空间坐标系与空间坐标系在立体几何中的应用有答案

一．空间直角坐标系如图1，为了确定空间点的位置，我们建立空间直角坐标系：以正方体为载体，以O为原点，分别以射线OA，OC，OD′的方向为正方向，以线段OA，OC，OD′的长为单位长，建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，这时我们说建立了一个空间直角坐标系，其中点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、zOx平面、yOz平面，通常建立的坐标系为右手直角坐标系，即右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，中指指向z轴的正方向．二．空间直角坐标系中的坐标空间一点M的坐标可用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标[例1]在空间直角坐标系中，作出点M(6，－2,4)．[例2]长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝a，|BC|＝b，|CC1|＝c，将此长方体放到空间直角坐标系中的不同位置(如图3)，分别写出长方体各顶点的坐标．变式1：棱长为2的正方体，将此正方体放到空间直角坐标系中的不同位置，分别写出几何体各顶点的坐标。2.底面为边长为4的菱形，高为5的棱柱，将此几何体放到空间直角坐标系中的不同位置分别写出几何体各顶点的坐标。3.在棱长均为2a的正四棱锥P－ABCD中，建立恰当的空间直角坐标系，(1)写出正四棱锥P－ABCD各顶点坐标；(2)写出棱PB的中点M的坐标．解：连接AC，BD交于点O，连接PO，∵P－ABCD为正四棱锥，且棱长均为2a.∴四边形ABCD为正方形，且PO⊥平面ABCD.∴OA＝2a.PO＝PA2－OA2＝2a2－2a2＝2a.以O点为坐标原点，OA，OB，OP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．（1）正四棱锥P－ABCD中各顶点坐标分别为A(2a,0,0)，B(0，2a,0)，C(－2a,0,0)，D(0，－2a,0)，P(0,0，2a)．(2)∵M为棱PB的中点，∴由中点坐标公式，得M(0＋02，2a＋02，0＋2a2)，即M(0，22a，22a)．[例3]在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)．(1)求点P关于x轴的对称点的坐标；(2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标；(3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标．[解](1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1(－2，－1，－4)．(2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(－2,1，－4)．(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P3(6，－3，－12)．变式：1.写出点P(6，－2，－7)在xOy面，yOz面，xOz面上的投影的坐标以及点P关于各坐标平面对称的点的坐标．解：设点P在xOy平面、yOz平面、xOz平面上的投影分别为点A，B，C，点P关于xOy平面、yOz平面、xOz平面的对称点分别为点A′，B′，C′，由PA⊥平面xOy，PB⊥平面yOz，PC⊥平面xOz及坐标平面的特征知，点A(6，－2,0)，点B(0，－2，－7)，点C(6,0，－7)；根据点P关于各坐标平面对称点的特征知，点A′(6，－2,7)，B′(－6，－2，－7)，C′(6,2，－7)．2.在棱长都为2的正三棱柱ABC－A1B1C1中，建立恰当的直角坐标系，并写出正三棱柱ABC－A1B1C1各顶点的坐标．[正解]取BC，B1C1的中点分别为O，O1，连线OA，OO1，根据正三棱柱的几何性质，OA，OB，OO1两两互相垂直，且|OA|＝32×2＝3，以OA，OB，OO1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系，如图5所示，则正三棱柱ABC—A1B1C1各顶点的坐标分别为A(3，0,0)，B(0,1,0)，C(0，－1,0)，A1(3，0,2)，B1(0,1,2)，C1(0，－1,2)．三．空间向量在立体几何中的应用1.直线的方向向量与平面的法向量(1)直线l上的向量e以及与e共线的向量叫做直线l的方向向量．(2)如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作n⊥α.此时把向量n叫做平面α的法向量．2.线面关系的判定直线l1的方向向量为e1＝(a1，b1，c1)，直线l2的方向向量为e2＝(a2，b2，c2)，平面α的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，平面β的法向量为n2＝(x2，y2，z2)．(1)如果l1∥l2，那么e1∥e2e2＝λe1a2＝λa1，b2＝λb1，c2＝λc1．(2)如果l1⊥l2，那么e1⊥e2e1·e2＝0a1a2＋b1b2＋c1c2＝0．(3)若l1∥α，则e1⊥n1e1·n1＝0a1x1＋b1y1＋c1z1＝0．(4)若l1⊥α，则e1∥n1e1＝kn1a1＝kx1，b1＝ky1，c1＝kz1．(5)若α∥β，则n1∥n2n1＝kn2x1＝kx2，y1＝ky2，z1＝kz2．(6)若α⊥β，则n1⊥n2n1·n2＝0x1x2＋y1y2＋z1z2＝0．3.利用空间向量求空间角(1)两条异面直线所成的角①范围：两条异面直线所成的角θ的取值范围是0，π2.②向量求法：设直线a、b的方向向量为a、b，其夹角为φ，则有cosθ＝|cosφ|.(2)直线与平面所成的角①范围：直线和平面所成的角θ的取值范围是0，π2.②向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为θ，a与u的夹角为φ，则有sinθ＝|cosφ|(3)二面角①二面角的取值范围是[0，π]．②二面角的向量求法：(ⅰ)若AB、CD分别是二面角α-l-β的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB与CD的夹角(如图①)．(ⅱ)设n1、n2分别是二面角α-l-β的两个面α、β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图②③)．题型1空间向量的基本运算[例1]已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)．设a＝AB→，b＝AC→.(1)求a和b的夹角θ；(2)若向量ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值．解：∵A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，a＝AB→，b＝AC→，∴a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)．(1)∵cosθ＝a·b|a||b|＝－1＋0＋02×5＝－1010，∴a和b的夹角为arccos－1010.(2)∵ka＋b＝k(1，1，0)＋(－1，0，2)＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)，且(ka＋b)⊥(ka－2b)，∴(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝2k2＋k－10＝0，解得k＝－52或2.题型2空间中的平行与垂直例2如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：(1)AM∥平面BDE；(2)AM⊥平面BDF.证明：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设AC∩BD＝N，连结NE.则N22，22，0，E(0，0，1)，A(2，2，0)，M22，22，1.∴NE→＝－22，－22，1，AM→＝－22，－22，1.∴NE→＝AM→且NE与AM不共线．∴NE∥AM.∵NEÌ平面BDE，AMË平面BDE，∴AM∥平面BDE.(2)由(1)知AM→＝－22，－22，1，∵D(2，0，0)，F(2，2，1)，∴DF→＝(0，2，1)，∴AM→·DF→＝0，∴AM⊥DF.同理AM⊥BF.又DF∩BF＝F，∴AM⊥平面BDF.题型3空间的角的计算例3(2013·苏锡常镇二模)如图，圆锥的高PO＝4，底面半径OB＝2，D为PO的中点，E为母线PB的中点，F为底面圆周上一点，满足EF⊥DE.(1)求异面直线EF与BD所成角的余弦值；(2)求二面角F-OD-E的正弦值．解：(1)以O为原点，底面上过O点且垂直于OB的直线为x轴，OB所在的线为y轴，OP所在的线为z轴，建立空间直角坐标系，则B(0，2，0)，P(0，0，4)，D(0，0，2)，E(0，1，2)．设F(x0，y0，0)(x00，y00)，且x20＋y20＝4，则EF→＝(x0，y0－1，－2)，DE→＝(0，1，0)，∵EF⊥DE，即EF→⊥DE→，则EF→·DE→＝y0－1＝0，故y0＝1.∴F(3，1，0)，EF→＝(3，0，－2)，BD→＝(0，－2，2)．设异面直线EF与BD所成角为α，则cosα＝EF→·BD→|EF→||BD→|＝47×22＝147.(2)设平面ODF的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则n1⊥OD→，n1⊥OF→，即z1＝0，3x1＋y1＝0.令x1＝1，得y1＝－3，平面ODF的一个法向量为n1＝(1，－3，0)．设平面DEF的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，同理可得平面DEF的一个法向量为n2＝1，0，32.设二面角F-OD-E的平面角为β，则|cosβ|＝n1·n2|n1||n2|＝17＝77.∴sinβ＝427.（翻折问题）例4.(2013广东韶关第二次调研)如图甲，在平面四边形ABCD中，已知∠A＝45°，∠C＝90°，∠ADC＝105°，AB＝BD，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC(如图乙)，设点E、F分别为棱AC、AD的中点．(1)求证：DC⊥平面ABC；(2)求BF与平面ABC所成角的正弦值；(3)求二面角B－EF－A的余弦值．解：(1)∵平面ABD⊥平面BDC，又∵AB⊥BD，∴AB⊥平面BDC，故AB⊥DC，又∵∠C＝90°，∴DC⊥BC，BCÍABC平面ABC，DCË平面ABC，故DC⊥平面ABC.(2)如图，以B为坐标原点，BD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如下图示，设CD＝a，则BD＝AB＝2a，BC＝3a，AD＝22a，可得B(0，0，0)，D(2a，0，0)，A(0，0，2a)，C32a，32a，0，F(a，0，a)，∴CD→＝12a，－32a，0，BF→＝(a，0，a)．设BF与平面ABC所成的角为θ，由(1)知DC⊥平面ABC，∴cosπ2－θ＝CD→·BF→|CD→|·|BF→|＝12a2a·2a＝24，∴sinθ＝24.(3)由(2)知FE⊥平面ABC,又∵BEÌ平面ABC，AEÌ平面ABC，∴FE⊥BE，FE⊥AE，∴∠AEB为二面角B－EF－A的平面角.在△AEB中，AE＝BE＝12AC＝12AB2＋BC2＝72a，∴cos∠AEB＝AE2＋BE2－AB22AE·BE＝－17，即所求二面角B－EF－A的余弦为－17.课后巩固练习：1.(2013·江苏卷)如图所示，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值．解：(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(1，1，0)，A1(0，0，4)，C1(0，2，4)，所以A1B→＝(2，0，－4)，C1D→＝(1，－1，－4)．因为cos〈A1B→，C1D→〉＝A1B→·C1D→|A1B→||C1D→|＝1820×18＝31010，所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为31010.(2)设平面ADC1的法向量为n1＝(x，y，z)，因为AD→＝(1，1，0)，AC1→＝(0，2，4)，所以n1·AD→＝0，n1·AC1→＝0