′∂υυ11er是r方向的单位矢量①求ctxxtcrtte2|)(|′−−=−=′得ttcrttttcrttttrctte∂′∂⋅+=∂′∂′∂′∂⋅+=∂′∂′∂′∂−=∂′∂rxrυ1)(11)(11由tt∂′∂②求▽t′ctxxtcrtte2|)(|′−−=−=′tcrcrtxxcrcte′∇⋅+−=′−∇−=∇−=′∇rrυ2|)(|11由此解出⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅−−=′∇cccrctrreerrυυ12.偶极辐射υc情形当粒子运动速度较小时：⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅−−=′∇⋅−=⋅−=∂′∂cccrctccrrttrrreerrerυυυυ111ccrtttrer−=−=′∇=∂′∂1把势A和ϕ对时空坐标微分后令υ→0,得ttt′∂∂×′∇+×∇=×∇==′A|AABconst.)(420rυA⋅−=crcqυπε第一项：040320⎯⎯→⎯×→υευrcπqr仅余第二项2302044rcqrcqcrπεπεrυυrB×=×−=)(4,)(4020rrυA⋅−=⋅−=crqcrcqυπεϕυπε)(4444444320302020303020υπεπεπευπεπεϕπεπεϕ××+=⋅+−=′∂∂′∇−+−=∇−∂∂−=rrrrrυrrυErcqrqcrqcrrcqrqttrqrcqtAccrtrr⋅⎯⎯→⎯⋅−′∂∂→υυυ0)(1库伦场∝1/r,横向辐射场EeeυBeeE×=×=××=rrrrcrcqrcq14),(43020πευπεreυυ×re)(υ××rree)()]([υυ×−=×××rrrreeee略去库伦场后，得低速带电粒子当有加速度时激发的辐射场：带电粒子的电偶极矩为expq=υq=p辐射场与电偶极辐射公式一致,因此低速运动带电粒子加速时激发电偶极辐射辐射能流：rrcqeSsin162230222Θ=επυΘ为辐射方向和粒子加速度方向之间的夹角辐射具有方向性，在与粒子加速度垂直的方向辐射最强辐射总功率：302226cqdrPrπευ=Ω⋅=∫eS3.任意运动带电粒子的电磁场任意运动速度下带电粒子激发的电磁场同样分为两部分：1)库伦场经洛伦兹变换而来的场2）与加速度有关的辐射场,)(420rυA⋅−=crcqυπε)(40r⋅−=crqυπεϕcrrttr⋅−=∂′∂υ⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅−−=′∇crctrrυrrrerrrrett)(4)(4])()[(4|4|2302022020ccυrυcsqcsqcrcccυrυcsqttsssqttrrυπευπευυυπεπεϕϕϕ+⋅+⋅−−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅−−−⋅−⋅−+−−=′∇′∂∂+∇−=′∇′∂∂+∇=∇′′）（是常数是常数令cυrsr⋅−=,420scqπευA=sq04πεϕ=于是ccυrυccυtrts22υυ−⋅−⋅=−⋅−′∂∂=′∂∂rrr括号中除加速度项外都是~1/r2，是库伦场只考虑辐射场：rr)(4320⋅−=∇υscqπεϕsrccυrυsscqsrtssscqtttt))(1(4)1(422020υπεπε−⋅−⋅−=′∂∂−=∂′∂′∂∂=∂∂rrυυAAscq204πευA=crrttr⋅−=∂′∂υccυrυccυtrts22υυ−⋅−⋅=−⋅−′∂∂=′∂∂rrr去掉~1/r2的库伦场，得srscυscqt)(420rυA⋅+=′∂∂πε2/1~r320320320)1()(4)(4)()(4cυcrcqυrcscqυcr-rsυscqtrrreeerrrrrAE⋅−⎥⎦⎤⎢⎣⎡×−×=⎥⎦⎤⎢⎣⎡×−×=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅−⋅=∂∂−−∇=υυπευπευυπεϕtcrtcstt∂∂×−=′∂∂×−=′∂∂×′∇=×∇=ArArAABsrcrrtt=⋅−=∂′∂rυ0)(4320=∇×∴⋅−=∇ϕπεϕrrrυscq∵EeArArAAB×=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∇−∂∂−×=′∂∂×−=′∂∂×′∇=×∇=rctcrtcstt1ϕEeB×=rc1任意运动速度下带电粒子激发的电磁场为tx,)(txe′)(t′υ320)1()(4cυcrcqrrreeeE⋅−⎥⎦⎤⎢⎣⎡×−×=υυπε●辐射场与加速度υ成正比●辐射场是横场，E和B都与er垂直●辐射场与r成反比，能流与r2成反比，总辐射能量可以传播到任意远处§5带电粒子的电磁场对粒子本身的反作用电荷和电磁场是相互作用的：●一方面电荷激发电磁场●另一方面电磁场对电荷有反作用●在粒子的运动方程中必须包含辐射场的反作用1.电磁质量任意运动带电粒子的电磁场包括两部分：1）粒子的自场，存在于粒子的附近，粒子静止时是库伦场2/1r∝2）粒子加速运动时激发的辐射场r/1∝●粒子和它的自场不可分割，粒子的能量总是包含自场的能量●根据质能关系，一定的能量与一定的惯性质量相联系因此粒子的质量必然包含自场的质量在内，这部分质量称为粒子的电磁质量粒子电磁质量的计算：●只需计算一个静止粒子库伦场的总能量●库仑场的总能量依赖于粒子内部的电荷分布为简单起见，假设粒子的电荷分布于半径为re的球壳上库伦场能量为erredrrredVEWe0222002084)4(22πεππεεε===∫∫∞由相对论质能关系，电磁质量为：20228crecWmeemπε==电子质量可能还有其他来源emmmm+=0非电磁起源的质量如果电子质量主要来自电磁质量，则在数量级上有2024cremeπε≈通常定义经典电子半径为m10)38(81794092.2415202−×==mcereπε需要指出的是，在这个微观尺度，经典电动力学已不适用，经典的电子结构模型不可能是正确的2.辐射阻尼●带电粒子在加速时会激发电磁场，辐射出电磁波，把部分能量辐射出去●激发的电磁场会对粒子本身具有反作用，使粒子受到一个阻尼力以Fe代表外力，Fs代表粒子激发的场对粒子本身的反作用力，则粒子的运动方程为semdtdFF+=)(υ可以从能量守恒的要求来考虑辐射阻尼力应取得形式30226cePπευ=30226cesπευυ−=⋅F对于低速情形，当粒子有加速度时，它的辐射功率为而辐射出去的功率等于阻尼力所作的负功这个公式不是对任意瞬时都成立的，因为它只包含辐射场的贡献但在一些特殊情形，上式可以得到表示平均阻尼效应的公式，例如对粒子作周期性运动的情况，设周期为T：∫∫∫++++⋅+⋅−=−=⋅TttTttTttTttsdtcecedtcedt000000003023023022666υυπευυπεπευυF运动一个周期后，速度和加速度都回到原值，因此这一项为0∫∫++⋅=⋅TttTttsdtcedt00003026υυπευF于是，得到比较两边，可知，对平均效果而言，可以取：υπε3026ces=F此式称为粒子的自作用力，它只代表一种平均效应§6电磁波的散射和吸收介质的色散●当一定频率的电磁波投射到电子上时，由于受到振荡电场的作用，电子会以相同频率作强迫振动●振动着的电子向外辐射出电磁波，把入射波的部分能量辐射出去这种现象称为电磁波的散射1.自由电子对电磁波的散射假设电子在电磁波的作用下，运动速度远小于光速υc●电子运动的振幅远小于入射波长λυ=cTT~可以用一固定点上的电场强度来代表作用于电子上的电场强度●因为υc，电场力远远大于磁场力1~=ceEBeFFeBυυ可以忽略磁场力的作用设入射波的电场强度为tieω−0E包括自作用力在内的电子的运动方程为tiseemω−+=0EFxυπε3026ces=Ftiememce-ωπε−=03026Exx这个方程的解是频率为ω的强迫振动，设tieω−=0xx代入上述方程得：003032026Exxmemcie=−−πεωω定义30226mceπεωγ≡0002Exxmei=−−γωω则方程为)(20ωγωime+−=0Ex解得只要γω,即阻尼力可以忽略的情况下20ωme0Ex−=因而电子作强迫振动的解为tiemeωω−−=20Ex)(4)(42020xnnnnE××=××=rcerceπευπε由电子加速运动的偶极辐射公式可以求得散射波的电场强度απεαπεsin4sin4200220rmcEercxeE==αnxn是电子指向场点的单位矢量平均散射能流密度为kcEeHES20*21)Re(21ε=×=αεαεπ222200222302204sin2sin32rrcErmcEeSe==第四章(1.34)式将平均入射能流定义为入射波强度：200002EcSIε==0222sinIrrSeα=散射波能流可写为0I对球面积分得散射波总平均功率02238IrdrSPe∫=Ω=π相当于入射到面积为的截面上的能量238erπ这个散射的有效面积称为自由电子对电磁波的散射截面，以σ表示2038erIPπσ===单位面积入射功率散射功率———称为汤姆孙(Thomson)散射截面0I散射波的角分布：xyzP0Eθαφ设入射波沿Z轴方向传播φθαcossincos=考虑入射波为非偏振的情况，将散射能流对φ求平均0222sinIrrSeα=)cos1(21)cossin1(21sin220222θφφθπαπ+=−=∫d非偏振入射波的平均散射能流0222)cos(121IrrSeθ+=定义：单位立体角的散射功率与入射波强度之比称为微分散射截面dsr)cos1(2220θσ+=Ω=ΩerIddsSdd散射截面曲线如图：2.束缚电子的散射用谐振子作为原子内束缚电子的模型设谐振子的固有频率为ω0在入射波电场作用下:tieω−0EsFxeEx+−=−200ωωmemtiυπε3026ces=F这个方程的稳态解是频率为ω的强迫振动tieω−=0xx因此辐射场自作用力xxF63022γπεωmces−=−=电子的运动方程tiemωωγ−=++020Eexxx,0tieω−=xx代入)(02222200220)(11δωωγωωωωγωω−−−+−=−−=titiemeeimeEEx220ωωωγδ−=tg得电子运动方程的稳态解散射波电场强度为απεsin420rcxeE=α0EPr平均散射能流为αγωωωωεπ2222220422302204si