正项级数敛散性的判定研究

淮北师范大学2010届学士学位论文正项级数敛散性的判定研究学院、专业数学科学学院数学与应用数学研究方向数学分析学生姓名杨昂学号200511411212指导教师姓名张波指导教师职称讲师2010年4月25日正项级数敛散性的判定研究杨昂(淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000)摘要本文讨论了四种常用的判定正项级数敛散性的方法。在充分了解正项级数定义以及基本性质的理论基础上，对当前已经运用于正项级数敛散性判定的多种多样的方法进行筛选，选定四种方法进行详细的介绍与探究。其中包括比较判别法，比式判别法，根式判别法和积分判别法，在介绍了各种方法的基本理论与操作步骤后，在文章的末尾还介绍了两个级数收敛性及其它领域（速度）有关例子，使我们对正项级数敛散性的判定更加熟练。关键词:正项级数，比式判别法，根式判别法，积分判别法StudyonConvergenceandDivergenceofPositiveTermSeriesYangang(SchoolofMathematicalScience,HuaibeiNormalUniversity，Huaibei，235000)AbstractThispaperhavingdiscussedthatfourcommonmethodsaboutconvergenceanddispersionofpositiveseries.Seriesofpositivetermsinthefullunderstandingofthepropertiesofthedefinitionandbasictheory,basedonthecurrentseriesofpositivetermshavebeenappliedtodeterminetheconvergenceanddivergenceofawiderangeofmethodsofselection,fourmethodsselectedfordetailedpresentationandexploration.Includingratiojudgingmethod,root-valuejudgingmethodandintegraltest,introducedvariousmethodsinthebasictheoryandoperationofsteps,intheendofthearticlealsodescribestheconvergenceofthetwoseries,andotherareas(speed)case,allowsustopositiveseriesforconvergenceofthejudgeismoreskilled.Keywords:positivetermseries,ratiojudgingmethod,root-valuejudgingmethod,integraltest目录引言………………………………………………………………………………………1一.正项级数的定义………………………………………………………………2二.正项级数收敛性的一般判别原则………………………………………2三.比较判别法………………………………………………………………………3四.比式判别法………………………………………………………………………6五.根式判别法………………………………………………………………………8六.积分判别法………………………………………………………………………10结论………………………………………………………………………………………11参考文献………………………………………………………………………………15致谢………………………………………………………………………………………161引言级数理论的意义：1.是研究函数的重要工具，级数是产生新函数的重要方法，同时又是对已知函数表示、逼近的有效方法，在近似计算中发挥着重要作用。我们在建立定积分概念的同时，引入变上限积分定义出了一类新函数，使我们认识到除了初等函数之外的函数类；有了级数理论后，使我们的眼界进一步开阔了，认识到了更广泛的非初等函数类型。级数理论的功能并不仅仅在于引进非初等函数，更重要的是给出了研究这些函数的有效方法，而且即使是初等函数，给出了它们的级数形式，有时会更便于研究它们的性质。我们知道，泰劳公式是用有限项的多项式近似表示函数，它对于研究函数的局部逼近和整体逼近有着重要意义，在此基础上和一定的条件下，我们可以用无穷多项的多项式来准确地表示一个函数，这就是幂级数。利用函数的幂级数展开式，对研究函数的性质和计算都有着非常重要的作用。当然，能表示成幂级数的函数必须具备任意阶可微的条件，这对于有些性质较差的函数（如分段函数），我们就不能展开成幂级数，此时付立叶级数却能满足这样的函数的展开。级数理论的基础仍然是极限，级数是一个无限求和的过程，它与有限求和有着根本的不同，即参与了极限运算，把极限及其运算性质移植到级数中去，就形成了级数的一些独特性质。级数理论的第一个重要概念是收敛性。此外，级数的运算、函数项级数的一致收敛性、一致收敛级数的分析性质、函数的幂级数展开、函数的付立叶级数展开都是级数理论的基本内容。2.数列与数项级数的关系数列逐项累加起来的式子称为级数。或者说，数列逐项累加的极限形式称为级数。若定义级数的前n项部分和为Sn，则逐项累加的极限S如果存在，则称级数收敛，否则称为发散。数项级数的敛散性是用部分和数列的敛散性来定义的。所以数列极限的理论移植过来，就可以建立数项级数的一般理论。由于级数是在有限项相加的基础上施行的极限运算，从而确切地定义了无限项相加，形成了这种特殊的形式，所以它有着比数列极限更独特的性质和意义。3.函数项级数一致收敛的作用如果我们把有限个函数相加称为有限和，那么函数项级数就可称为无限和，在有限和的情形下，连续函数的和函数仍然连续，但在无限和的情形下，连续函数的和函数却不一定连续。类似的，在有限和的情形下，逐项积分与逐项微分是成立的，但在无限和的情形下，却不一定成立。为保证以上运算，在无限和的情形下成立，仅有收敛是不够的，因此引进了函数项级数的一致收敛性的理论。函数项级数在一致收敛的条件下，可实现函数项级数和函数的连续、逐项积分与逐项微分。4.傅立叶级数研究的基本问题最早的三角级数展开是由于解偏微分方程的需要，在18世纪由法国的工程师兼学者Fourier在其名著热的解析理论中予以详细讨论的。实际上，三角级数展开不仅在实用中有重大意义，而且对于现代数学的发展，都深具影响2一般情况下，利用定义和准则来判断级数的收敛性是很困难的，能否找到更简单有效的判别方法呢？我们先从最简单的一类级数找到突破口，那就是正项级数。一.正项级数的定义若级数中各项都是非负的(即01,2,nun≥，…)，则称该级数为正项级数。[1]由正数和零构成的级数称为正项级数。二.正项级数收敛性的一般判别原则若级数各项的符号都相同，则称为同号级数。而对于同号级数，只须研究各项都由正数组成的级数——正项级数。因负项级数同正项级数仅相差一个负号，而这并不影响其收敛性。定理1正项级数1nnu收敛部分和数列nS有界。证明：由于对n，0nu，故nS是递增的，因此，有1nnu收敛nS收敛nS有界。定理2（比较原则）设1nnu和1nnv均为正项级数，如果存在某个正数N，使得对Nn都有nnvu，则（1）若级数1nnv收敛，则级数1nnu也收敛；（2）若级数1nnu发散，则级数1nnv也发散。证明：由定义及定理1即可得。[2]3比较判别法；比较判别法的极限形式；推论（常用结论）比较判别法是判断正项级数收敛性的一个重要方法。对一给定的正项级数，如果要用比较判别法来判别其收敛性，则首先要通过观察，找到另一个已知级数与其进行比较，并应用定理2进行判断。只有知道一些重要级数的收敛性，并加以灵活应用，才能熟练掌握比较判别法。至今为止，我们熟悉的重要的已知级数包括等比级数、调和级数以及p级数等。要应用比较判别法来判别给定级数的收敛性，就必须给定级数的一般项与某一已知级数的一般项之间的不等式。但有时直接建立这样的不等式相当困难，为应用方便，我们给出比较判别法的极限形式。使用比较判别法或其极限形式，需要找到一个已知级数作比较，这多少有些困难。下面介绍的几个判别法，可以利用级数自身的特点，来判断级数的收敛性。比值判别法（达朗贝尔判别法）：适合1nu与nu有公因式且nnnuu1lim存在或等于无穷大的情形。根值判别法（柯西判别法）：适合nu中含有表达式的n次幂，且nnnulim或等于的情形。积分判别法：对于正项级数,1nna，如果}{na可看作由一个在),1[上单调减少函数)(xf所产生，即有).(nfan。则可用积分判别法来判定正项级数1nna的敛散性。三.比较判别法对于两个正项级数，............3211nnnuuuuu，............3211nnnvvvvv，若nnucv≤(n=1,2,3…)，c是大于零的常数，那么，41nnv∞收敛1nnu∞收敛，1nnu∞发散1nnv∞发散。证明设nS=1u+2u+3u+……+nu，nW=1u+2u+3u+……+nu因为nncvu，nncWS若1nnv∞收敛}{nW有界}{nS有界1nnu∞收敛；若1nnu∞发散}{nS无界}{nW无界1nnv∞发散例1、断调和级数1111123nn∞1……n的敛散性。解因为1111123nn∞1……n可以按如下加括号，得，级数....)16115114113112111110191()81716151()4131()211(而上述加括号后的级数的各项大于级数....212121.......)161161161161161161161161()81818181()4141(21的对应项，又后一级数112n∞是发散的，所以原调和级数11nn∞是发散的。例2、判断级数231111123nnn∞n1……n的敛散性。解因为n1n≤n-112而等比级数1112nn∞是收敛的，且1112nn∞=2，所以是收敛的。例3、察1211nnn的收敛性。解：由于当2n时，有222)1(1)1(1111nnnnnnn，5因正项级数22)1(1nn收敛，故1211nnn收敛。推论（比较判别法的极限形式）设1nnu和1nnv是两个正项级数，若lvunnnlim，则（i）当l0时，级数1nnu、1nnv同时收敛或同时发散；（ii）当0l且级数1nnv收敛时，级数1nnu也收敛；（iii）当l且1nnv发散时，级数1nnu也发散。证明：由lvunnnlim，对任给正数,存在某正数N,当Nn时，恒有lvunn或nnnvluvl)()(.(1)由定理2及(1)式推得，当l0(这里设l)时，数1nnu和1nnv同时收敛或同时发散。就证得(i)。对于(ii),当0l时，(1)式右半部分及比较原则可得：若级数1nnv收敛，则级数1nnu也收敛。对于(iii),若l，即对任给的正数M，在相应的正数N，当nN时，有Mvunn或nnMvu.于是由比较原则知道，若级数1nnv发散，则级数1nnu也发散。[3]6例4、级数n1的发散性，可知级数n1sin是发散的。增加例题：级数n1sin=n1sin21sin1sin是发散的。为111sinlimnnn根据推论以及调和级数n1发散，所以级数n1sin