按揭贷款还款的数学模型

中国电力教育2007年管理论丛与教育研究专刊32刘丽*（华北电力大学，河北 保定 071003 ）摘要：本文利用一阶线性差分方程建立了按揭贷款三种还款方式（一次性还本付息、等额还款和增减型还款）的数学模型。关键词：按揭贷款；一阶线性差分方程；一次性还本付息；等额还款*作者简介：刘丽（1982-），女，山西神池人，华北电力大学应用数学专业06级硕士研究生。一、问题的提出随着人们生活水平的不断提高，消费观念正在发生深刻的变化。俗话说：“花明天的钱享今天的福。”按揭贷款的消费方式正是符合了人们当前的消费需求，于是按揭贷款购买住房、汽车、教育、旅游等大件商品已经被越来越多的百姓接受。目前按揭贷款主要有一次性还本付息、等额还款（包括等额本息还款和等额本金还款）及增减型还款三种不同的还款方式。允许借款人与贷款人在双方协商的基础上进行选择，但一笔借款合同只能选择一种还款方式，合同签定后，不得更改。本文利用一阶线性差分方程建立相应的还款模型并加以求解。此模型可以帮助顾客根据自己的收入情况、贷款数额及期限来选择适合自己的还款方式。二、模型的建立本文仅讨论计复利情况下的有关模型。1.一次性还本付息模型到期一次性还本付息是指贷款到期后，借款人一次性归还全部本金和利息。即到期后一次性还本付息款额为：AN=A0×.2.等额还款模型（1）等额本息还款等额本息还款是指借款人在还款期内每月偿还的本金与利息和不变的一种还款方式。①当期末价值相等时建立模型期初借款A0元，月利率为i，每月还款x元。At表示第t个月尚欠银行的款额，到一个月后的本息之和为         ，则第t+1个月欠银行的钱数为：=          此方程即为相应的一阶线性差分方程。所以： 解差分方程得：因为AN=0，所以①这是每月需还银行的款额的计算公式。②当现值相等时建立模型贴现水平一般用贴现率d来表示：，第t+1个月尚欠银行的钱数为现值At+1，则第t个月欠银行的款额At应包括两个部分：一部分是At+1相当于第t个月的价值，另一部分是第t+1个月还款相当于上一个月的价值。则相应的一阶线性差分方程为：所以：则：则每月需要还银行的钱数为：②将代入②便得到公式①，从中可以看出以期末价值相等和以现值相等建立的模型的计算结果是相同的。所以不再将它们区分，并将之统称为等额本息还款模型。（2）等额本金还款等额本金还款是指借款人每期偿还的贷款本金固定不变且利息逐期减少的一种还款方式。①当期末价值相等时建立模型Ni)1(+tA×1+tAMxixiAANNN−−+×−+×=−L10)1()1(xiAN=+×)1(0xixiNN+++×++×−−L21)1()1(×=+×xiAN)1(01)1()1(0−++××=NNiiiAxiid+=1id+=−111x()()dxdAAtt−×+−×=+111()()dxdAA−×+−×=1110()()dxdAA−×+−×=1121()()dxdAANN−×+−×=−1110=NAL−−−−=−−−211)1()1(NNNdxdxAx−()()xdxdxdANNN++−+−=−−−L21011)1(id+=−11133期初借款A0元，月利率为i，每月固定所偿还的本金额为m元。At为第t个月所还银行的钱数。则有差分方程模型：则：得：因为，每月所还款数额=每月所还本金+（本金-已经归还本金累计额）×利率则第t个月所还银行的钱数为：②当现值相等时建立模型第t+1个月尚欠银行的钱数为现值At+1，则第t个月欠银行的款额At应包括三部分。A.At+1相当于第t个月的价值；B.所还固定不变的本金额m相当于第t个月的价值；C.所结利息相当于第t个月的价值。则相应的差分方程模型为：移项解方程得：同上可得：且有.注意：同等额本息还款模型一样，在等额本金还款模型里，当期末价值相等时与当现值相等时所得到的计算结果也是相同的。因此也不再将其区分，并且将之统一称为等额本金还款模型。以上建立的等额本息还款模型与等额本金还款模型被合并为此篇文章的第二大类模型，即等额还款模型。（3）增减型的还款模型随着经济的发展，人们的预期收入与预期支出将有所变化，自然人们要考虑按揭贷款的还款能否递增（或递减）。假设每隔半年增加还款k元（当k大于0时即为递增型还款，当k小于0时即为递减型还款），一共还款N个月。为方便起见先不妨假设N=24，x为首期付款，则在前六个月内欠银行的钱数At+1是人们熟悉的模型：0≤t≤6而第七个月到第十二个月欠银行贷款为：7≤t≤12由此类推模型如下：0≤t≤6①7≤t≤12②13≤t≤18③19≤t≤24④A24=0⑤这是一个分段的差分方程模型，在每一分段内为等额本息还款。方程①的解：0≤t≤6方程②的解为：7≤t≤12满足方程①∴代入方程②解的表达式中便得到：7≤t≤12所以此模型的解可以归结为：0≤t≤67≤t≤1213≤t≤1819≤t≤24上面解的表达式通过形式变换就可得到以下的解：0≤t≤67≤t≤1213≤t≤1819≤t≤24现在来看按揭贷款一般的增减型还款模型：0≤t≤67≤t≤12≤t≤N这里N取12的倍数若已经还款j次（j=mn+p且m、n均为自然数。0≤p≤n）增加额仍为k元，增加周期为n。则其模型的解由上不难推出：例如：j=8，n=6则8=1×6+2∴p=2m=1代入上式可得与前面推导的结果是相符合的。由此模型可以解决以下两个问题：mAAtt−=−1mAA−=01mAA−=12mAANN−=−1NAm0=()ddi=−×1Q=tAmAt++1NAm0=()[]imtANAxt××−−+=100()xiAAtt−+×=+11()()kxiAAtt+−+×=+11()xiAAtt−+×=+11()()kxiAAtt+−+×=+11()()kxiAAtt211+−+×=+()()kxiAAtt311+−+×=+()()xixiAAttt−−+×−+×=−L1011()()xiiiAAttt×+−++×=1110()ixiixAAtt++×−=10()ikxiikxAAtt+++×+−=−6616AQ()ixiixAA++×−=6061()()ttiiikixAA+×+−−=1160ikx++()ixiixAAtt++×−=10()()ikxiiikixAAtt+++×+−−=1160()()()ikxiiikiikixAAtt21111260+++×+−+−−=()()()()ikxiiikiikiikixAAtt31111181260+++×+−+−+−−=×=0AAt()xiAAtt−+×=+11()()kxiAAtt+−+×=+11M()()lkxiAAtt+−+×=+11()16+−N0=NA16−=Nl按揭贷款还款的数学模型34（1）由AN=0计算出首期付款①当p≠0时，②当p=0时，③当k=0时就是等额还款模型中的等额本息还款：（2）由AN=0确定增加额三、适用对象到期一次性还本付息适用于短时间内能利用贷款赢回很多利润的人群；等额本息还款主要适用于每月收入固定的工薪阶层或有稳定的家庭收入来源者；等额本金还款最大的优点是它所支付的利息逐渐减少，比较适合于目前已经有一定积蓄，但是预期收入可能会减少的借款人。如：中老年职工家庭，其现已经有一定积蓄，可今后随着退休离近或其它原按揭贷款还款的数学模型因收入将逐渐减少；对于增减型还款方式则主要适用于预期收入与预期开支的差额有明显幅度的顾客。四、总结通过以上分析说明按揭贷款的还款方式没有哪一种好与哪一种不好之说，更没有得出哪一种还款方式最合算的结果。本文通过建立模型并计算其结果只是得出了按揭贷款的还款方式中哪一种对于顾客更合适的结论。不同的顾客应当有不同的选择。这些模型可以帮助顾客根据自己的收入情况来选择贷款的数量、还款的期限，并且根据自身的收入及其变化情况来决定首期付款及其还款是否增加（或减少）和其增加（或减少）的周期与额度，并随时了解自己尚欠银行的钱数，及时调整和改变投资策略，同时大大增加了银行贷款的透明度，为银行提高服务质量提供了必要保证。参考文献：[1]孙立群.按揭购房中还款方式的比较[J].数学通讯,2004,(6).[2]姜启源.数学模型[M].北京:中国人民大学出版社,1989,8.[3]BenderE.A.AnIntroductionofMathematicalModeling.wilegIntersience.NewYork,1978.[4]王莲芬.层次分析法引论[M].北京:中国人民大学出版社,1989,3.