三重积分的概念与计算

©第三节一、三重积分的概念二、三重积分的计算三重积分的概念与计算第九章©一、三重积分的概念类似二重积分解决问题的思想,采用kkkkv),,(),,(kkkkv引例:设在空间有限闭区域内分布着某种不均匀的物质,,),,(Czyx求分布在内的物质的可得nk10limM“大化小,常代变,近似和,求极限”解决方法:质量M.密度函数为©定义.设,),,(,),,(zyxzyxfkkknkkvf),,(lim10存在,),,(zyxfvzyxfd),,(称为体积元素,vd.dddzyx若对作任意分割:任意取点则称此极限为函数在上的三重积分.在直角坐标系下常写作下列“乘积和式”极限记作性质：三重积分的性质与二重积分相似.1),,(zyxf例如:当时,为立体的体积。dvzyxf),,(又如：中值定理：在有界闭域上连续,V为的体积则存在使得,),,(vzyxfd),,(Vf),,(©二、三重积分的计算1.利用直角坐标计算三重积分方法1.投影法(“先一后二”)方法2.截面法(“先二后一”)方法3.三次积分法,0),,(zyxf先假设连续函数并将它看作某物体通过计算该物体的质量引出下列各计算最后,推广到一般可积函数的积分计算.的密度函数,方法:©zxyDDyxdd方法1.投影法(“先一后二”)Dyxyxzzyxz),(),(),(:21vzyxfd),,(),(),(21d),,(yxzyxzzzyxfDyxzyxzzzyxfyx),(),(21d),,(dd),(2yxzz),(1yxzzyxdd记作©ab方法2.截面法(“先二后一”)为底,dz为高的柱形薄片质量为zD以xyz该物体的质量为baZDyxzyxfdd),,(ZDbayxzyxfzdd),,(dzzDzzyxfd),,(面密度≈zd记作©投影法方法3.三次积分法设区域:利用投影法结果,bxaxyyxyDyx)()(:),(21),(),(21yxzzyxz把二重积分化成二次积分即得:),(),(21d),,(ddyxzyxzDzzyxfyx),(),(21d),,(yxzyxzzzyxf)()(21dxyxyybaxd©小结:三重积分的计算方法方法1.“先一后二”方法2.“先二后一”方法3.“三次积分”),(),(21d),,(ddyxzyxzDzzyxfyxZDbayxzyxfzdd),,(d),(),()()(2121d),,(ddyxzyxzxyxybazzyxfyx具体计算时应根据三种方法(包含12种形式)各有特点,被积函数及积分域的特点灵活选择.©例1.化为三次积分，由曲面dxdydzzyxfI),,(zxy及平面围成.,01yx0zzoxyxyD解：如图xyxDxyzxy10,10:,0:所以xyDdxdyIxydzzyxf0),,(xyxdzzyxfdydx01010),,(©其中为三个坐标例3.计算三重积分,dddzyxz1zyx所围成的闭区域.解:如图，：面及平面xyzo111,10zzD为面上轴，xoyxy轴和围成的等腰直角三角形.zyx1所以zdxdydzzDdxdyzdz10102)1(21dzzz241注：此题亦可尝试用投影法求解三重积分．©例4.计算三重积分dxdydzz，其中是上半椭球体.1222222czbyax解：:,0cz.1:222222czbyaxDzdxdydzz则zDcdxdyzdz0而)1()1(222222czbczaSdxdyzzDD),1(22czab原式czdzczab022)1(.412abc©oxyz2.利用柱坐标计算三重积分,R),,(3zyxM设,,,代替用极坐标将yx),,z（则就称为点M的柱坐标.z200sinyzzcosx直角坐标与柱面坐标的关系:常数坐标面分别为圆柱面常数半平面常数z平面oz),,(zyxM)0,,(yx©如图所示,在柱面坐标系中体积元素为zzdddzvdddd因此zyxzyxfddd),,(其中),sin,cos(),,(zfzF适用范围:1)积分域表面用柱面坐标表示时方程简单;2)被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.zdddxyzodd©例2.计算,其中由锥面zyxyxIddd1122,222zyx平面围成.1z用投影法.,1,10,20::22zyxrrDxyxyDdxdyI1222211yxdzyxxyDrdrd1211rdzr1102201rdzdrrrd102)d111(2rrr)222(ln©ooxyz例5.计算三重积分解:在柱面坐标系下hhz42dhdh2022)4(12h202d120dzyx422)0(hhz所围成.与平面其中由抛物面zvdddd原式=©3.利用球坐标计算三重积分,R),,(3zyxM设),,,(z其柱坐标为就称为点M的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系,ZOMMoxyzzr),,(r则0200rcossinrxsinsinrycosrz坐标面分别为常数r球面常数半平面常数锥面,rOM令),,(rMsinrcosrz©如图所示,在球面坐标系中体积元素为ddddsind2rrv因此有zyxzyxfddd),,(),,(rF其中)cos,sinsin,cossin(),,(rrrfrF适用范围:1)积分域表面用球面坐标表示时方程简单;2)被积函数用球面坐标表示时变量互相分离.dddsin2rrxyzodrrdd©例6.如图，求立体的体积，)2,0,0(a为在轴的交点.z上曲面球心在),0,0(a,半径为R,下锥面半顶角为.xa2zyo解：边界曲面方程为2222)(aazyx在球坐标系下方程为cos2ar可表示为cos20,0,20:arcos202020sinadrrdddxdydzV所以则0cos203)(sin32dra).cos1(3443a©例7.计算三重积分解:在球面坐标系下:zyxzyxddd)(222所围立体.40Rr020其中与球面dddsind2rrvRrr04d)22(515R40dsin20dxyzo4Rr©内容小结zyxdddzddddddsin2rr积分区域多由坐标面被积函数形式简洁,或坐标系体积元素适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系*说明:三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:),,(),,(wvuzyxJ对应雅可比行列式为*ddd),,(ddd),,(wvuJwvuFzyxzyxf变量可分离.围成;©2,zxz1.将.)(),,(Czyxf用三次积分表示,,2,0xx,42,1yxyvzyxfId),,(其中由所提示:xy2121I2d),,(xzzyxfxy2121d20dx思考与练习六个平面围成,:©2.设计算提示:利用对称性原式=122ddyxyx0奇函数©zoxy23.设由锥面和球面所围成,计算提示:4利用对称性vzyxd)(222vzxzyyxzyxId)222(222用球坐标rrd420dsin4020d221564©4.计算其中.4,1),(2122围成由zzyxz解:利用对称性zyxyxddd)(2122yxyxzzDdd)(d212241zrrz2032041ddd21214zxoy1zD