导数讲义(学生新版)

1/8导数一、导数的概念函数y=f(x),如果自变量x在x0处有增量x，那么函数y相应地有增量y=f（x0+x）－f（x0），比值xy叫做函数y=f（x）在x0到x0+x之间的平均变化率，即xy=xxfxxf)()(00。如果当0x时，xy有极限，我们就说函数y=f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x0处的导数，记作f’（x0）或y’|0xx。f’(x0)=0limxxy=0limxxxfxxf)()(00。例、若kxxfxxfx)()(lim000，则xxfxxfx)()2(lim000等于（）A．k2B．kC．k21D．以上都不是变式训练：设函数)(xf在点0x处可导，试求下列各极限的值．1．xxfxxfx)()(lim000；2．.2)()(lim000hhxfhxfh3．若2)(0xf，则kxfkxfk2)()(lim000=？二、导数的几何意义函数y=f（x）在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x0，f（x0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x0，f（x0））处的切线的斜率是f’（x0）。切线方程为y－y0=f/（x0）（x－x0）。三、导数的运算1．基本函数的导数公式:①0;C（C为常数）2/8②1;nnxnx③(sin)cosxx;④(cos)sinxx;⑤();xxee⑥()lnxxaaa;⑦1lnxx;⑧1lglogaaoxex.习题：求下列函数的导数：（8分钟独立完成）（1）()fx（2）4()fxx（3）()fxx（4）()sinfxx（5）()cosfxx（6）()3xfx（7）()xfxe（8）2()logfxx（9）()lnfxx（10）1()fxx（11）31cos44yx（12）1xyx（13）lgxyxe（14）3cosyxx2、导数的四则运算法则：)()(])()([)()(])()([xgxfxgxfxgxfxgxf)()()()()()()()()()()(])()([2xgxgxfxgxfxgxfxgxfxgxfxgxf练习：求下列函数的导数：（1）xxy22；（2）xxyln；（3）xxysin；（4）xxyln。（5）xxysin；（6）xxyln2。3、复合函数求导：如果函数)(x在点x处可导，函数f(u)在点u=)(x处可导，则复合函3/8数y=f(u)=f[)(x]在点x处也可导，并且(f[)(x])ˊ=)(xf)(x例、求下列函数的导数（1）y=x21cosx（2）y=ln(x+21x)练习：求下列函数的导数（1）y=2)13(1x（2）y=sin（3x+4）常考题型：类型一、求导数相关问题例1、若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．例2、曲线y＝xex－1在点(1，1)处切线的斜率等于()A．2eB．eC．2D．1例3、[2014·新课标全国卷Ⅱ]设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x，则a＝()A．0B．1C．2D．3类型二、求切线方程（一）已知切点坐标，求切线方程例1.曲线3231yxx在点(11)，处的切线方程（二）已知切点斜率，求切线方程例2.与直线240xy的平行的抛物线2yx的切线方程（三）已知曲线外一点，求切线方程例3.求过点(20)，且与曲线1yx相切的直线方程．（四）已知曲线上一点，求过该点的切线方程例4.求过曲线32yxx上的点(11)，的切线方程．变式训练：1、[2014·广东卷]曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为________．2、[2014·江苏卷]在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋bx(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b4/8的值是________．3、与直线1yx＝0平行,且与曲线y＝132x相切的直线方程类型三、求单调区间及极值、最值考点一求不含参数的函数的单调区间例1.求函数y=x2(1－x)3的单调区间.变式训练：1.函数xxyln的单调递减区间是（）A．),(1eB．),(1eC．),0(1eD．),(e2.(05年广东高考题)函数32()31fxxx是减函数的区间为()（Ａ）(2,)（Ｂ）(,2)（Ｃ）(,0)（Ｄ）(0,2)考点二求含参数的函数的单调区间考例1、已知函数21()ln(1)2fxxmxmx，mR．当0m时，讨论函数()fx的单调性.例2、设函数f(x)=3223(1)1,1.xaxa其中求f(x)的单调区间；例3、设函数f(x)=ax－(a+1)ln(x+1)，其中a--1，求f(x)的单调区间。变式训练：1、[2014·山东卷]设函数f(x)＝alnx＋x－1x＋1，其中a为常数．(1)若a＝0，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)讨论函数f(x)的单调性．2、【2014·安徽卷】设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；考点三：利用单调区间求未知参数取值范围：例1、[2014·新课标全国卷Ⅱ]若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是()A．(－∞，－2]B．(－∞，－1]C．[2，＋∞)D．[1，＋∞)例2、[2014·全国新课标卷Ⅰ]已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在5/8唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是()A．(2，＋∞)B．(1，＋∞)C．(－∞，－2)D．(－∞，－1)例3、[2014·辽宁卷]当x∈[－2，1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是()A．[－5，－3]B.－6，－98C．[－6，－2]D．[－4，－3]变式训练：（山东省烟台市2011届高三上学期期末考试试题（数学文））已知函数32()fxaxbx的图像经过点(1,4)M，曲线在点M处的切线恰好与直线90xy垂直.（Ⅰ）求实数,ab的值；（Ⅱ）若函数()fx在区间[,1]mm上单调递增，求m的取值范围.考点四：结合单调性求极值问题求函数的极值的步骤:(1)确定函数的定义域，求导数'()fx.(2)求方程'()0fx的根.(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.检查'()fx在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么)(xf在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么)(xf在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么)(xf在这个根处无极值.注:可导函数()yfx在0xx处取得极值是0'()0fx的充分不必要条件.例1、已知函数xxbaxxfln42)(在311xx与处都取得极值．（1）求a、b的值；变式训练：设1,2xx是lnfxaxbxx函数的两个极值点.（1）试确定常数a和b的值；（2）试判断1,2xx是函数fx的极大值点还是极小值点，并求相应极值.例2、（06安徽卷）设函数32()fxxbxcxxR，已知()()()gxfxfx是6/8奇函数。（Ⅰ）求b、c的值。（Ⅱ）求()gx的单调区间与极值。例3、已知函数dxbacbxaxxf)23()(23的图象如图所示．（I）求dc,的值；（II）若函数)(xf在2x处的切线方程为0113yx，求函数)(xf的解析式；（III）在（II）的条件下，函数)(xfy与mxxfy5)(31的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．例4、[2014·江西卷]已知函数f(x)＝(x2＋bx＋b)1－2x(b∈R)．(1)当b＝4时，求f(x)的极值；(2)若f(x)在区间0，13上单调递增，求b的取值范围．变式训练：1、已知函数()fxxb的图象与函数23)(2xxxg的图象相切,记()()()Fxfxgx.（Ⅰ）求实数b的值及函数()Fx的极值；（Ⅱ）若关于x的方程kxF)(恰有三个不等的实数根，求实数k的取值范围.2、（2011全国Ⅱ文20）已知函数32()3(36)124()fxxaxaxaaR(Ⅰ)证明：曲线()0yfxx在(2,2)的切线过点；（Ⅱ）若00()(1,3)fxxxx在处取得极小值，,求a的取值范围.考点五：结合单调性求最值问题求函数在[,]ab上最值的步骤：（1）求出()fx在(,)ab上的极值.（2）求出端点函数值(),()fafb.（3）比较极值和端点值，确定最大值或最小值.例1、(2010年重庆卷)已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．(1)求f(x)的表达式；(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．例2、设函数f(x)＝ax3＋bx＋c(a≠0)为奇函数，其图象在点(1，f(1))处的切线与直线x－6y－7＝0垂直，导函数f′(x)的最小值为－12.(1)求a，b，c的值；(2)求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在[－1,3]上的最大值和最小值．例3、已知函数21()ln,()(1),12fxxaxgxaxa．（I）若函数(),()fxgx在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同，7/8求实数a的取值范围；（II）若(1,](2.71828)aee，设()()()Fxfxgx，求证：当12,[1,]xxa时，不等式12|()()|1FxFx成立．例4、[2014·安徽卷]设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a＞0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x∈[0，1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值．四、导数与不等式恒成立问题：可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。两个基本思想解决“恒成立问题”思路1、max)]([)(xfmDxxfm上恒成立在思路2、min)]([)(xfmDxxfm上恒成立在例1.设函数32()2338fxxaxbxc在1x及2x时取得极值．①求a、b的值；②若对于任意的[03]x，，都有2()fxc成立，求c的取值范围．例2、已知函数1123323xaxxaxf，其中a为实数。已知不等式12'axxxf对任意,0a都成立，求实数x的取值范围例3、设函数)(,2234Rxbxaxxxf，其中Rba,。若对于任意的2,2a，不等式1xf在1,1上恒成立，求b的取值范围。例4、若实数0a且2a，函数122213123xxaaxxf。（1）证明函数xf在1x处取极值，并求出函数xf的单调区间。（2）若在区间,0上至少存在一点0x，使得10xf，求实数a的取值范围。变式训练：1、（2010辽宁文）已知函数2()(1)ln1fxaxax.（Ⅰ）讨论函数()fx的单调性；（Ⅱ）设2a，证明：对任意12,(0,)xx，1212|()()|4||fxfxxx.2、已知函数f(x)＝x3＋3|x－a|(a＞0)．若f(x)在[－1，1]上的最小值记为g(a)．(1)求g(a)；(2)证明：当x∈[－1，1]时，恒有f(x)≤g(a)＋4.3、设函数2()(),fxxaxaR.8/8(Ⅰ)若1x为函数()yfx的极值点，求实数a；（Ⅱ）求实