高职高等数学-函数

3/11/2020应用数学系列讲座3/11/2020•一函数的概念•二函数的表示方法•三分段函数•四反函数•五初等函数•六函数的几种性质3/11/2020一函数的概念常量与变量定义设在某个变化过程中有两个变量x和y，变量y随着x的变化而变化，当x在一个非空数集D上任取一值时，y依照某一对应规则f总有一个确定的数值与之对应，则称变量y是变量x的函数。记为)(xfyDx3/11/2020其中,x叫做自变量，y叫做因变量或函数。数集D称为这个函数的定义域，记为D（f）。当自变量x在其定义域内取某确定值x0时，因变量y按照所给的函数关系（对应法则），求出的对应值y0，称做当x=x0时的函数值。记为相应地，y值的集合称为函数y=f(x）的值域。},)({Dxxfyy0xxy)(0xf或3/11/2020注意1.函数的定义有两个要素，即定义域(D)与对应规则(f)。所以，只有当两个函数的定义域和对应规则完全相同时，他们才是同一个函数。2.函数的定义域D，要符合客观要求。如：身高、体重等不能小于0;……3/11/20203.求函数定义域时，要注意：分式中分母不为0;根式中负数不能开偶次根；对数中真数大于0…4.对于特殊函数——反三角函数(arcsinx等)，除定义域与法则以外，数学上同时也规定了它的值域。3/11/202021sin_______21arcsin66k26k26?),0(,cot)2,2(,arctan],0[],1.1[arccos]2,2[],1.1[arcsinyRxxarcyyRxxyyxxyyxxy3/11/2020二函数的表示方法常用的表示方法有三种：解析法（公式法）、表格法和图示法。(1)解析法是指用解析表达式（或公式）去表示函数关系。例如xayxyxxy;cos2;13223/11/2020(2)表格法是用列表的方法来表示函数关系，例如水文监测站统计了某河流20年内平均月流量V，如表1.1所示。表1.1这是用表格表示的函数，当自变量x取1～12之间任意一个整数时，从表格里可得出y的一个对应值。x月份123456789101112y平均月流量V/亿m0.320.290.470.640.330.774.14.23.71.90.90.723/11/2020(3)图示法是用直角坐标系x0y平面上的曲线表示函数关系3/11/2020三分段函数例它们的图形如下：10000010xxxxyxyxxxxx-1103/11/2020写出下面函数关系的表达式例：学校外超市，由于期假货物积压，现物价促销，可乐原价2.50元/罐，现促销如下：10罐以上（含）8折，20罐以上（含）7折。请写出此时可乐的销售量（Q）与销售收入（R）之间的关系函数。207.0*5.220108.0*5.21005.2QQQQQQRZQ3/11/2020四反函数定义设给定y是x的函数，，如果对其值域R中的任一值y，都可通过关系式在其定义域D中确定唯一的一个x与之对应，则得到一个定义在R上的以y为自变量，x为因变量的函数，我们称其为的反函数。记为)(xfy)(xfy)(xfy)(1yfx3/11/2020DMMDxfyxfy值域值域定义域定义域)()(1)4()4ln()()(),4ln(4)2()(35)()(3553)1(11xxxfyxfy：xeyRxxxfyxf，y：xxyx设解设解求下列函数的反函数例3/11/2020Oxyxy=f(x)yOxy-xxy=f(x)y单调函数的反函数是单值函数什么样的函数存在单值的反函数？3/11/2020Oxy-xxy=x2yyx2的反函数是多值函数：x。y把x限制在区间[0,)，则yx2的反函数是单值的，即x。它称为函数y=x2的反函数的一个单值分支。y反函数的单值分支：y另一个单值分支为x。3/11/2020在数学中，习惯上自变量用x表示，因变量用y表示。按此习惯，我们把函数yf(x)的反函数xj(y)改写成yj(x)。例如yx2的反函数写为y。x反函数的图形：反函数的图形与直接函数的图形关于直线y=x对称。Oxyy=xy=f(x)y=j(x)P(a,b)Q(b,a)关于反函数的变量符号：五初等函数1.5.1基本初等函数及其图形下列函数称为基本初等函数(1)常量：y=c（C为常数）(2)幂函数：(3)指数函数：(4)对数函数：(5)三角函数：(6)反三角函数：为任何实数）axya(）1,0(aaayx)1,0(logaaxyaxyxyxyxyxyxycsc,sec,cot,tan,cos,sin。xarcyxyxyxycot,arctan,arccos,arcsin3/11/20201.5.2复合函数定义，函数的值域的全部或一部分包含在函数的定义域内，则对的定义域内的某些x，有此函数称函数与函数复合而成的复合函数，其中u称为中间变量。)(ufy)(ufy)(ufy)(xuj)(xuj)(xuj)(xuj)]([xfyj重点掌握复合函数的分解3/11/2020注意不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数，例如，，就不能复合成一个复合函数，因为的定义域中的任何值x所对应的u值都大于或等于2，即全部落在的定义域之外。uyarcsin22xu22xu),(uyarcsin3/11/2020例已知求的表达式。解：令解出将u换成x，得出例设，求复合函数的定义域。解：已知的定义域为，即[-3，3]；的定义域为。由得定义域为[-4，2]。1)1(2xxxeeef)(xfuex101uex11)1()1()(1)()1(222uuuuufeeefxxx1)(2xxxf1)(,9)(2xxuuufj)]([xfj)(uf3u)(xj),(31331xxu即3/11/20201.5.3初等函数定义由基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次复合过程所构成的函数，叫作初等函数。例如等等。xxeyxyxyxcos2,tan,sinlg323/11/2020六函数的几种性质1.6.1函数的单调性定义设函数定义在D上：)(xfy.)()()(,,)2(;)()()(,,)1(212121212121为减函数则称有为增函数则称有xfxfxfD、xxxxxfxfxfD、xxxx3/11/20201.6.2函数的奇偶性定义3设函数在D上有定义，（1）若对于任意的恒有则称f(x)为偶函数。（2）对于任意的恒有，则称f(x)为奇函数。注意当函数具有奇偶性时，其定义域必定是关于原点对称的，即若,则。偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称。Dx)()(xfxfDxDxDx)()(xfxf)(xfy3/11/2020Oxy-xxf(-x)f(x)yf(x)偶函数举例：yx2，ycosx都是偶函数偶函数的图形关于y轴对称。设函数f(x)的定义域D关于原点对称。如果对于任意的xD，有f(x)f(x)，则称f(x)为偶函数。3/11/2020奇偶函数举例：yx3，ysinx都是奇函数。101x-22y3xy如果对于任意的xD，有f(x)f(x)，则称f(x)为奇函数。奇函数的图形关于原点对称。3/11/2020例判定函数的奇偶性xxxf11ln)(为奇函数解：xxxfxfxxxxxxxf11ln)()(11ln)11ln(11ln)(13/11/20201.6.3函数的周期性定义若存在常数，对任意的x，恒有，则称为周期函数。使得上述等式成立的最小正数T，称为的最小正周期，简称函数的周期。例，就是一个周期函数，它的周期为。)(xfy0T)()(xfTxfxy2sin)(xfy|2|),sin(jTxAy3/11/20201.6.4函数的有界性定义设函数在区间（a，b）内有定义，若存在正数使得对于任意的，恒有，则称函数在（a，b）内是有界的。否则，称函数在（a，b）内是无界的。例如函数在内是有界的，因为对于任意的恒有。)(xfy0M),(baxMxf)()(xf)(xf1sinxRxRxxysin（指函数值有界）3/11/2020无界有界例),1,0(,1)()2(,1|)(|),2,1(,1)()1(xxxfxfxxxf值得注意的是：同一法则，在不同定义域里，或许会有不同的性质！3/11/2020小结主要讲授函数概念，通过本章的学习要掌握函数定义域的求法，值域的求法，理解函数的性质。在正确理解函数概念的基础上，还要对六种基本初等函数的性质图象以及反函数、复合函数做到真正的理解。