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1高微一Ch1习题参考答案（10－67）１.１０证明：如图：图中实线部分是一条无差异曲线，它由一个粗实线的“线性部分”和曲实线的凸向原点部分组成，整条曲线所表示的偏好集满足公理1、2、3、４。（１）证明满足公理５’在曲线上任取两点X1与X2，它们是无差异集上两个不同点，皆与X0无差异，显然会有X1\X2，Xt是这两点的凸组合，且它位于X0的东北方向，所以Xt\X2。得证。（２）证明破坏了公理５在“线性部分”任选取两点X1和X3，其凸组给为Xp，与X1和X3位于同一条直线，所以Xp\X3,并不能得出XpX3的结论。故而破坏了公理５。1.11如果是连续的，那么，定理1.1证明中定义的A与B集是ℜ的闭子集。参考公理3。1.12设,1(xu2,x)与,1(xν)2x)是效用函数。（a）证明：如果,1(xu2,x)与,1(xν)2x)均为r次齐次的，那么，,1(xs2x）≡,1(xu2,x)+,1(xν)2x)也为r次齐次的。（b）证明：如果,1(xu2,x)与,1(xν)2x)是拟凹的，那么，xxm,1(2x）≡min{,1(xu2,x),,1(xν)2x)}也是拟凹的。证明：（a）∵,1(xu2,x)与,1(xν)2x)是r次齐次的。x1x2X2X1XtX0XpX3O2∴rk,1(xu2,x)=1(kxu，2kx），rk1(xv，2x）=1(kxv，2kx）1(kxs∴，2kx）≡1(kxu，2kx）+1(kxv，2kx）=rk,1(xu2,x)+rk1(xv，2x）=rk,1(xs2x）得证。（b）1.13（a）对于两异点()()1112221212,,,xxxxxx==，总有12121122,xxxx≠≠或，则必有1221xxxx或，但绝无1221xxxx和同时成立，故其无差异曲线退化为单个点。（b）不能，因为偏好本身就不连续。例如，()()1111,,,111,11122mmmmNmxxx⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎟⎟⎟⎜⎜⎜=+∈→⎟⎟⎟⎜⎜⎜⎟⎟⎟⎜⎜⎜⎝⎠⎝⎠⎝⎠1故，，，而，，21.14证明：设u（·）可表示。则()()121212,,uuxxxxxx∀≥⇔（1）()()1212,,,XuuRxxxx∀∈∈。故总有()()()()1221uuuuxxxx≥≥或那么，1221xxxx或成立，完备性得证3（2）123,,Xxxx∀∈，并且假定1223,xxxx所以，由题意知()()()()1223,uuuuxxxx≥≥成立。那么，()()1313uuxxxx⇒≥⇔。传递性得证（3）设{}(){}01,,mmmxyXyxmxxx∞=⊂Ψ=∈→∞→且并且当时下面证()0xx∈Ψ{}()()()()()1limmmmmmmxuuxuuxxxx∞→∞=∀⊂Ψ⇒≥⇒≥，即，()()0(lim)mmuuuxxx→∞=≥所以，0xx。则()0xx∈Ψ，即()xΨ是闭集。连续性得证。1.15证明：（1）当{}{}000,nyBxpxR+==∈==时，显然是紧凸集当0y时，设12,Bxx∈，则有12,ypypxx≤≤令12(1)tttxxx=+−则，1212(1)(1)(1)tPtttptptytyypxxxxx⎡⎤=+−=+−≤+−=⎢⎥⎣⎦所以，,tBBx∈故是凸集（2）设0lim,mmmmBpyxxxx→∞∈=≤且则由于px是连续函数，则limmmpyx→∞≤，即0pyx≤。所以，B是闭集。由于0,0(1)ipinp≤≤则令12max,,...,0nyyyRppp⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭则(),,,...,.xBRRRxB∀∈有即是有界集。综上，由nBR+⊂，并且为有界闭集，所以可得B是nR+上的紧集。1.16证明：由1.15题证明可知，预算集B为凸紧集。4由Weierstrass定理（即定理A1.10）：该定理保证在非空凸紧集B上的连续实值效用函数u(x)存在极值。根据假设1.2，效用函数u(x)为严格拟凹，且严格递减，因此，该函数存在极大值。假设极大值不唯一，即：存在x1,x2…,xn∈B，对于所有x∈B，xi（i=1,2,…n）均为昀优选择，由题，B={x︱x∈Rn+，px≤y}，由于偏好关系严格单调，n个极大值x1,x2…,xn必满足等式预算条件，即：p·x1=y;p·x2=y;…p·xn=y;则：x1=x2=…=xn=x*=y/p也就是说，x*∈B,且对于所有x∈B,x*≥x亦即：x为唯一极大值，且满足y=p·x*的条件。1.17①若偏好关系是严格凸的假设存在),(uphx∈，),('uphx∈，'xx≠，且uxuxu≥≥)(')(取∈α（0，1），令')1(xxxαα−+=则'')1(]')1([pxpxpxxpxxppx==−+=−+=αααα又偏好关系是严格凸的，所以'xx；)'()(xuxu，这与),('uphx∈相矛盾故),(uph是单值，即唯一解。②若偏好关系是凸的设),(uphx∈，),('uphx∈则'pxpx=，uxu)(，uxu)'(取∈α（0，1），令')1(xxxαα−+=则同上'')1(]')1([pxpxpxxpxxppx==−+=−+=αααα∵偏好关系是凸的∴uuuxuxuxxuxu=−+≥−+≥−+=)1()'()1()(]')1([)(αααααα即),(uphx∈亦即),(uph是凸集，不必是唯一解。1．18．解：根据要求，()ux是严格拟凹的，因此两物品的12MRS递减，无差异曲线凸向原点，这时，x和y具有一定的替代关系。但当x和y趋于完全替代时，无差异曲线和预算线无切点，而只能得到角解。5当无差异曲线的斜率大于预算约束线的斜率时，即*11*22()/()/uxxpuxxp∂∂∂∂，即1122pMRSp时，如图所示，消费者问题的解*x位于横轴上，这时，*10x并且*20x=，它表示此时的昀优解是一个边角解，此时消费者将全部收入都购买1x，并由此达到昀大的效用水平。1.19定理1.2：效用函数对正单调变换的不变性证明：已知是nR+上得一个偏好关系，)(xu是一个代表此偏好关系的效用函数。在nR+中取两点21,xx，令1x2x，)()(21xuxu≥∴。又Rf→ℜ:∵在u所确定的值集上是严格递增的，))(()()),(())((21xufxvxufxuf=≥∴∵，)()()(21xvxvxv∴≥∴也代表偏好关系。1.20假定偏好可以由Cobb-Douglas效用函数11112(,)uxxAxxαα−=⋅⋅表示，其中010Aα和，假定一个内点解可以解决效用极大化问题，求出Marshall需求。解111122(,)()Luxxypxpxλ=+−−1121122()Axxypxpxααλ−=⋅⋅+−−F.O.C:∂L/∂x1=Aαx1α-1x21-α-λp1=0(1)∂L/∂x2=A(1-α)x1αx2-α-λp2=0(2)∂L/∂λ=y-p1x1-p2x2=0(3)⇒x1=(α/p1)yx2=y(1-α)/p21.212x1xO6解：拉格朗日函数为:)(ln)1(lnln),,(22112121xpxpyxxAxxL−−+−++=λααλ因为只有一个内点解，库恩塔克条件正好和普通的拉格朗日一阶条件一致，所以得到以下方程：0111=−=∂∂pxxLλα（1）01222=−−=∂∂pxxLλα（2）02211=−−=∂∂xpxpyLλ（3）由（2）除以（1），得1221)1(ppxxαα−=（4）2211xpxpy+=（5）将（4）代入（5），得22)1(pyxα−=（6）将（6）代入（5），得11pyxα=（7）马歇尔需求函数为：11pyxα=，22)1(pyxα−=由于效用函数对于正的单调转换不变，所求得的结果与第20题的结果相同。1.22***max()(,)()[]()00nxiiiuxpxyxuxypxuxpxxypxλλλ+∈=+−⎧∂∂=−=⎪∂∂⎨⎪−=⎩iii受约束于-LL7********()(())max()(,)()[]()()'(())00nxiiiiivxfuxvxpxyxvxypxvxuxpfuxpxxxypxxλλλλλ+∈==+−⎧∂∂∂=−=−=⎪∂∂∂⎨⎪−=⎩iii如果取受约束于显然，这只会影响的取值，不会影响的取值。-LL1.23证明：如果:nuRR+→可以表示偏好关系，则有（1）()u•是严格递增的，当且仅当是严格单调的。（2）()u•是拟凹的，当且仅当是凸的。（3）()u•是严格拟凹的，当且仅当是严格凸的。证：（1）必要性：如果12xx≥，依据()u•是严格单调的，则有12()()uxux≥，又:nuRR+→可以表示偏好关系，则12xx；如果12xx，则有12()()uxux，有12xx且21xx（若21xx，则12()()uxux≥矛盾），因此可推出是严格单调的。充分性：如果21xx≥，则由是严格单调的可得12xx，从而12()()uxux≥；如果12xx，则由的严格单调可知12xx，但21xx，故12()()uxux≥，但12()()uxux≥，知12()()uxux，故()u•是严格单调的。得证。(2)必要性：121212,,,.(1).,[0,1]txxXxxxtxtxt⇒∀∈=+−∈设由12xx知，12()()uxux≥，再由()u•是拟凹的，122()min{(),()}()tuxuxuxux≥=故2txx。充分性：⇐1212,,.(1).,[0,1]txxXxtxtxt∀∈=+−∈由“”的完备性，1221,xxxx两者中必有一个成立。不失一般性，设12xx，得2()()tuxux≥，又由于的凸性，可得出212()()min{(),()}tuxuxuxux≥=。所以()u•是拟凹的。得证。（3）8必要性：121212,,.(1),(0,1)txxxxxtxtxt⇒≠=+−∈，因为()u•是严格拟凹的，故122()min{(),()}()tuxuxuxux=，故2txx。充分性：12xx⇐≠，下证12()min{(),()},(0,1)tuxuxuxt∈12xx≠，令12xx，则2212()()min{(),()}ttxxuxuxuxux⇒=。得证。1.25一个具有凸的、单调偏好的消费者非负数量的1x和2x。（a）如果121212(,)uxxxxαα−=代表其偏好，那么，对参数值α的取值有什么限制？请解释。（b）给定那些约束，计算马歇尔需求函数。（a）9（b）TocalculatetheMarshalliandemandfunctions(X1*,X2*)weusetheLagrangeMultiplier:L=X1α.X2(1/2)-α+λ(Υ−Ρ1.X1−Ρ2.X2)FirstOrderCondition(F.O.C)⇒∂L/∂X1=α.X1(α−1).X2(1/2)-α−λΡ1=0(3)∂L/∂X2=(1/2-α).X1α.X2-1/2-α−λΡ2=0(4)Y–P1.X1–P2.X2=0(5)10Dividing(3)by(4)weobtain,α.X2/(1/2-α).X1=P1/P2⇒X2=(1/2-α)/α.Ρ1/Ρ2.X1(6)Substituting(6)into(5),weobtain,X1*=2αΥ/Ρ1X2*=(1-2α)Υ/Ρ21.26121(,)(,0)yxxp=fivedifferentcases:x1x2u0u111121.29(1)记{}00201212(,)(,)(,,)FyvppRvppyv++=∈=任取0012(,)(,)ppFyv∈，设在012(,)0,ppy的条件下，(,)xpy∗解决了上述效用极大化的问题。对于012(,,)vppyv=，两边关于12,pp全微分1212(,)(,)0ppvpyvpyddpp∂∂+=∂∂211112220ppvvdvppyxRoyvvdvpxpy∗∗∂∂−∂∂∂∂⇒=−=−−∂∂∂∂−∂∂恒等式所以价格无差异曲线的斜率为负。(2)当12pp，令()22122,,vppyv=，()11121,,vppyv=设1x