等差数列第二课时-等差数列的性质及简单应用

第二课时等差数列的性质及简单应用自主预习课堂探究自主预习1.能根据等差数列的定义与通项公式,推导出等差数列的重要性质.2.能够运用等差数列的通项公式和性质解决等差数列中的计算问题.3.能够运用学过的等差数列知识解决一些实际应用问题.课标要求知识梳理等差数列的常见性质(1)对称性:a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=am+(nm);(2)an=a1+(n-1)d=a2+(n-2)d=…=am+;(3)若m,n,p,q均为正整数,则m+n=p+q=2k⇒;(4)若m,p,n均为正整数且m,p,n成等差数列,则am,ap,an也成等差数列;an-m+1(n-m)dam+an=ap+aq=2ak(5)若{an}、{bn}分别是公差为d,d′的等差数列,则有数列结论{c+an}公差为的等差数列(c为任一常数){c·an}公差为的等差数列(c为任一常数){an+an+k}公差为的等差数列(k为常数,k∈N*){pan+qbn}公差为的等差数列(p,q为常数)(6)单调性:{an}的公差为d,则d0⇔{an}为递增数列;d0⇔{an}为递减数列;d=0⇔{an}为常数列.dcd2dpd+qd'自我检测C1.(由等差数列判定其他的数列)若{an}是等差数列,下列数列中仍为等差数列的有()①{|an|}②{an+1-an}③{pan+q}(p,q为常数)④{2an+n}(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个2.(等差数列性质的应用)设数列{an},{bn}都是等差数列,若a1+b1=7,a3+b3=21,则a5+b5等于()(A)30(B)35(C)40(D)45BA3.(等差数列性质的应用)已知等差数列{an}中,a3=1,a7=-9,则a5等于()(A)-4(B)4(C)-8(D)8解析:由a3+a7=2a5=1-9=-8得a5=-4.故选A.4.(等差数列性质的应用)已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则a20等于()(A)-1(B)1(C)3(D)7解析:因为a1+a3+a5=3a3=105,a2+a4+a6=3a4=99,所以a3=35,a4=33,d=-2.所以a20=a4+16d=33-32=1.B5.(等差数列单调性的应用)已知三个数成等差数列并且数列是递增的,它们的和为18,平方和为116,则这三个数为.答案:4,6,8课堂探究等差数列性质的应用题型一解析:(1)因为7+21=14+14,所以a7+a21=2a14,所以a21=2a14-a7=2n-m.NoImage(3)因为a2+a3+a4+a5=34且a3+a4=a2+a5,所以2(a2+a5)=34,所以a2+a5=17,又a2·a5=52,所以25413aa或2513,4.aa又因为a4a2,所以a4-a2=2d0,所以d0,所以a5a2,所以a5=13.答案:(1)2n-m(2)-53(3)13题后反思求解等差数列有关计算问题的常用方法:一是基本量方法,即建立关于a1和d的方程组求出a1和d再解决问题;二是运用等差数列的性质,若m+n=p+q=2k,且m,n,p,q,k∈N*,则am+an=ap+aq=2ak.即时训练11:(1)如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7等于()(A)14(B)21(C)28(D)35(2)已知{an}、{bn}是两个等差数列,其中a1=3,b1=-3,且a20-b20=6,那么a10-b10的值为()(A)-6(B)6(C)0(D)10解析:(1)因为a3+a4+a5=12,所以3a4=12,则a4=4,又a1+a7=a2+a6=a3+a5=2a4,故a1+a2+…+a7=7a4=28.故选C.(2)由于{an}、{bn}都是等差数列,所以{an-bn}也是等差数列,而a1-b1=6,a20-b20=6,所以{an-bn}是常数列,故a10-b10=6.故选B.【思维激活】(2013高考上海卷)在等差数列{an}中,若a1+a2+a3+a4=30,则a2+a3=.解析:由等差数列的性质得a1+a4=a2+a3,又a1+a2+a3+a4=30,所以2(a2+a3)=30,即a2+a3=15.答案:15巧用“对称”解等差数列问题题型二【例2】已知四个数成递减等差数列,它们的和为26,中间两项的积为40,求这四个数.即时训练21:已知五个数成等差数列,它们的和为5,平方和为859,求这5个数.题后反思利用等差数列的定义巧设未知量,从而简化计算.一般有如下规律:当等差数列{an}的项数n为奇数时,可设中间一项为a,再以公差为d向两边分别设项:…a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,…;当项数为偶数时,可设中间两项为a-d,a+d,再以公差为2d向两边分别设项:…a-3d,a-d,a+d,a+3d,…,这样可减少计算量.解:设第三个数为a,公差为d,则这5个数分别为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d.由已知有22222225,8522,9adadaadadadadaadad所以2255,85510.9aad所以a=1,d=±23.d=23时,这5个数分别是-13,13,1,53,73;d=-23时,这5个数分别是73,53,1,13,-13.综上,5个数分别为-13,13,1,53,73或73,53,1,13,-13解:由题干图可知,从第1年到第6年平均每个鸡场出产的鸡数成等差数列,记为{an},公差为d1,且a1=1,a6=2;从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列,记为{bn},公差为d2,且b1=30,b6=10;从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列{cn}.则cn=anbn.(1)由a1=1,a6=2,得1111,52,aad所以111,0.2ad⇒a2=1.2;由b1=30,b6=10,得11230,510,bbd所以1230,4bd⇒b2=26.即c2=a2b2=1.2×26=31.2.等差数列的实际应用题型三【例3】有一批影碟机原销售价为每台800元,在甲、乙两家商场均有销售.甲商场用如下方法促销:买一台单价为780元,买两台单价为760元,依此类推,每多买一台单价均减少20元,但每台最少不低于440元;乙商场一律都按原价的75%销售.某单位需购买一批此类影碟机,问去哪一家商场购买花费较少?解:设该单位需购买影碟机n台,在甲商场购买单价不低于440元时,单价依台数成等差数列{an},则an=780+(n-1)(-20)=800-20n,解不等式an≥440,800-20n≥440,得n≤18.当购买台数小于18时,单价为(800-20n)元,当台数大于或等于18时,单价为440元.到乙商场购买,单价为800×75%=600(元).又(800-20n)n-600n=20n(10-n),所以,当n10时,600n(800-20n)n;当n=10时,600n=(800-20n)n;当10n18时,(800-20n)n600n;当n≥18时,440n600n.所以当购买台数少于10台时,到乙商场购买花费较少;当购买10台时,到两商场购买花费相同;当购买多于10台时,到甲商场购买花费较少.题后反思(1)在实际问题中,若涉及一组与顺序有关的数的问题,可考虑利用数列方法解决,若这组数依次成直线上升或下降,则可考虑利用等差数列方法解决.(2)在利用数列方法解决实际问题时,一定要分清首项、项数等关键量.即时训练3-1:某产品按质量分10个档次,生产最低档次的产品的利润是8元/件,每提高一个档次,利润每件增加2元,同时每提高一个档次,产量减少3件,在相同的时间内,最低档次的产品可生产60件.试问:在相同的时间内,应选择生产第几档次的产品可获得最大利润?(设最低档次为第一档次).解:设在相同的时间内,从低到高每档产品的产量分别为a1,a2,…,a10,利润分别为b1,b2,…,b10,则{an},{bn}均为等差数列,且a1=60,d1=-3,b1=8,d2=2,所以an=60-3(n-1)=-3n+63,bn=8+2(n-1)=2n+6,所以利润f(n)=anbn=(-3n+63)(2n+6)=-6n2+108n+378=-6(n-9)2+864.显然,当n=9时,f(n)max=f(9)=864.答:在相同的时间内生产第9档次的产品可以获得最大利润.【备用例题】甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查,提供两个不同的信息图如图所示.甲调查表明:从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡.乙调查表明:由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个.请根据提供的信息说明,求:(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数;(2)到第6年这个县的养鸡业比第1年是扩大了还是缩小了?请说明理由;(3)哪一年的规模最大?请说明理由.(2)c6=a6b6=2×10=20c1=a1b1=30,所以到第6年这个县的养鸡业比第1年缩小了.解:法一设此等差数列的首项为a1,公差为d,根据题意得1111112326,240,aadadadadad化简,得122114626,3240,adaadd解得12,3ad(舍去)或111,3.ad所以这四个数分别为11,8,5,2.点击进入课时作业谢谢观赏Thanks!