大学空间向量解析几何-优质课件

目录上页下页返回结束第六节一、空间直线方程二、线面间的位置关系空间直线及其方程三、实例分析目录上页下页返回结束一、空间直线方程xyzO01111DzCyBxA12L因此其一般式方程1.一般式方程直线可视为两平面交线，(不唯一)目录上页下页返回结束zyx0x0yO),,(0000zyxM2.对称式方程故有说明:某些分母为零时,其分子也理解为零.mxx000yyxx设直线上的动点为则),,(zyxMnyy0pzz0此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程)直线方程为已知直线上一点),,(0000zyxM),,(zyxM例如,当,0,0时pnm和它的方向向量s目录上页下页返回结束3.参数式方程设得参数式方程:tpzznyymxx000tmxx0tnyy0tpzz0目录上页下页返回结束例1.用对称式及参数式表示直线解:先在直线上找一点.632zyzy再求直线的方向向量2,0zy令x=1,解方程组,得交已知直线的两平面的法向量为是直线上一点..s21ns,ns21nns目录上页下页返回结束故所给直线的对称式方程为参数式方程为t41x1y解题思路:先找直线上一点;再找直线的方向向量.)3,1,4(21nns312111kji是直线上一点目录上页下页返回结束2L1L二、线面间的位置关系1.两直线的夹角则两直线夹角满足设直线L1,L2的方向向量分别为两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角)212121ppnnmm212121pnm222222pnm2121cosssss1s2s目录上页下页返回结束特别有:21)1(LL21//)2(LL0212121ppnnmm212121ppnnmm21ss21//ss2L1L1s2s2L1L1s2s目录上页下页返回结束例2.求以下两直线的夹角解:直线L1的方向向量为直线L2的方向向量为二直线夹角的余弦为0202:2zxyxLcos从而4π)1,2,2()1(1)2()4(212221)4(1222)1()2(22010112kjis目录上页下页返回结束当直线与平面垂直时,规定其夹角为线所夹锐角称为直线与平面间的夹角;L2.直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时,设直线L的方向向量为平面的法向量为则直线与平面夹角满足222222CBApnmpCnBmA直线和它在平面上的投影直),,(pnms),,(CBAn︿),cos(sinnsnsnssn目录上页下页返回结束特别有:L)1(//)2(L0pCnBmApCnBmAns//ns解:取已知平面的法向量421zyx则直线的对称式方程为直的直线方程.为所求直线的方向向量.132垂)1,3,2(nn例3.求过点(1,－2,4)且与平面目录上页下页返回结束3.相关的几个问题(1)过直线00:22221111DzCyBxADzCyBxAL的平面束)(1111DzCyBxA0)(2222DzCyBxA方程0,21不全为12目录上页下页返回结束kji到直线的距离为(2)点2221pnm010101zzyyxxpnmdssMMd10),,(pnms),,(1111zyxM),,(0000zyxM目录上页下页返回结束三、实例分析例1.求与两平面x–4z=3和2x–y–5z=1的交线提示:所求直线的方向向量可取为利用点向式可得方程43x)1,3,4(32y15z平行,且过点(–3,2,5)的直线方程.21nns目录上页下页返回结束例2.求直线与平面的交点.提示:化直线方程为参数方程代入平面方程得1t从而确定交点为（1，2，2）.t目录上页下页返回结束例3.求过点(2,1,3)且与直线垂直相交的直线方程.提示:先求二直线交点P.化已知直线方程为参数方程,代入①式,可得交点最后利用点向式得所求直线方程431122zyx的平面的法向量为故其方程为①),,(312),,(011)1,2,3(s过已知点且垂直于已知直线P目录上页下页返回结束例4.求直线在平面上的投影直线方程.提示：过已知直线的平面束方程从中选择使其与已知平面垂直,得001zyxzy这是投影平面0)1(1zyxzyx即从而得投影直线方程,1故应有：这是给定的平面目录上页下页返回结束1.空间直线方程一般式对称式参数式0022221111DzCyBxADzCyBxAtpzztnyytmxx000内容小结目录上页下页返回结束,1111111pzznyymxxL：直线,2222222pzznyymxxL：212121ppnnmm2.线与线的关系直线夹角公式:021ss21LL21//LL021ss2121cosssss目录上页下页返回结束,0DzCyBxACpBnAm平面:L⊥L//夹角公式：0CpBnAmsin,pzznyymxx3.面与线间的关系直线L:),,(CBAn),,(pnms0ns0nsnsnsL目录上页下页返回结束作业习题六1，2，3，7