三重积分复习精华

第三节三重积分的计算一、三重积分的定义二、利用直角坐标计算三重积分三、利用柱面坐标计算三重积分四、利用球面坐标计算三重积分设),,(zyxf是空间有界闭区域上的有界函数，将闭区域任意分成n个小闭区域1V，2V,,nV，其中iV表示第i个小闭区域，也表示它的体积,在每个iV上任取一点),,(iii作乘积iiiiVf),,(，),,2,1(ni，并作和,如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数),,(zyxf在闭区域上的三重积分，记为Vzyxfd),,(,一、三重积分的定义即Vzyxfd),,(iiiniivf),,(lim10..d叫做体积元素其中V,的平面来划分用平行于坐标面在直角坐标系中，如果.lkjizyxV则三重积分记为zyxzyxfddd),,(iiiniivf),,(lim10..ddd积元素叫做直角坐标系中的体其中zyx(1)三重积分的存在性：当),,(zyxf在闭区域上连续时，则),,(zyxf在上的三重积分一定存在.(2)三重积分没有几何意义，但有物理意义.设),,(zyxf表示某物体在点),,(zyx处的体密度，是该物体所占有的空间区域，),,(zyxf在上连续，则该物体的质量M为：VzyxfMd),,(性质１(线性性质)Vzyxgzyxfd)],,(),,([性质2(对区域具有可加性)21设VzyxgVzyxfd),,(d),,(21d),,(d),,(d),,(VzyxfVzyxfVzyxf性质４.d1VV性质５,0),,(zyxf.0d),,(Vzyxf则有若在D上有(3)绝对可积性.d|),,(|d),,(VzyxfVzyxf若在D上有),,,(),,(zyxgzyxf.d),,(d),,(VzyxgVzyxf则有(2)单调性(1)正性设函数),,(zyxf在闭区域上连续，V为的面积，则在上至少存在一点),,(使得性质6（三重积分中值定理）VfVzyxf),,(d),,(.d),,(1lim,),,(,),,(,),,(30000000rVzyxfrrzyxzyxzyxfrr试求极限为半径的闭球体心以为中是以的一个内点是上连续在区域设例直角坐标系中将三重积分化为三次积分．二、利用直角坐标计算三重积分1、坐标面投影法xyzoD1z2z2S1S),(1yxzz),(2yxzzab)(1xyy)(2xyy),(yx如图，,xyDxoy面上的投影为闭区域在闭区域),,(:),,(:2211yxzzSyxzzS,),(作直线过点xyDyx穿出．穿入，从从21zz}),(,),(),(|),,{(21xyDyxyxzzyxzzyx函数，则的只看作看作定值，将先将zzyxfyx),,(,),(),(21d),,(),(yxzyxzzzyxfyxF上的二重积分在闭区间计算xyDyxF),(.d]d),,([d),(),(),(21DyxzyxzDzzyxfyxF},)()(|),{(21bxaxyyxyyxD得Vzyxfd),,(.d),,(dd)()(),(),(2121baxyxyyxzyxzzzyxfyx注意于两点情形．相交不多的边界曲面直线与闭区域内部的轴且穿过闭区域这是平行于Sz这种方法称为坐标面投影法..型空间区域称为闭区域xy}),(,),(),(|),,{(21xyDyxyxzzyxzzyx例1化三重积分dxdydzzyxfI),,(为三次积分，其中积分区域为由曲面222yxz及22xz所围成的闭区域.解由22222xzyxz,得交线投影区域,1:22yxDxy.),,(11221122222xyxxxdzzyxfdydxI}),(,22|),,{(222xyDyxxzyxzyx故：}11,11|),{(22xxyxyxDxy例2化三重积分dxdydzzyxfI),,(为三次积分，其中积分区域为由曲面22yxz,2xy,1y,0z所围成的空间闭区域.1101222),,(yxxdzzyxfdydxI.解.11,1,0:222xyxyxz如图，}),(,),(),(|),,{(21yzDzyzyxxzyxzyx:,yzDyozSx平面得投影区域投影到把相交不多于两点的边界曲面与内部的直线轴且穿过闭区域若平行于.型空间区域称为闭区域yzVzyxfd),,(.d]d),,([),(),(21yzDzyxzyxxzyxf}),(,),(),(|),,{(21zxDxzxzyyxzyzyx:,zxDzoxSy平面得投影区域投影到把相交不多于两点的边界曲面与内部的直线轴且穿过闭区域若平行于.型空间区域称为闭区域zxVzyxfd),,(.d]d),,([),(),(21zxDxzyxzyyzyxf例3计算三重积分dxdydzxy21，其中由曲面221zxy，122zx，1y所围成.将投影到zox平面得:zxD122zx,先对y积分，再求zxD上二重积分,解如图,11222ddd1zxDyyzxxzx原式dzzxxdxxx21221111222dxzzxxxx221132112|)3(11142)21(31dxxx.45282、坐标轴投影法(截面法),],[qpz轴作投影得投影区间向将空间区域,),0,0(,所得的平面区域面的平面截于且平行表示过点用时当xoyzDqzpz:可表示为若,},),(|),,{(qzpDyxzyxz.型空间区域称为则闭区域z.,型区域型区域与可定义类似地yx(1)把积分区域向某轴（例如z轴）投影，得投影区间],[qp；(3)计算二重积分zDyxzyxfdd),,(其结果为z的函数)(zF；(2)对],[qpz用过z轴且平行xoy平面的平面去截，得截面zD;(4)最后计算单积分qpzzFd)(即得三重积分值.坐标轴投影法(截面法)的一般步骤:zpq法：下列情形可考虑用截面;,)1型的恰是型的不是积分区域zxy.dd),,(,,)2易于计算时或的函数时表达为的面积容易且无关被积函数与zDzyxzyxfzDxy例4计算三重积分zyxzddd，其中为三个坐标面及平面1zyx所围成的闭区域.解（一）zdxdydz,10zDdxdyzdz}1|),{(zyxyxDz)1)(1(21zzdxdyzD原式102)1(21dzzz241.xozy111解（二）xozy111zdxdydz,10zDdxdyzdzzzydxdyzdz101010zdyzyzdz1010)1(102)1(21dzzz241.例5计算三重积分dxdydzz2，其中是由椭球面1222222czbyax所成的空间闭区域.:,|),,{(czczyx}1222222czbyax原式,2zDccdxdydzzxyzozD解)1()1(222222czbczadxdyzD),1(22czabccdzzczab222)1(.1543abc|),{(yxDz}1222222czbyax原式例6计算dxdydzyxI)(22，其中是曲线zy22，0x绕oz轴旋转一周而成的曲面与平面8z所围的立体.解由022xzy绕oz轴旋转得，旋转抛物面方程为,222zyx.,2,22故可用截面法计算圆域截面为轴的平面去截它用垂直于zyxz80222dd)(d22yxyxzIzyx}80,),(|),,{(zDyxzyxz}2|),{(22zyxyxDz其中zz2028020ddd802d4412zz3823.310243、利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：１、积分区域关于坐标面的对称性；２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的奇偶性．则上的连续函数为面对称的有界闭区域中关于为若,),,(,3zyxfxoyR.1面上方的部分在为其中xoy;0d),,(,),,(Vzyxfzyxf为奇函数时关于当z1d),,(d),,(,),,(VzyxfVzyxfzyxf为偶函数时关于当z2例6利用对称性简化计算dxdydzzyxzyxz1)1ln(222222其中积分区域}1|),,{(222zyxzyx.解积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是的奇函数,z.01)1ln(222222dxdydzzyxzyxz例7.1:d222zyxVez，计算解法．，故采用＂先二后一＂为圆域的函数，截面被积函数仅为2221)(zyxzDz上VeVezzd2d10)(ddd2zeyxzzD102d)1(2zezz.2,0,20.z三、利用柱面坐标计算三重积分的柱面坐标．就叫点个数则这样的三的极坐标为面上的投影在为空间内一点，并设点设MzPxoyMzyxM,,,,),,(规定：xyzo),,(zyxM),(P.,sin,coszzyx柱面坐标与直角坐标的关系为为常数为常数z为常数如图，三坐标面分别为圆柱面；半平面；平面．),,(zyxM),(Pzxyzozyxzyxfddd),,(.ddd),sin,cos(zzfdxyzozddd如图，柱面坐标系中的体积元素为,ddddzV坐标：下列情形可考虑用柱面;)1是圆域或圆域的一部分的投影区域D;)3旋转抛物面的边界曲面为圆柱面或.)(,)(,)(,)()22222等被积函数为xyfxyfyxfyxf的次序进行积分一般按,,z例1计算zyxyxIddd22，其中由22yxz与1z所围的立体.例2计算zdxdydzI，其中是球面4222zyx与抛物面zyx322所围的立体.解由.,sin,coszzyxzz34222,3,1z知交线为23242030dddzzI.413面上，如图，投影到把闭区域xoy.20,3043:22，z例3.d),,(dd002202坐标系下的三次积分化为柱面将xxxzzyxfyx例4计算dxdydzyxI)(22，其中是曲线zy22，0x绕oz轴旋转一周而成的曲面与两平面,2z8z所围的立体.解由022xzy绕oz轴旋转得，旋转面方程为,222zyx所围成的立体如图，:2D,422yx.222020:22z:1D,1622yx,824020:21z所围成立体的投影区域如图，2D1D,)()(21222221d