第十章-动态系统的最优控制方法

Page:1现代控制理论ModernControlTheory第十章动态系统的最优控制方法10-1最优控制的一般概念10-2最优控制中的变分法10-3极小值原理及其应用10-4线性二次型问题的最优控制10-5动态规划Page:2现代控制理论ModernControlTheory最优控制理论是现代控制理论的核心，20世纪50年代发展起来的，已形成系统的理论。所谓最优控制系统，是在一定的具体条件下，在完成所要求的控制任务时，使系统的某种性能指标达到最优。本章重点讨论了最优控制系统常用的方法：变分法、极小值原理和线性二次型优化三种方法及在典型系统设计中的应用。概述最优控制：在系统的状态方程和约束给定的情况下，寻找最优控制律，使系统的性能指标达到最优。一、概述Page:3现代控制理论ModernControlTheory问题的提出2.初态和终态：,,nttttR，为状态向量，xfxux0,pftRttt为控制向量，且在上分段连续；uunRt为连续向量函数，连续可微fx(最优控制的四个要素)1.状态方程：3.容许控制：t指控制矢量应满足的约束条件ut—控制域u0fttS，xx目标集二、问题的提出L为状态控制过程中对工作品质的要求0,,dftftJtLtutttxx一般表示:对终端状态的要求4.性能指标：Page:4现代控制理论ModernControlTheory性能指标的类型三.性能指标的类型积分型性能指标:0,,dfttJLttttxu末值型性能指标:[(),]ffJttxft自由固定复合型性能指标：0,,,dftfftJttLttttxxu四.主要数学方法1解析法规划采用极小值原理，动态控制有约束采用变分法控制无约束2数值法3梯度型法Page:5现代控制理论ModernControlTheory泛函与变分的基本概念,,,tttJJtJt如果对于自变量存在一类函数对于每个函数有一值与之对应，则变量称为依赖于函数的泛函数，简称泛函，记作xxxx一.泛函与变分的基本概念1.泛函与变分的基本概念(1)泛函(2)函数的变分00:,Jtttttt泛函的变量变分它表示与之间的差xxxxxxxxPage:6现代控制理论ModernControlTheory(3)泛函的连续性：处是连续的。在点则称有时，，当存在对于任意给定的000,0,0xxJxJxJxx(4)线性泛函：xaJaxJ:满足实数—aJJJxyxyJ则称为线性泛函x线性泛函Page:7现代控制理论ModernControlTheorytxJxtxJxtxJxJ,的增量：泛函xtxrxtxL,,的线性函数—其中JxtxL,的高阶无穷小—Jxtxr,JtxJxtxL的一阶变分，记为为泛函则称,(5)泛函的变分最优控制中的变分法线性主部泛函变分是泛函增量的Page:8现代控制理论ModernControlTheory泛函变分的求法定理：)10(|0，的变分xxJJxJ性质：2121.1FFFF122121.2FFFFFF003.,,ddffttttFttFtxxd4.dddttxx最优控制中的变分法0[]dftLLJxxttxx0(,,)dfttJLttJ求xx5.Page:9现代控制理论ModernControlTheory[例]02()dfttJttx?J120[]()dJttxx10[]dFJtxx10[2]dxxx解:最优控制中的变分法Page:10现代控制理论ModernControlTheory泛函的极值*Jtt在上达到极小值的必要条件：xx()0Jtx最优控制中的变分法二、泛函的极值Page:11现代控制理论ModernControlTheory无约束条件的泛函极值问题给定的泛函极值问题一、ftt,0----横截条件000fTTtftLLttxxxx定理：设0*(,,)min()?fttJLtJt求的xxx*()t满足以下条件：xd()0dLLtxx----欧拉方程Page:12现代控制理论ModernControlTheory固定始端和终端无约束条件的泛函极值问题00fftttt当和给定时，和是否定还是自由，可分四种情况：xx(1)固定始端和终端000,0fftttt即和给定xxxx则横截条件为：00,fftttxxxxtx(t)tft0(2)固定始端和自由终端00,0fttLtxxx则横截条件为：tx(t)tft0Page:13现代控制理论ModernControlTheory自由始端和固定终端无约束条件的泛函极值问题(4)自由始端和自由终端0,00fttxLxL(3)自由始端和固定终端00,ftftLtxxx横截条件为：横截条件为：tx(t)tft0tx(t)tft0Page:14现代控制理论ModernControlTheory[例]已知解：22,00xxminJxt22,xxxxFxxF2d2dtFxx0xxtctctxsincos21*12:0,2cc由边界条件2220dJtttxxx求ttxsin2)(*无约束条件的泛函极值问题例Page:15现代控制理论ModernControlTheory有约束条件下的泛函数极值问题0.ftt一起始时刻和终端时刻固定的泛函极值问题定理：设0min,,dfttJgttxxx..ts0,,txxfminJt满足在约束条件下，使取极值的必要条件，满足：xxd0dLtLxx欧拉方程定理000fTTtftLttLxxxx横截条件,,,,,,,0TLtgttft其中xxxxxx待定拉格朗日等式向量—nRPage:16现代控制理论ModernControlTheory[例]已知:2201d2Jutttxtx21tutx21)0(1x0)2(2x1)0(2x0)2(1x).(min*tuJ的求使有约束条件下的泛函数极值问题例Page:17现代控制理论ModernControlTheoryttt21uxxxuGFLT22121221uxxxu22211221111d0dLLxtx设解:有约束条件下的泛函数极值问题则：1222d0dLLxtx解Page:18现代控制理论ModernControlTheory2d0dLLuutu11a12212ata21atau21aa、为常数有约束条件下的泛函数极值问题解得：这里2dxut由3221221atatatx得：续Page:19现代控制理论ModernControlTheory12dxxt43223112161atatatatx31a272a13a14a由边界条件：有约束条件下的泛函数极值问题由得：1472123*1ttttx127232*2tttx273*3ttx即：续Page:20现代控制理论ModernControlTheory变分法求解最优控制问题设状态方程,,ttxfxu00txx0,,,dftfftJttLttxxu其中,npRRxu，求maxmin*Ju构造Harmilton函数：,,,,,,,THtLttftxuxuxu式中：nR——拉格朗日乘子分量Page:21现代控制理论ModernControlTheory变分法求解最优控制问题下面分两种情况进行讨论:对于最优控制问题0min,,d..ftftJtLttstxxu00,,,tttxfxuxxft一、末端时刻固定,ftx任意(终端自由)求最优解的必要条件.下面分两种情况进行讨论:求最优解的必要条件Page:22现代控制理论ModernControlTheory末端固定终端自由定理:对于最优控制问题0min,,d..ftftJtLttstxxu00,,,tttxfxuxxft一、末端时刻固定,ftx任意(终端自由)最优解的必要条件:正则方程满足1.ttx变分法求解最优控制问题tHxnR()tHxPage:23现代控制理论ModernControlTheory变分法求解最优控制问题,,,,,,,TttttHxuLxufxu其中：Harmilton函数2.边界条件00txx横截条件[]ffftttxx3.极值条件0Hu续Page:24现代控制理论ModernControlTheory变分法求解最优控制问题证明:构造增广泛函0,,,,dftTaftJtLtttxxufxux0,,dftTfttHttxxux0fftTTatttHJxxxxd0TTTTHHtuxxu证明Page:25现代控制理论ModernControlTheory000ddffftttTTTTttttxxxx000ddffftttTTTtttxttxx0dfftTTtttxx0ffTTtatttHJxxxx变分法求解最优控制问题d0TTHHtuxuHxxH0uHffftxtxt续Page:26现代控制理论ModernControlTheory[例]设系统试求使tux变分法求解最优控制问题00,,fctt022*11d22ftftJctutut为极小时x其中00xtx给定，求maxmin*Ju解：uufLH2210uuHuxuu例题Page:27现代控制理论ModernControlTheory变分法求解最优控制问题0xHcfffftcxtxtxt*00xtxfftcxtt*ftcxu*auttxattcxxauttxf0*000续Page:28现代控制理论ModernControlTheory变分法求解最优控制问题0*0ttcxxafttcxttcxxtxff*0*0*fttff