第25讲-Z变换及脉冲传递函数

1掌握Z变换性质、Z反变换。掌握线性差分方程及其求解。掌握脉冲传递函数。本次课学习要求：2(1)线性性质:满足齐次性和叠加性。3.Z变换的性质(定理）)],([)(*11tfZzF若：)]([)(*22tfZzF)]()([*22*11tfatfaZ则)()(2211zFazFa3连续函数f(t)当t0时为零，且具有Z变换为F(z)，则对于延迟i个采样周期的函数f(t-iT)，其Z变换为（2）延迟定理)()]([zFziTtfZi4证明：由z变换定义nkziT)f(kTiT)f(tZ0令m=k-i,则有immif(mT)zziT)]Z[f(t由于z变换的单边性，当m0时，有f(mT)=0,所以0mmif(mT)zziT)]Z[f(t令m=k,立即得证式。)()]([zFziTtfZi0k)k(z]T)k[(i-iifz5令m=k+1,上式可写为)]f(z[F(z))]f(f(mT)zz[f(mT)zzT)]Z[f(tmmmm0001取i=2,同理，得](kT)zf[F(z)zf(T)]z)f(f(mT)z[zf(mT)zzT)]Z[f(tkkmmmm1020122202取i=i时，必有(3)超前定理取i=1,得0101n)(kkk)T]zf[(kzT)zf(kTT)]Z[f(t10)()()]([ikkiizkTfzzFziTtfZ10)()()]([ikkiizkTfzzFziTtfZ6(4)复位移定理)())((aTatzeFtfeZ)()]([zFtfZ令证明：kkakTatzkTfetfeZ)())((0kaTkzekTf))((0则：)(aTzeF7例试用复数位移定理计算函数的z变换。aTtettf)(令2)1()()aTataTaTzeTzezeFteZ（解：2)1()]([zTztfZ则根据复数位移定理8若极限存在)(limzFz210)2()()0()()(zTfzTffzkTfzFkk)()]([zFtfZ令（5）初值定理则函数的初值)(lim)(lim)0(0zFtffzt)(lim)0()(lim0tffzFtz证明：对上式两边取的极限则有：z9(6)终值定理)()1(lim)()1(lim(lim)(lim111zFzzFzkTftfzzkt）)()]([zFtfZ令0)()()]([kkzkTfzFtfZ)0()()()]([0zfzzFzTkTfTtfZkk证明：两式相减1000)()()()0()(kkkkzkTfzTkTfzFzfzzF0)]()([kkzkTfTkTfkzTfTffTf...])()2()0()([kzff)]0()([两边取的极限1z)()1(lim)()1()(111limzFzzFzfzz11例1：求对应的f(t)初值和终值aTezzzF)(0)1(lim)(lim)(1lim)(lim)(lim)0(10aTztaTzztezzztffezzzFtff12(7)卷积和定理0***])[()()(*)()(kTkngkTetgtetc设：)()()(zGzEzC则：积分和设有两个函数),()(21tftfdtfftf)()()(21的卷积分，记为和称为)()(21tftf)(*)()(21tftftf134.Z反变换定义：由Z域函数求时间域函数的过程,仅能求出采样函数脉冲序列的表达式,即)()()]([*1tftfzFZ14(1)幂级数展开法用长除法把按降幂展成幂级数，然后求得，即将展成对应原函数为()Fz()fkT101101(),mmmnnnbzbzbFznmazaza()Fz012012()FzczczczTtcTtctckTf221015例1：求Z反变换解：)2)(1(10)(zzzzF21231110zzz5321150703010zzzz321203010zzz432326090302030zzzzz54343140210706070zzzzz54140150zz对应原函数为)3(7023010TtTtTtkTf16(2)部分分式法把分解为部分分式，再通过查表求出原离散序列。因为Z变换表中的分子常有因子，所以通常将展成的形式，即()Fz()Fzz()Fz1()()FzzFz12112()()iiAAAFzzFzzzzzzzz1[()()]iiizzAFzzz其中17例2：求Z反变换解：)2)(1(10)(zzzzF)(kTf210110)(zzzzzF,3,2,1,0),21(10)]([)(1kzFZkTfk18(3)反演积分法（留数法）在反演积分法中，离散序列等于各个极点上留数之和，即()fkT1()kFzz11()()inkzzifkTresFzz表示的第i个极点。()Fziz19重极点的情况：设有n阶重极点，则11[()][()()]limiikkzzizzresFzzzzFzz1111[()()]1[()](1)!limiinnkkizznzzdzzFzzresFzzndz单极点的情况：()Fziz20例3：()Fz解：有两个极点：z=1和z=0.5,分别求出其留数用留数法求的反变换。2)]1()5.0)(1([,1112zkzzzzzreszkkkTf5.02)5.0(2)(所以)5.0)(1()(2zzzzFkzkzzzzzresz5.0)]5.0()5.0)(1([,5.05.012211312zzzzE25.01zzzzE作业：试求下列函数E（z）的脉冲序列e*（t）（2）（1）221.差分方程的定义)2()1()()2()1()(21021kxbkxbkxbkxakxakxrrrccc8.4线性常系数差分方程对于一般的线性定常离散系统，k时刻的输出xc(k)不但与k时刻的输入xr(k)有关，而且还与k时刻以前的输入xr(k-1)，xr(k-2)，…有关，同时还与k时刻以前的输出xc(k-1)，xc(k-2)，…有关，这种关系可用n阶向后差分方程来描述：232.差分方程的解法（1）迭代法若已知差分方程，并且给定输出序列的初值，则可以利用递推关系，逐步地算出输出序列。首先要对差分方程两端取Z变换，并利用Z变换的位移定理，得到以z为变量的代数方程，然后对代数方程的解取Z反变换，求得输出序列)(zXc)(kTxc（2）Z变换法24初始条件：xc(0)=0,xc(1)=10)(2)1(3)2(kxkxkxccc10)()()]([ikkiizkTfzzFziTtfZ例1求解258.5脉冲传递函数1.脉冲传递函数的定义在初始条件为零的采样和数字系统中，环节或系统输出脉冲序列的Z变换与输入脉冲序列的Z变换之比，称为该环节或系统的脉冲传递函数。记()()()()()ccrrXzxkZWzXzxkZ输出脉冲序列的变换输入脉冲序列的变换26W(s))(txr)(*txr)(txc)(txc)(zW)()()(sWsXsXrc离散化)()()(sWsXsXrcZ变换)()()(zWzXzXrc)()()(zXzXzWrc27(1)串联各环节之间有采样开关的情况2.开环系统脉冲传递函数)()()(12zXzWzXcc)()()()()(21zWzWzXzXzWrc两个串联环节间有采样开关时，其脉冲传递函数等于这两个环节的脉冲传递函数的乘积。)()()(12zXzWzWr28(2)串联各环节之间无采样开关的情况12()()()()()crXzWzZWsWsXz)]()([)()(21sWsWsXsXrc)]()([)()(21sWsWZzXzXrc两个相串联环节间无采样开关时，脉冲传递函数等于这两个环节传递函数乘积的Z变换。29例1：开环离散系统如图，试求开环脉冲传递函数zGTezzsZ2222TezzsZ5555TTezezzsZsZ522105522zG解:(a)TTTTezezeezssZzG52523105522(b)30（3）并联环节脉冲传递函数)(1sW)(2sW)(txr)(2txr)(txc)(1txr)()()()()(21zWzXzWzXzXrrc)()()()()(21zWzWzXzXzWrc并联环节之间均有采样开关，则总的脉冲传递函数等于各并联环节脉冲传递函数的代数和。3111()()()1()cBrWzXzWzXzWHz（1）具有负反馈的线性离散系统4.闭环系统脉冲传递函数32()()()()()1()()CBrXzDzWzWzXzDzWHz（2）具有数字校正装置的闭环离散系统33（3）具有有扰动信号输入的闭环离散系统)(2sW)(txr)(txc)(sE)(sE)(1sW)(sN0)(txr令0)(sN令)(1)()(212zWWzNWzXc)(1)()()()(2121zWWzWWzXzXzWrcB不能得出对扰动的脉冲传函，只能得到输出量的Z变换。34例2:采样系统如图所示，采样周期T=0.2s。当R（s）=0时，求在扰动信号n（t）单位阶跃函数作用下，系统输出的脉冲序列C（z）及c*（t）（注：利用长除法最少计算两项）。11s_R(s)C(s)11sN(s)1TsesTseTT+3535作业：P2948-3、8-4