近世代数初步习题答案与解答

《近世代数初步》习题答案与解答引论章一、知识摘要1.A是非空集合,集合积AAbabaAA到},:),{(的一个映射就称为A的一个代数运算(二元运算或运算).2.设G非空集合,在G上有一个代数运算,称作乘法,即对G中任意两个元素a,b,有唯一确定的元素c与之对应,c称为a与b的积,记为c=ab.若这个运算还满足：,,,Gcba(1),baab(2)),()(bcacab(3)存在单位元e满足,aaeea(4)存在,'Ga使得.''eaaaa'a称为a的一个逆元素.则称G为一个交换群.(i)若G只满足上述第2、3和4条,则称G为一个群.(ii)若G只满足上述第2和3条,则称G为一个幺半群.(iii)若G只满足上述第2条,则称G为一个半群.3.设F是至少包含两个元素的集合,在F上有一个代数运算,称作加法,即对F中任意两个元素a,b,有唯一确定的元素c与之对应,c称为a与b的和,记为c=a+b.在F上有另一个代数运算,称作乘法,即对F中任意两个元素a,b,有唯一确定的元素d与之对应,d称为a与b的积,记为d=ab.若这两个运算还满足：I.F对加法构成交换群.II.F*=F\{0}对乘法构成交换群.III..)(,,,acabcbaFcba就称F为一个域.4.设R是至少包含两个元素的集合,在R上有加法和乘法运算且满足：I.R对加法构成交换群(加法单位元称为零元,记为0;加法单位逆元称为负元).II.R*=R\{0}对乘法构成幺半群(乘法单位元常记为1).III..)(,)(,,,cabaacbacabcbaRcba就称R为一个环.5.群G中满足消去律：.,,,cbcabacbacabGcba且6.R是环,),0(00,,0,baabbRbaRa或且若有则称a是R中的一个左(右)零因子.7.广义结合律:半群S中任意n个元a1,a2,…,an的乘积a1a2…an在次序不变的情况下可以将它们任意结合.8.群G中的任意元素a及任意正整数n,定义：个nnaaaa...,个nnaaaaea1110...,.则由广义结合律知,,,ZnmGa有.)(,)(,1mmmnnmnmnmaaaaaaa(在加法群中可写出相应的形式.)9.关于数域上的行列式理论、多项式理论(包括除法算式、整除性、最大公因式、因式分解唯一性定理等)、线性方程组理论、矩阵运算及理论、线性空间及线性变换理论在一般域F上都成立.二、习题解答1、（1）否，（2）否，（3）是，（4）是。注：因为集合Ａ上的一个代数运算对应了集合Ａ×Ａ到Ａ的一个映射。此类题由此直接判断。2、证明由于在F2上的任一和式中，只要有一项是1，其结果永远是1。而a+b与b+a；a+(b+c)与(a+b)+c中1，0出现的次数分别相同，它们的和就分别相等，故F2中加法交换律和结合律成立。由于ab和ba；a（bc）和（ab）c中如有0出现，其积为零，否则其积为1，故这两对积分别相等，于是F2中乘法交换律和结合律成立。对a（b+c）和ab+ac，若a=0，这两式子都为零；若a=1，这两式子都为b+c，对这两种情形两式子都相等，故F2中乘法对加法的分配律成立。注：此类题根据所定义的运算法则直接验证。3、（1）对a+b=a=a+0用加法消去律，得b=0。（2）由于[（-a）-b]+a+b=（-a）+[-b+（a+b）]=（-a）+a=0,由负元的定义知（-a）-b=-（a+b）.（3）在（2）中将b换为-b，就得-（a-b）=（-a）+b。（4）对a-b=c两边加上b，左边=（a-b）+b=a，右边=c+b，故a=c+b。（5）a·0+a=a·0+a·1=a（0+1）=a,用加法消去律得a·0=0。（6）00)()(bbaaabba，故baab)(，将上式ba,互换就得)(baab。（7）.)())(()(acabcaabcbacba注：此题直接根据环上的两个运算的性质和关系进行验证。4miia1njjb1=njjmbaa11)(njjmnjjbaba111njjiminjjmnjjbababa11111。注：此题直接根据环上“乘法对加法的分配律”来证明。5.分几种情形（i）0nm，但m，n不为零，不妨设m为正整数。mmaa为m个a及m个1a的乘积，由广义结合律知)(01mmmmaaaa。（ii）若m，n中有零，不妨设m=0，则左边右边nnnaaaa00。（iii）m，n皆为正整数，则am+n与aman皆为m+n个a的积，由广义结合律知它们相等。若m，n皆为负整数，则am+n与aman皆为-（m+n）个a-1的乘积，由广义结合律知它们相等。（iv）m，n中有正有负，且0nm，不妨设m与m+n为异号。则由（iii）nmnmmnmaaaa)(，两边再乘上mmaa1(参看(i)),则nmnmaaa.以上已证明了mmnmnmaaaaa1)(及再由);0(,)(时当个个naaaaanmnmmnmmmmn个个个)(11)()()()())((nmnmmnmmmnaaaaanmaam);0(,)(时当nanm又.)(100mmaa这就证明了.)(nmmnaa若a,b交换,当m=0时,显示有.)(mmmabba当m为正整数时,mmmabba)(与都是m个a,m个b的乘积,由广义结合律知它们相等,当m为负整数时,mmmabba)(,即111))(()()(mmmabba.左边又是1)(mmba,故mmmabba)(.注：此题根据广义结合律和群中元素的方幂的性质进行验证．6.参照中学数学中对二项定理的证明,根据环上的运算性质及ba,的交换性直接证明．7.由1))((11111111121112121aaaaaaaaaaaaaammmmmmm,故11121121)(aaaaaamm.对第2个问题,上面一段正是证明了它的充分性,再证必要性.设121uaaam,则任意i,1)(111uaaaaamiii,故每个ia有逆元素.注：直接根据逆元的定义和广义结合律证明.8.11)1(11)1)(1()1(babacaabbbababcabcababcabadbabcababcabababcabad1)1)(1()1(.11)1(1babaaabbcba即1-ba在R内也可逆又由cabccabcababc11,1)1()1(得.故cab)ab(11abcabab1bca)ba(11adb1cabc1.注：直接根据结合律和环中乘法对加法的分配律验证.9.当n≥2时,取001A001000000nnB=001100000000nn则0A,0B,但AB=0.A,B皆为零因子.注：根据环中零因子的定义直接构造.第一章群第一节群的例子一、知识摘要1.数1的n次单位根1,...,2,1,0:2nkeUinkkn关于复数乘法构成群.2.域F上的全体n阶可逆矩阵关于矩阵乘法构成群,称为n阶一般线性群,记为).(FGLn3.)(FGLn中全体行列式为1的矩阵关于矩阵乘法构成群,称为n阶特殊线性群,记为).(FSLn4.实数域R上的全体n阶正交矩阵关于矩阵乘法构成群,称为n阶正交群,记为).(ROn5.非空集合M上的可逆变换全体关于变换乘法构成群,称为集合M上的全变换群,记为MS.特别,当M是有限集{1,2,…,n}时,M上的可逆变换称为1,2,…,n的一个置换(或一个n元置换).此时,全体n元置换在置换乘法下所成的群称为n元对称群,记为nS.6.域F上n维线性空间V上的全体可逆线性变换在变换乘法下构成群,记为).(VGL7.实数域上n维欧氏空间V上的全体正交变换在变换乘法下构成群,记为).(VOn8.平面上全体正交变换(保持点之间的距离和直线夹角的变换)在变换变换乘法下构成群,称为平面的正交变换群.二、习题解答1.写仿射点变换TTyxyx),(),(:(这儿T是矩阵的转置)为矩阵形式212122122111bbyxAbbyxaaaayx,其中022122111aaaaA.设另一仿射点变换:21ccyxByx,其中0B,则Tyx,经变成212121ccbbyxABbbyxAyxyx2121ccbbByxBA由于,0ABBA仍是仿射点变换.易证:仿射点变换001001:yxyxI是恒等变换，它是乘法单位元.仿射点变换:'00211bbyxAyx正是的逆变换.又变换的乘法自然有结合律，故平面上全体仿射点变换对变换的乘法成为一个群.注：此类题按照群的定义验证,对逆元和单位元的存在性证明是关键.2.平面上正交点变换可写成矩阵形成:21bbyxAyx,其中A为2×2正交矩阵，即满足IAAAAT（单位矩阵）.正交矩阵的乘积是正交矩阵，正交矩阵的逆也是正交阵。利用这两个性质。完全类似于习题1中的论证，能证明本习题的结论.注：此题证明方法与上题一致,关键是掌握正交矩阵的基本性质.3.由题设有01010202yyxxlyyxx在仿射点变换：21''bbyxAyxyx的变换下.2,1,021，ibbyxAyxiiii故0202002200220202yyxxAyxAyxAyxyxyyxx010101010101yyxxlyyxxlAyyxxlA由于0A，A可逆.于是将不同的三点Tiiyx,变成不同的三点Tiiyx),(，2,1,0i.上面一串等式的最前端与最后端相等即表示这三点也共线。注：关键是在下，验证01010202yyxxlyyxx．4.与第三题类似有12121212yyxxAyyxx其中A满足IAAAATT于是12121212212212,yyxxyyxxyyxx1212121212121212,yyxxAAyyxxyyxxAyyxxATT