点到直线距离习题课

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3.3直线的交点坐标与距离公式重要题型整理课3.3.3点到直线的距离3.3.4两条平行直线间的距离1.平面内两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离|P1P2|=______________________,其推导方法是利用勾股定理.●温故知新x1-x22+y1-y222.直线方程的一般形式:Ax+By+C=0(A、B不全为0).3.与直线Ax+By+C=0(A、B不全为0)垂直的直线可设为________________,与之平行的直线可设为_________________________.Bx-Ay+λ=0Ax+By+λ=04.点到直线的距离公式•点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离•d=________________.|Ax0+By0+C|A2+B2•[破疑点]点到几种特殊直线的距离:•(1)点P(x0,y0)到x轴的距离d=|y0|;•(2)点P(x0,y0)到y轴的距离d=|x0|;•(3)点P(x0,y0)到直线y=a的距离d=|y0-a|;•(4)点P(x0,y0)到直线x=b的距离d=|x0-b|.求点P(3,-2)到下列直线的距离.(1)y=34x+14;(2)y=6;(3)x=4.•[分析]解答本题可先把直线方程化为一般式(特殊直线可以不化),然后再利用点到直线的距离公式及特殊形式求出相应的距离.[解析](1)把方程y=34x+14写成3x-4y+1=0,由点到直线的距离公式得d=|3×3-4×-2+1|32+-42=185.(2)方法1:把方程y=6写成0·x+y-6=0,由点到直线的距离公式得d=|0×3+-2-6|02+12=8.•方法2:因为直线y=6平行于x轴,•所以d=|6-(-2)|=8.•(3)因为直线x=4平行于y轴,•所以d=|4-3|=1.1.怎样判断两条直线是否平行?2.设l1//l2,如何求l1和l2间的距离?1)能否将平行直线间的距离转化为点到直线的距离?2)如何取点,可使计算简单?例1求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离.两平行线间的距离处处相等在l2上任取一点,如P(3,0)P到l1的距离等于l1与l2的距离5353145314)7(28073222d直线到直线的距离转化为点到直线的距离解:例2.求证:两条平行直线Ax+By+C1=0和Ax+By+C2=0间的距离为2221||BAccd(1)两直线3x+4y-2=0与6x+8y-5=0的距离等于()A.3B.7C.110D.12(2)已知直线l与两直线l1:2x-y+3=0和l2:2x-y-1=0平行且距离相等,则l的方程为________.•[答案](1)C(2)2x-y+1=0•[分析](1)求两平行线间的距离的依据是什么?•(2)与已知直线Ax+By+C=0平行的直线应如何表示?[解析](1)在3x+4y-2=0上取一点(0,12),其到6x+8y-5=0的距离即为两平行线间的距离,d=|0+8×12-5|62+82=110.(2)设所求的直线方程为2x-y+c=0,分别在l1:2x-y+3=0和l2:2x-y-1=0上取点A(0,3)和B(0,-1),则此两点到2x-y+c=0距离相等,即|-3+c|22+-12=|1+c|22+-12,解得c=1,直线l的方程为2x-y+1=0.点到直线的距离公式的应用例3:过点P(-1,2)引一直线,使它与点A(2,3),B(4,5)的距离相等,求该直线的方程.思维突破:(1)利用代数方法求解,即点到直线的距离公式建立等式求斜率k.(2)利用几何性质解题,即A、B两点到直线的距离相等,有两种情况:①直线与AB平行;②直线过AB的中点.···············‘Oyx···ABP即x-2y+5=0或x-y+3=0.解法一:设直线的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0,由题意知|2k-3+k+2|k2+1=|4k-5+k+2|k2+1,即|3k-1|=|5k-3|,∴k=12或k=1,∴直线的方程y-2=12(x+1)或y-2=1×(x+1),已知一点求直线的方程,通常会设点斜式方程,但要注意斜率不存在的情况.本题解法二利用数形结合的思想使运算量减少.解法二:当直线与AB平行时,k=kAB=1,∴直线的方程y-2=1×(x+1),即x-y+3=0.当直线过AB的中点时,∵AB的中点为(3,4),∴直线斜率k=4-23--1=12,∴直线的方程为y-2=12(x+1).故所求直线的方程为x-2y+5=0或x-y+3=0.•若A(1,4),B(-3,1),过点B的直线l与点A的距离为d.•(1)d的取值范围为________;•(2)当d取最大值时,直线l的方程为________.•(3)当d=4时,直线l的方程为________.•[答案](1)[0,5](2)4x+3y+9=0(3)24x+7y+65=0●误区警示例4已知直线l过点A(1,2),且原点到直线l的距离为1,求直线l的方程.[错解]由题意设l的方程为y-2=k(x-1),即kx-y-k+2=0.因为原点到直线l的距离为1,所以|-k+2|k2+1=1,解得k=34.所以所求直线l的方程为y-2=34(x-1),即3x-4y+5=0.•[错因分析]符合题意的直线有两条,错解中忽略了斜率不存在的情况,从而只得到了一条直线.[正解]当直线l过点A(1,2)且斜率不存在时,直线l的方程为x=1,原点到直线l的距离为1,满足题意.当直线l过点A(1,2)且斜率存在时,由题意设直线l的方程为y-2=k(x-1),即kx-y-k+2=0.因为原点到直线l的距离为1,所以|-k+2|k2+1=1,解得k=34.所以所求直线l的方程为y-2=34(x-1),即3x-4y+5=0.综上所述,所求直线l的方程为x=1或2x-4y+5=0.****补充提高例题选讲****1.已知点,则与A、B两点距离均为4的直线有()条。)0,3()34,1(BA、解:|AB|=8平行于AB且距离为4的直线有两条;过AB中点且与A、B距离为4的直线有一条。故满足条件的直线共有三条。坐标求所在的直线方程为平分线,所在直线方程为边上中线的顶点、例CByxBEABCyxCDABAABC,04202474),8,2(5xyAB2.074247)42(47424872402474),42(0422222BBBByyyxAByyByxB程为边上的中线所在直线方又上,可设在直线解法二、)0,4(,0ByB从而得'042)8,2(AyxA的对称点关于直线作上在直线由已知得BCAA''),0,6()0,6(02474CxyxCxBC即轴交点,与点即为直线轴,故所在直线即为的方程求直线过点,且截得的线段长为:和:被两直线、已知一直线例lPlyxlyxll),3,2(41508430743621为所求的直线方程故于,交,此时方程为过点斜率不存在时,解:当直线2,415)27,2(),41,2(2)3,2(21xABBAlllxlPll32)(的方程为时,设的斜率为当直线xkylkl34378//222121)(之间距离与,且又llll34tan544153sin1,,则的夹角为与若ll247,34)43(1)43(kkk得从而058247yxl方程为直线0582472yxx或程为综上所述:所求直线方3.

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