声学基础第一章-弹性波理论基础1-5(2012年新版)

1－5弹性体振动问题之二：均匀弹性细棒的弯曲振动弯曲振动：棒中质点位移垂直与棒的长度方向。1o棒弯曲振动的波动方程：棒中取微元，建立y方向运动方程。为此，要求出y方向受力与y方向位移的关系。思路：棒弯曲时棒中微元dx在y方向位移形变产生的力矩与微元两端所受y方向力产生的力矩之和为零---因为微元dx没有旋转，所以力矩平衡。据此,可以得到微元dx在y方向受力与y方向位移的关系。),(tx),(txF棒弯曲时棒中微元dx：为轴的转动惯性矩以称作截面其中：正（左示意图）力矩方向：穿出纸面为；）（轴的力矩：以距中性面的距离））（受力：截面上轴的力矩：截面上产生的以棒弯曲时，由于形变在ooSdszIxEIdszxEzzdfMoozxzdsExdsEdsEzdfdsooSSSxxxx22)(:(见右示意图：?x22212222111)(})()({1)()(()()()tan(;)(tan)tan()()(tantanxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxdxxxxxdxxxxxdxxxdxxxdxxxxxxx小形变条件）小形变条件）（dxx)x(EIdxx)x(M)dxx(M)x(MMdx)x(y'o'ooodx)(dxx)x(EIxEI)x(Moox)x(ydx332200微元段的净力矩为：，方向位移形变由于轴趋于相同轴与时，又，由于见图有力矩；微元段左右两个截面均棒中为轴的力矩：以处截面上，在棒的方向位移形变时，得到由于综上，),(dx)x(Fdx)x(Fdx)x(Fx(Fdx)x(Fdx)dxx(FMoo)x(Fydx略去二阶小量））（’合力矩为：”为轴的力矩（如图）”产生以作用，方向力相邻棒体的微元段左右两个截面受又，由于2222的波动方程：位移函数下面推导细棒弯曲振动的关系。方向力与方向位移处这样，得到了棒中’”轴合为同轴，有：”轴及’’轴时，在；之和为’产生的力矩方向作用力与相邻棒体的微元形变产生的力矩以，微元段并没有旋转；所由于)x()x(Fy)x(yxx)x(EI)x(Fdx)x(Fdxx)x(EIMMoooooodxM)x(FyMdxdx33330000dxx)t,x(EIdt)t,x(dSdxydx;dszI:,I,Edxx)t,x(EIdxx)x(F)x(F)dxx(Ffydxsy4422244方向运动方程为：的据牛顿第二定律，微元直线为轴的转动惯性矩棒截面与中性面相交的棒的杨氏模量；其中：方向受力：的微元阶空间导数。动方程的差别！注意：它与以前所学波是横波。）方向传播。方向位移；向，是波的物理量是（弯曲振动）波动方程。！！此式为棒横振动（其中：阶小量有：小形变条件下，略去高4;),(),(),(),(),(),(24422244222222xySEIaxtxattxxtxEIttxSttxdttxd2o棒弯曲振动的波动特性：akdtdxckakkxtAkxtxkxtAttxkxtAtxSEIaxtxattxkxtp常数：棒弯曲波的位移相速度关系式：中，得代入方程得：；令，其中：记作方程方程棒的弯曲振动位移波动)(422444222244222(*))cos(),()cos(),()cos(),(;(*)),(),(:散介质。结论：棒是弯曲波的频3o棒弯曲振动的形式解：;0)()()()cos(sincos)(),(0)()(;),(),()()(),(2442122244222xYadxxYdtatBtBtTtxtTdttTdSEIaxtxattxtTxYtx无关，与是分离变数得到的常数得：其中：动方程：；代入棒的弯曲振动波令，求解：分离变数法’‘)})(sin())(cos())(())((){cos()()cos()()())(sin())(cos())(())(()()(4)(3)(2)(1xaDxaCxaBshxaAchtaxYtaxYtTxaDxaCxaBshxaAcheCeCeCeCxYxajxajxaxa)()(0)(432124ajaa，，；本征值：；本征方程：)(),();(),(:,,,,)cos()})(sin())(cos())(())(({)()(),(00xgdttxdxftxDCBAtxaDxaCxashBxachAtTxYtxtt初条件。由边条件和初条件确定其中，4o棒弯曲振动的边界条件类型：00002000012233端点端点端点端点力矩为力为端点自由位移曲线的斜率为位移为（夹死不动）端点嵌定xxxxdx)x(Yd;dx)x(Yd:;;)(dx)x(dY;)x(Y:;;)(0000322端点端点力矩为位移为（未夹死）端点简支xxdx)x(Yd;)x(Y:;;)(5o棒弯曲振动求解举例一端自由，另一端嵌定的细棒自由弯曲振动：SEIa;x)t,x(at)t,x(244222其中：：棒的弯曲振动波动方程00000223300LxLxxxdx)x(Yd;dx)x(Yd:Lxdx)x(dY;)x(Y:x端自由端嵌定边条件：0000}L)a(cosL)a(ch{B}L)a(sinL)a(sh{A}L)a(sinL)a(sh{B}L)a(cosL)a(ch{ADB;CA)tcos()}x)a(sin(D)x)a(cos(C)x)a((shB)x)a((chA{)t(T)x(Y)t,x(代入边条件得：方程形式解：解）这是超越方程，无解析（的充要条件：不同时为(L)a(cosL)a(ch)xshxch;xcosxsin}L)a(sinL)a(sh{}L)a(cosL)a(ch{}L)a(cosL)a(ch{}L)a(sinL)a(sh{}L)a(sinL)a(sh{}L)a(cosL)a(ch{B,A111002222222SEI)L.(f)L(SEI)L(a)L(a)n(,)n(;.;.;.;.nxcoschxnnnnn21122243218751212421995108557694487511基频：个根，则，可得：的第为方程若221121414213132121221122875121387345481726762).)n(()(ff;.)(ff.)(ff;.)(ff)(fff;)L(SEI)L(annnnnnnnn结论：细棒自由弯曲振动，泛音频率不是基频的谐音频率；基频与相邻泛音频率间隔较大。