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2．4定积分与微积分基本定理考纲点击1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.2.了解微积分基本定理的含义．3．会用定积分求曲边梯形的面积.说基础课前预习读教材考点梳理一、定积分的概念1．定积分的定义和相关概念：(1)函数f(x)定义在区间[a，b]上，用分点a＝x0＜x1＜…＜xi－1＜xi＜…＜xn＝b将区间[a，b]等分成n个小区间，其长度依次为Δxi＝xi＋1－xi(i＝0,1,2……n－1)，记λ为这些小区间长度的最大者，当λ趋近于0时，所有小区间长度都趋近于0，在每个小区间任取一点ξi作和式In＝∑n－1i＝0f(ξi)Δxi，当λ→0时，如果和式极限存在，则称和式In的极限为函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作①______，即abfxdx＝②________.(2)在abf(x)dx中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间③________叫做积分区间，函数④________叫做被积函数，⑤________叫做积分变量，⑥________叫做被积式．2．定积分的几何意义：(1)当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分abfxdx的几何意义是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(图①中阴影部分)．(2)一般情况下，定积分abf(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a、x＝b之间的曲边梯形面积的代数和(图②中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的⑦__________.3．定积分的基本性质：(1)abkf(x)dx＝⑧____________________________.(2)ab[f1(x)±f2(x)]dx＝⑨___________________.(3)abf(x)dx＝⑩______________________________.二、定积分基本定理如果F′(x)＝f(x)且f(x)在[a，b]上可积，那么abf(x)dx＝⑪__________，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿－莱布尼兹公式．为了方便，常把F(b)－F(a)记成⑫______，即abf(x)dx＝⑬________＝F(b)－F(a)．答案：①abf(x)dx②limn→∞∑n－1i＝0Δxif(ξi)③[a，b]④f(x)⑤x⑥f(x)dx⑦相反数⑧kabf(x)dx(k为常数)⑨abf1(x)dx±abf2(x)dx⑩acf(x)dx＋cbf(x)dx(其中a＜c＜b)⑪F(b)－F(a)⑫F(x)|ba⑬F(x)|ba考点自测1.05(2x－4)dx＝()A．5B．4C．3D．2解析：05(2x－4)dx＝(x2－4x)|50＝(52－4×5)－(02－4×0)＝5.答案：A2．已知自由落体的速度为v＝gt，则落体从t＝0到t＝t0所走的路程为()A.13gt20B．gt20C.12gt20D.14gt20解析：∫t00gtdt＝12gt2|t00＝12gt20.答案：C3．曲线y＝cosx(0≤x≤3π2)与两坐标轴所围成图形的面积为__________．解析：答案：34．若01f(x)dx＝1，02f(x)dx＝－1，则12f(x)dx＝__________.解析：∵02f(x)dx＝01f(x)dx＋12f(x)dx，∴12f(x)dx＝02f(x)dx－01f(x)dx＝－1－1＝－2.答案：－2说考点拓展延伸串知识疑点清源1.在直角坐标系中，由曲线f(x)，直线x＝a，x＝b(a≠b)和x轴围成的曲边梯形的面积的求法分为以下几种情况：(1)y＝f(x)(f(x)≥0，x∈[a，b])，x＝a，x＝b(a＜b)和x轴围成的曲边梯形的面积为S＝abf(x)dx(这时曲线全部在x轴上方)；(2)如果在[a，b]上，f(x)≤0，则曲线y＝f(x)，x＝a，x＝b(a＜b)和x轴围成的曲边梯形的面积为S＝ab|f(x)|dx＝－abf(x)dx(这时曲线全部在x轴下方)；(3)如果在[a，b]上，f(x)有正有负，即曲线在x轴上方和下方都有图象，例如：在(a，c)上位于x轴上方，在(c，b)上位于x轴下方，则曲线y＝f(x)，x＝a，x＝b(a＜b)和x轴围成的曲边梯形的面积为S＝acf(x)dx＋cb|f(x)|dx＝acf(x)dx－cbf(x)dx.2．由曲线y＝f(x)，y＝g(x)(f(x)＞g(x))与直线x＝a，x＝b(a＜b)围成的图形的面积为S＝ab[f(x)－g(x)]dx.3．利用定积分求曲线所围成的平面图形的面积的步骤①根据题意画出图形；②根据范围，定出积分上、下限；③确定被积函数；④写出相应的定积分表达式；⑤用牛顿—莱布尼兹公式计算定积分，求出结果．4.abf(x)dx，ab|f(x)|dx，|abf(x)dx|三者在几何意义上的不同．当f(x)≥0即函数f(x)的图象全部在x轴上方时，abf(x)dx＝ab|f(x)|dx＝|abf(x)dx|表示界于x轴、曲线y＝f(x)以及直线x＝a，x＝b之间的曲边形的面积；当f(x)≤0即函数的图象全部在x轴下方时，ab|f(x)|dx＝|abf(x)dx|表示界于x轴、曲线y＝f(x)以及直线x＝a，x＝b之间的曲边形的面积，而abf(x)dx＜0，其结果是面积的相反数；当函数f(x)的图象在x轴上方和下方都有时，abf(x)dx表示界于x轴、曲线y＝f(x)以及直线x＝a，x＝b之间各部分面积的代数和，在x轴上方的面积取正值，在x轴下方的面积取负值，ab|f(x)|dx表示界于x轴、曲线y＝|f(x)|以及直线x＝a，x＝b之间的曲边形的面积，如图所示．题型探究题型一计算积分例1计算以下定积分：解析：(1)函数y＝2x2－1x的一个原函数是y＝23x3－lnx，所以12(2x2－1x)dx＝(23x3－lnx)2121＝163－ln2－23＝143－ln2.(2)23(x＋1x)2dx＝23(x＋1x＋2)dx＝(12x2＋lnx＋2x)32＝(92＋ln3＋6)－(2＋ln2＋4)＝ln32＋92.(3)函数y＝sinx－sin2x的一个原函数为y＝－cosx＋12cos2x，所以∫π30(sinx－sin2x)dx＝(－cosx＋12cos2x)＝(－12－14)－(－1＋12)＝－14.点评：利用微积分基本定理求定积分，其关键是求出被积函数的原函数，求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互逆运算，因此应注意掌握一些常见函数的导数．此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分的性质abf(x)dx＝acf(x)dx＋cbf(x)dx(a＜c＜b)，根据函数的定义域，将积分区间分解为若干部分，代入相应的解析式，分别求出积分值，相加即可．变式探究1函数F(x)＝0xt(t－4)dt在[－1,5]上()A．有最大值0，无最小值B．有最大值0，最小值－323C．有最小值－323，无最大值D．既无最大值也无最小值解析：F(x)＝0xt(t－4)dt＝0x(t2－4t)dt＝(13t3－2t2)x0＝13x3－2x2，函数F(x)的极值点为x＝0，x＝4，F(－1)＝－73，F(0)＝0，F(4)＝－323，F(5)＝－253，故F(x)有最大值0，最小值－323.故选B.答案：B题型二利用定积分求曲边梯形的面积例2.求曲线y＝x，x＋y＝2，y＝－13x围成的平面图形的面积．解析：解方程组y＝xx＋y＝2及y＝xy＝－13x及x＋y＝2y＝－13x得交点(1,1)(3，－1)(0,0)．所以S＝01[x－(－13x)]dx＋13[(2－x)－(－13)x]dx＝01(x＋13x)dx＋13(2－x＋13x)dx＝(23x32＋16x2)10＋(2x－12x2＋16x2)31＝(23＋16)＋(2×3－12·32＋16·32)－(2×1－12·12＋16·12)＝136.点评：本题如选择积分变量y，则三个函数为x＝y2，x＝2－y，x＝－3y，三个上下限的值为－1,0,1.所以S＝0-1－1[(2－y)－(－3y)]dy＋01[(2－y)－y2]dy＝0-1(2＋2y)dy＋01(2－y－y2)dy＝(2y＋y2)0－1＋(2y－12y2－13y3)10＝－(－2＋1)＋(2－12－13)＝136.变式探究2求由抛物线y＝x2与直线y＝x＋2所围成的平面图形的面积．解析：解方程组y＝x2y＝x＋2得出交点：坐标为A(－1,1)，B(2,4)，所以所求图形的面积题型三定积分在物理学中的应用例3.一点在直线上从时刻t＝0(s)开始以速度v＝t2－4t＋3(m/s)运动，求：(1)在t＝4s时的位置；(2)在t＝4s运动的路程．解析：(1)在时刻t＝4时，该点的位移为04(t2－4t＋3)dt＝(13t3－2t2＋3t)40＝43(m)．即在t＝4s时刻该点距出发点43m.(2)∵v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)∴在区间[0,1]及[3,4]时，v(t)≥0.在区间[1,3]上，v(t)＜0，∴在t＝4s时的路程为s＝01(t2－4t＋3)dt＋|13(t2－4t＋3)dt|＋34(t2－4t＋3)dt＝4m.点评：用定积分解决变速运动的位置与路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键，另外，路程是位移的绝对值之和，一定要判断在不同区间上位移的符号，否则会出现计算错误．变式探究3一质点运动时速度与时间的关系为v(t)＝t2－t＋2，质点做直线运动，则此物体在时间[1,2]内的位移为()A.176B.143C.136D.116解析：s＝12(t2－t＋2)dt＝(13t3－12t2＋2t)|21＝176.故选A.答案：A归纳总结•方法与技巧1．求定积分的一些技巧(1)对被积函数，要先化简，再求定积分．(2)求被积函数是分段函数的定积分，依据定积分的性质，分段求定积分再求和．(3)对含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能求定积分．2．几种典型的曲边梯形面积的计算方法(1)由三条直线x＝a、x＝b(a＜b)、x轴，一条曲线y＝f(x)[f(x)≥0]围成的曲边梯形的面积(如图1)：S＝abf(x)dx.图1(2)由三条直线x＝a、x＝b(a＜b)、x轴、一条曲线y＝f(x)[f(x)≤0]围成的曲边梯形的面积(如图2)：S＝|abf(x)dx|＝－abf(x)dx.图2(3)由两条直线x＝a、x＝b(a＜b)、两条曲线y＝f(x)、y＝g(x)[f(x)≥g(x)]围成的平面图形的面积(如图3)；S＝ab[f(x)－g(x)]dx图3•失误与防范1．被积函数若含有绝对值号，应去绝对值号，再分段积分．2．若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量．3．定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限．4．定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负．5．将要求面积的图形进行科学而准确的划分，可使面积的求解变得简捷.新题速递1.(2013·东北一模)若1a2x＋1xdx＝3＋ln2(a＞1)，则a的值是()A．2B．3C．4D．6解析：