2016高考数学常见题型(第二辑)：函数与导数问题

函数与导数问题高考中有以下几类解答题用到此种审题方法：1．研究函数与导数中两函数图像交点、函数的零点、方程的根等问题．2．一些不等式恒成立问题常转换为求函数的最值．3．圆锥曲线中的定点问题，常转换为先求直线方程．典例(本题满分12分)已知函数f(x)＝ex，x∈R.(1)求f(x)的反函数的图像上点(1,0)处的切线方程；(2)证明：曲线y＝f(x)与曲线y＝12x2＋x＋1有唯一公共点．教你快速规范审题教你准确规范解答(1)f(x)的反函数为g(x)＝lnx(x0)，设所求切线的斜率为k，∵g′(x)＝1x，∴k＝g′(1)＝1，于是在点(1,0)处切线方程为y＝x－(2)证明：曲线y＝ex与y＝12x2＋x＋1公共点的个数等于函数φ(x)＝ex－12x2－x－1零点的个数．∵φ(0)＝1－1＝0，∴φ(x)存在零点x＝又φ′(x)＝ex－x－1，令h(x)＝φ′(x)＝ex－x－1，则h′(x)＝ex－1，当x0时，h′(x)0，∴φ′(x)在(－∞，0)上单调递减；当x0时，h′(x)0，∴φ′(x)在(0，＋∞)上单调递增．分∴φ′(x)在x＝0有唯一的极小值φ′(0)＝0，即φ′(x)在R上的最小值为φ′(0)＝0.∴φ′(x)≥0(仅当x＝0时等号成立)，∴φ(x)在R上是单调递增的，∴φ(x)在R上有唯一的零点，故曲线y＝f(x)与y＝12x2＋x＋1有唯一的公共点．常见失分探因不说明两曲线公共点的个数等于函数零点个数，步骤不规范．想不到第二次求导即构造新函数h(x)导致解题中断．不说明φ′(x)有最小值0导致扣分．教你一个万能模板1．已知函数f(x)＝|ax－2|＋blnx(x0)．(1)若a＝1，f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，求b的取值范围；(2)若a≥2，b＝1，求方程f(x)＝1x在(0,1]上解的个数．解析：(1)f(x)＝|x－2|＋blnx＝－x＋2＋blnx0x2，x－2＋blnxx≥2.①当0x2时，f(x)＝－x＋2＋blnx，f′(x)＝－1＋bx.由条件，得－1＋bx≥0恒成立，即b≥x恒成立．∴b≥2.②当x≥2时，f(x)＝x－2＋blnx，f′(x)＝1＋bx，由条件，得1＋bx≥0恒成立，即b≥－x恒成立．∴b≥－2.综合①②得b的取值范围是[2，＋∞)．(2)令g(x)＝|ax－2|＋lnx－1x，即g(x)＝－ax＋2＋lnx－1x0x2a，ax－2＋lnx－1xx≥2a.当0x2a时，g(x)＝－ax＋2＋lnx－1x，g′(x)＝－a＋1x＋1x2.∵0x2a，∴1xa2.则g′(x)－a＋a2＋a24＝aa－24≥0.即g′(x)0，∴g(x)在0，2a上是递增函数．当x≥2a时，g(x)＝ax－2＋lnx－1x，g′(x)＝a＋1x＋1x20.∴g(x)在2a，＋∞上是递增函数．又因为函数g(x)在x＝2a有意义，∴g(x)在(0，＋∞)上是递增函数．∵g2a＝ln2a－a2，而a≥2，∴ln2a≤0，则g2a0.∵a≥2，∴g(1)＝a－3.当a≥3时，g(1)＝a－3≥0，∴g(x)＝0在(0,1]上解的个数为1.当2≤a3时，g(1)＝a－30，∴g(x)＝0在(0,1]上无解，即解的个数为0.2．(2015年潍坊模拟)已知函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋lnx.(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)当a0时，若f(x)在区间[1，e]上的最小值为－2，求a的取值范围；(3)若对任意x1，x2∈(0，＋∞)，x1x2，且f(x1)＋2x1f(x2)＋2x2恒成立，求a的取值范围．解析：(1)当a＝1时，f(x)＝x2－3x＋lnx，f′(x)＝2x－3＋1x.因为f′(1)＝0，f(1)＝－2.所以切线方程是y＝－2.(2)函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋lnx的定义域是(0，＋∞)．当a0时，f′(x)＝2ax－(a＋2)＋1x＝2ax2－a＋2x＋1x(x0)，令f′(x)＝0，即f′(x)＝2ax2－a＋2x＋1x＝2x－1ax－1x＝0，所以x＝12或x＝1a.当01a≤1，即a≥1时，f(x)在[1，e]上单调递增，所以f(x)在[1，e]上的最小值是f(1)＝－2；当11ae时，f(x)在[1，e]上的最大值是f1af(1)＝－2，不合题意；当1a≥e时，f(x)在(1，e)上单调递减，所以f(x)在[1，e]上的最小值是f(e)f(1)＝－2，不合题意．综上a的取值范围是[1，＋∞)．(3)设g(x)＝f(x)＋2x，则g(x)＝ax2－ax＋lnx，只要g(x)在(0，＋∞)上单调递增即可．而g′(x)＝2ax－a＋1x＝2ax2－ax＋1x，当a＝0时，g′(x)＝1x0，此时g(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a≠0时，只需g′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，因为x∈(0，＋∞)，只要2ax2－ax＋1≥0，则需要a0，对于函数y＝2ax2－ax＋1，过定点(0,1)，对称轴x＝140，只需Δ＝a2－8a≤0，即0a≤8.综上a的取值范围是[0,8]．3．已知函数f(x)＝ax＋xlnx的图象在点x＝e(e为自然对数的底数)处的切线斜率为3.(1)求实数a的值；(2)若k∈Z，且kfxx－1对任意x1恒成立，求k的最大值．解析：(1)因为f(x)＝ax＋xlnx，所以f′(x)＝a＋lnx＋1.因为函数f(x)＝ax＋xlnx的图象在点x＝e处的切线斜率为3，所以f′(e)＝3，即a＋lne＋1＝3，所以a＝1.(2)由(1)知，f(x)＝x＋xlnx，又kfxx－1对任意x1恒成立，即kx＋xlnxx－1对任意x1恒成立．令g(x)＝x＋xlnxx－1，则g′(x)＝x－lnx－2x－12，令h(x)＝x－lnx－2(x1)，则h′(x)＝1－1x＝x－1x0，所以函数h(x)在(1，＋∞)上单调递增．因为h(3)＝1－ln30，h(4)＝2－2ln20，所以方程h(x)＝0在(1，＋∞)上存在唯一实根x0，且满足x0∈(3,4)．当1xx0时，h(x)0，即g′(x)0，当xx0时，h(x)0，即g′(x)0，所以函数g(x)＝x＋xlnxx－1在(1，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，所以[g(x)]min＝g(x0)＝x01＋lnx0x0－1＝x01＋x0－2x0－1＝x0∈(3,4)，所以k[g(x)]min＝x0∈(3,4)，故整数k的最大值是3.