用平面向量解决三角形四心问题

·20·理科考试研究·数学版2015年1月1日用平面向量解决三角形四心问题内蒙古赤峰市宁城高级中学024200郭晓辉向量本身是一个几何概念，具有代数形式和几何形式两种表示方法，易于数形结合，而且向量问题在进行数形结合时具三、用向量方法求解内心问题内心:三角形“内心”是三角形三条内角平分线的交点，所有新形式、新特点，因此可称为高中数学的一个交汇点．三角形的“四心”(外心、内心、重心、垂心)是与三角形有关的一些特殊点，各自有一些特殊的性质．在高考中，往往将“向量作为载体”对三角形的“四心”进行考查．这就需要我们在熟悉向量的代数运算的基础上读懂向量的几何意义．下面举例说明．一、用向量方法求解重心问题重心:三角形“重心”是三角形三条中线的交点，所以“重心”必在中线上．例1已知O是平面内一定点，A，B，C是平面内不共线的→→→→三个点，动点P满足:OP=OA+λ(AB+AC)，则P的轨迹一定通过△ABC的()．以“内心”必在内角平分线上．例4(2003年全国高考题)O是平面内一定点，A、B、C是平面内不共线的→→→AB三点，动点P满足OP=OA+λ(+→|AB|→AC)，λ∈(0，+∞)，则动点P的轨迹→|AC|一定通过△ABC的()．A．外心B．内心C．重心D．垂心→→→AB解析事实上如图设AE=，AF=→|AB|→AC→，都是单位|AC|A．外心B．内心C．重心D．垂心解析如图1，以AB，AC为邻边构造平行四边形ABDC，E为对角线的交点，根→→→据向量平行四边形法则AB+AC=AD，因→→→为AD=2AE，所以，上式可化为AP=λ→AE，所以点E在直线AP上．因为AE为△ABC的中线，所以选C．二、用向量方法求解垂心问题垂心:三角形“垂心”是三角形三条高的交点，所以“垂心”必在高线上．例2(2005年北京市东城区高三模拟题)O为△ABC所→→→→→→在平面内一点，如果OA·OB=OB·OC=OC·OA，则O必为△ABC的()．A．外心B．内心C．重心D．垂心解析→→→→→→→事实上OA·OB=OB·OC(OA－OC)·OB=0→→CA·OB=0OB⊥CA．故选答案D．例3已知O为三角形ABC所在平面内一点，且满足|OA→|2+|BC→|2=|OB→|2+|CA→|2=|OC→|2+|AB→|2，则点O是三角形ABC的()．A．外心B．内心C．重心D．垂心解析→→→→→事实上由条件可推出OA·OB=OB·OC=OC·→OA，故选答案D．向量，易知四边形AETF是菱形故选答案B．四、用向量方法求解外心问题外心:三角形“外心”是三角形三条边的垂直平分线的交点，所以“外心”必在垂直平分线上．→2→2→2例5，则已知O是△ABC内的一点，若OA=OB=OCO是△ABC的()．A．重心B．垂心C．外心D．内心解析OA→2=|OA→|2，OB→2=|OB→|2，OC→2=|OC→|2，所以→→→|OA|=|OB|=|OC|．由向量模的定义知O到△ABC的三顶点距离相等，故O是△ABC的外心．故选C．点评求解向量问题时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的向量或首尾相连的向量，运用向量的加减法运算、数乘运算、数量积来求解．五、总结从以上例题中可以看出，用向量解决四心问题，无论题目怎样变化都在围绕着三角形四心的定义来出题，它们都在无规→→ABAC律中出现规律，如出现+就要往内心上考虑，出现→→→→|AB||AC|→→→→|OA|=|OC|等模相等时要考虑外心，出现OA·OB=OB·OC→→→→→=OC·OA时要考虑垂心，△ABC中AB+AC一定过BC的中点，通过△ABC的重心等．所以只要对于这方面的知识准备充分，就能应付自如．檭檭檭檭檭檭檭檭檭檭檭檭檭檭檭檭檭檭檭檭檭檭檭檭檭檭檭檭檭檭檭檭檭檭檭檭檭檭檭檭檭檭檭檭檭檭檭檭(2)熟练掌握通性通法是硬道理．通性通法是指具有某些在数学思想和方法上多下功夫．规律性和普遍意义的常规解题模式和常用的思想方法，通性通(3)培养“数形结合”思考问题的好习惯．数学研究的对象法是解决问题的基本方法，也是学生应该重点掌握的方法．高是数量关系和空间形式，即“数”与“形”两个方面，它们之间并考注重通性通法的考查．从上面高考题的解析来看，解决向量不是孤立的，而是有着密切的联系，使得对数量关系的研究可问题的基本方法不外乎三种，一是整体法，即通过公式a2=以转化为对图形性质的研究，反之，也可以使对图形性质的研|a|2，沟通向量与实数的联系，将向量的运算转化为向量的模究转化为对数量关系的研究．这种解决数学问题过程中“数”即实数的运算;二是坐标法，即依据向量满足的条件，把它们的与“形”相互转化的研究策略，即是数形结合的思想．在高考坐标设出来，利用向量的坐标运算来处理问题;三是几何法，即中，常利用填空题或选择题考查学生将复杂的数量关系问题转利用向量的几何意义，构造图形，利用数形结合的思想解决问化为直观的几何图形问题来解决的意识，而对于解答题，考虑题，这些方法都是解决向量问题的最普遍、最本质的方法，并非到推理论证的严密性，考查则以由“形”到“数”为主．向量有着特殊技巧．在教学中，教师要注重通解通法，引导学生从最常丰富的几何背景，数形结合是解决向量问题的有效策略．这就规、最本质、最自然的角度思考问题，使学生熟练掌握解决问题要求我们在教学中应引导学生养成数形结合思考问题的习惯，的基本方法．要切实淡化技巧，不追牛角尖，不将精力放在钻研遇到问题常想图形，要能画图、会画图，做到心中有图、脑中有偏题、怪题和难题上，要加强运算能力和数学推理能力的培养，图，借助图形的直观形象，达到解决问题的目的．