Lyapunov方程求解

广西大学实验报告纸姓名：成绩：学院：电气工程学院专业：班级：实验内容：Lyapunov方程求解2015年月日【实验时间】2015年6月22日【实验目的】掌握求解Lyapunov方程的一种方法，了解并使用MATLAB中相应函数。【实验设备与软件】硬件：PC机一台；软件：MATLAB/Simulink。【实验原理】1、线性定常系统渐进稳定的Lyapunov方程判据线性定常连续系统为渐进稳定的充要条件是：对给定的任一个正定对称阵Q，都存在唯一的对称正定阵P，满足如下矩阵Lyapunov方程：QPAPAT该条件在传递函数最小实现下等价于：全部特征根都是负实数或实部为负的复数，亦即全部根都位于左半复平面。线性定常离散系统为渐进稳定的充要条件：对给定的任一个正定对称阵Q，都存在唯一的对称正定阵P，满足如下矩阵Lyapunov方程：QPPGGT该条件在传递函数最小实现下等价于：全部特征根的摸均小于1，即都在单位圆内。2、在MATLAB控制工具箱中，函数lyap和dlyap用来求解lyapunov方程。P=lyap（TA,Q)可解连续时间系统的lyapunov方程，其中，Q和A为具有相同维数的方阵（A是系统矩阵）。如果Q是对称的，则解P也是对称的。P=dlyap（TG，Q）可解离散时间系统的lyapunov方程，其中，Q和G为具有相同维数的方阵(G是系统矩阵)。如果Q是对称的，则解P也是对称的。3、连续情况下的最小相位系统：系统的零点均在左半复平面，但系统首先是稳定的，其他情况为非最小相位系统。【实验内容、方法、过程与分析】题目1实验内容：输入连续状态空间模型DC,B,A,:0,1100,0001,0100001000014283DCBA（1）选取正定矩阵1000010000100001Q,求稳定性判别矩阵P，判定系统是否稳定。QPAPAT（2）求线性系统阶跃响应曲线，并判定是否为最小相位系统，（3）求系统的实现，判定是否是最小实现并比较。题目1实验过程及结果分析：根据题意，在实验中，先通过运算可以得出结果，根据结果做出如下的c文件程序：①、由实验c文件程序运行后结果：得到正定矩阵P：②、由题意得出系统的响应曲线：由图可知：该系统是渐进稳定的。求特征根由结果可以得出，此系统特征根的实部全部都为负数，亦全部的根都在左边平面。所以该系统为最小相位系统。所以，根据题意，更改A矩阵，求其阶跃响应曲线，并进行比较得：之前的A矩阵：更改之前的特征值：更改前的阶跃响应：更改之后的A矩阵：更改之后的特征值：更改后的阶跃响应：对比特征值可知，更改矩阵A后特征根有一个为正数，即在右半平面；对比阶跃响应图可知，更改矩阵A后，其阶跃响应为发散的。题目2实验内容：输入离散状态空间模型DC,H,G,0,100,321,001323031DCHG(1)选定正定矩阵100010001Q,求稳定性判别矩阵P。(2)请定义离散情况下的最小相位系统。(3)求线性系统阶跃响应曲线，并按你所定义的判别矩阵是否为最小相位系统。题目2实验过程及结果分析：根据题意，在实验中，先通过运算可以得出结果，根据结果做出如下的c文件程序：①、由实验c文件程序运行后结果：得到矩阵P：由图可知：得到的矩阵P是非正定的。②、由题意得出系统的响应曲线：由图可知：阶跃响应发散，该系统是不稳定的。系统不稳定，所以不是最小相位系统。之前的G矩阵：更改之前的特征值：更改前的阶跃响应：更改之后的G矩阵：更改之后的特征值：更改后的阶跃响应：对比更改前后特征值可知，更改矩阵G后特征根全部为负数，即在右半平面。对比阶跃响应图可知，更改矩阵G后，其阶跃响应为收敛的。【实验总结】2、通过本次实验了解并掌握了Lyapunov方程的一种用MATLAB求解的方法，并熟悉了线性定常系统渐进稳定的Lyapunov方程判据和求解lyapunov方程的一些函数。