雄关漫道系列《师说》2014年高考全程复习构想高三理科一轮复习资料第八章平面解析几何8.9

8．9曲线与方程考纲点击1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．2．了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法．3．能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.说基础课前预习读教材考点梳理1.曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标都是①________________.(2)以这个方程的解为坐标的点都是②__________.那么这个方程叫做③__________，这条曲线叫做④__________.2．求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建系——建立适当的坐标系．(2)设点——设轨迹上的任一点P(x，y)．(3)列式——列出动点P所满足的关系式．(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简．(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．3．两曲线的交点(1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的⑤________，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点，方程组⑥______，两条曲线就没有交点．(2)两条曲线有交点的⑦______条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题．答案：①这个方程的解②曲线上的点③曲线的方程④方程的曲线⑤公共解⑥无解⑦充要考点自测1.设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为()A．抛物线B．双曲线C．椭圆D．圆解析：由题意知动点C满足：到定点(0,3)的距离比到定直线y＝0的距离多1，故其到定点(0,3)与到定直线y＝－1的距离相等．所以点C的轨迹为抛物线．故选A.答案：A2．已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是()A．2x＋y＋1＝0B．2x－y－5＝0C．2x－y－1＝0D．2x－y＋5＝0解析：设Q(x，y)，则P为(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0得2x－y＋5＝0.答案：D3．已知两定点F1(－1,0)、F2(1,0)，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程是()A.x216＋y29＝1B.x29＋y216＝1C.x24＋y23＝1D.x23＋y24＝1解析：由|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项知：|PF1|＋|PF2|＝4，故动点P的轨迹是以定点F1(－1,0)、F2(1,0)为焦点，长轴长为4的椭圆，故其方程为x24＋y23＝1.答案：C4．已知点A(－2,0)、B(3,0)，动点P(x，y)满足PA→·PB→＝x2，则点P的轨迹方程是()A．x2＋y2＝6B.x26＋y2＝1C．x2－y2＝6D．y2＝x＋6解析：PA→＝(－2－x，－y)，PB→＝(3－x，－y)，由PA→·PB→＝x2，可得(－2－x)·(3－x)＋(－y)·(－y)＝x2，即y2＝x＋6.答案：D5．直线xa＋y2－a＝1与x、y轴交点的中点的轨迹方程是__________．解析：(参数法)直线xa＋y2－a＝1与x、y轴交点为A(a,0)，B(0，2－a)，设A、B中点为M(x、y)，则x＝a2，y＝1－a2，消去a，得x＋y＝1，∵a≠0，a≠2，∴x≠0，x≠1.答案：x＋y＝1(x≠0，x≠1)说考点拓展延伸串知识疑点清源1.对于曲线的方程和方程的曲线概念的理解(1)概念的第一条表示曲线具有纯粹性．．．，或者说方程具有完．备性．．，即曲线上所有点都适合这一条件，无一例外；第二条说明曲线具有完备性．．．，也可以说方程具有纯粹性．．．，这表明适合条件的所有点都在曲线上，没有遗漏．(2)一旦曲线与方程建立上述满足①②的一一对应关系后，两者就可理解为同一运动规律在“形”和“数”这两个不同方面的反映，因此我们可以通过方程来研究曲线，也可以利用曲线研究方程，也就是“数”与“形”互化．2．直接法求轨迹方程：若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系，则只需直接把这种关系“翻译成”动点的坐标x、y的方程，经化简所得同解的最简方程，即为所求轨迹的方程，其一般步骤为：建系——设点——列式——代换——化简——检验．3．定义法求轨迹方程：若动点的轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义，如圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以直接根据定义求出动点的轨迹方程．4．待定系数法求轨迹方程：当已知动点的轨迹是某种圆锥曲线，则可设出含有待定系数的方程，再根据动点满足的条件，确定待定系数，从而求得动点的轨迹方程．5．代入法求轨迹方程：如果轨迹点P(x，y)依赖于另一动点Q(a，b)，而Q(a，b)又在某已知曲线上，则可先列出关于x、y、a、b的方程组，利用x、y表示出a、b，把a、b代入已知曲线方程便得动点P的轨迹方程．此法称为代入法，也称相关点法．6．参数法求轨迹方程：如果轨迹动点P(x，y)的坐标之间的关系不易找到，也没有相关的点可用时，可先考虑将x、y用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法．用参数法求轨迹方程需注意参数的范围对方程的影响.题型探究题型一用直接法求轨迹方程例1已知两条直线l1：2x－3y＋2＝0和l2：3x－2y＋3＝0，有一动圆(圆心和半径都动)与l1、l2都相交，且l1、l2被圆截得的弦长分别是定值26和24，求圆心的轨迹方程．解析：设动圆的圆心为M(x，y)，半径为r，点M到直线l1，l2的距离分别为d1和d2.由弦心距、半径、弦长间的关系得，2r2－d21＝26，2r2－d22＝24，即r2－d21＝169，r2－d22＝144，消去r得动点M满足的几何关系为d22－d21＝25，即3x－2y＋3213－2x－3y＋2213＝25.化简得(x＋1)2－y2＝65.此即所求的动点M的轨迹方程．点评：本例中动点M的几何特征并不是直接给定的，而是通过条件的运用从隐蔽的状态中被挖掘出来．变式探究1长为2a的线段AB的两个端点分别在x轴，y轴上滑动，求AB中点P的轨迹方程．解析：设点P的坐标为(x，y)，则A(2x,0)，B(0,2y)．由|AB|＝2a，得2x－02＋0－2y2＝2a.化简得x2＋y2＝a2即为所求轨迹方程.题型二用定义域求轨迹方程例2已知两个圆O1和O2，它们的半径分别是1和2，且|O1O2|＝4，动圆M与圆O1内切，又与圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．解析：如图，以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴建立平面直角坐标系．由|O1O2|＝4，有O1(－2,0)，O2(2,0)．设动圆的半径为r.由动圆M与圆O1内切，有|MO1|＝|r－1|.由动圆M与圆O2外切，有|MO2|＝|r＋2|.∴|MO2|＋|MO1|＝3，或|MO2|－|MO1|＝3.∵|O1O2|＝4，∴|MO2|＋|MO1|＞4，∴|MO2|＋|MO1|＝34(舍去)，∴|MO2|－|MO1|＝3|O1O2|＝4.∴M的轨迹是以O1、O2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支．∴a＝32，c＝2，∴b2＝c2－a2＝74.∴M点的轨迹方程为4x29－4y27＝1(x＜－32)．点评：动点M的轨迹符合双曲线的定义，直接利用双曲线的标准方程，确定待定系数的值，从而进一步简化了计算．变式探究2动圆经过点A(3,0)且与直线l：x＝－3相切，求动圆圆心M的轨迹方程．解析：如下图，设动圆和直线l相切于点N.∵|MA|＝|MN|，∴圆心M到定点A(3,0)和定直线l：x＝－3的距离相等．根据抛物线的定义，M在以A为焦点，l为准线的抛物线上．∵p2＝3，∴2p＝12.故圆心M的轨迹方程是y2＝12x.题型三用相关点法(代入法)求轨迹方程例3如图，已知P(4,0)是圆x2＋y2＝36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB＝90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程．解析：设AB的中点为R(x、y)，则Rt△ARO中，|AR|2＝|AO|2－|OR|2＝36－(x2＋y2)，又|AR|＝|PR|＝x－42＋y2，有(x－4)2＋y2＝36－(x2＋y2)．即x2＋y2－4x－10＝0.因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动，设Q(x，y)，R(x1，y1)，由R为PQ中点，所以有x1＝x＋42，y1＝y2.代入方程x2＋y2－4x－10＝0，得(x＋42)2＋(y2)2－4·x＋42－10＝0.整理，得x2＋y2＝56.即点Q的轨迹方程为x2＋y2＝56.点评：在某些较复杂的探求轨迹的过程中，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程．变式探究3如图，三角形ABC的两顶点A(－2,0)，B(0，－2)，第三顶点C在抛物线y＝x2＋1上移动，试求△ABC的重心G的轨迹．解析：设G(x，y)、C(x1，y1)，由重心坐标公式得x＝－2＋x13，y＝－2＋y13，∴x1＝3x＋2，y1＝3y＋2.∵C(x1，y1)在y＝x2＋1上，∴3y＋2＝(3x＋2)2＋1，即y＝3(x＋23)2－13.∴重心G的轨迹是以(－23，－13)为顶点，开口向上，对称轴为x＝－23的抛物线.题型四用参数法求轨迹方程例4已知动直线l过定点(0,3)，且是抛物线y2＝4x的动弦P1P2的中垂线，求直线l与动弦P1P2交点M的轨迹方程．解析：设直线l的方程为y＝kx＋3(k≠0)，则直线P1P2的方程为y＝－1kx＋b.将y＝－1kx＋b代入y2＝4x，得x2－k(2b＋4k)x＋b2k2＝0.且Δ＝k2(2b＋4k)2－4b2k2＝16k3(b＋k)＞0.①由于P1P2的中点M(k(b＋2k)，－2k)在直线l上．∴－2k＝k2(b＋2k)＋3，即b＝－2k＋3k2－2k，代入①，得k(k3＋2k＋3)＜0，即k(k＋1)(k2－k＋3)＜0，∴－1＜k＜0.设交点为M(x，y)，则b＝－2k＋3k2－2k.由x＝kb＋2k＝－2k＋3k，y＝－2k，消去k，得(x＋2)y＝6.又∵－1＜k＜0，∴x＞1.故点M的轨迹方程为(x＋2)y＝6(x＞1)．点评：运用参数法求轨迹方程时要注意消参前后的等价性，即要标明参数对x或y的限制条件．变式探究4过点D(2,0)的直线l与双曲线x2－y2＝1的右支交于两个不同点A、B.(1)如果l有斜率，求l斜率的取值范围；(2)求AB的中点P的轨迹方程，并简要说明该轨迹的曲线类型．解析：(1)方法一：设l的斜率为k，则l的方程为y＝k(x－2)，把它代入x2－y2＝1并整理得(1－k2)x2＋4k2x－(1＋4k2)＝0，据题意，该方程有两个不等的正根，记为x1、x2，则有Δ＝16k4＋41－k21＋4k2＞0，x1·x2＝－1＋4k21－k2＞0，x1＋x2＝－4k21－k2＞0，即Δ＝1＋3k2＞0，x1·x2＝1＋4k2k2－1＞0，x1＋x2＝4k2k2－1＞0，∴k2－1＞0，即k＜－1或k＞1.∴l斜率的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．方法二：双曲线的渐近线方程为y＝±x，结合图形易见(如图)，l与双曲线的右支交于两个不同点，等价于k＜－1或k＞1，∴l斜率的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．(2)方法一：①当l有斜率时，设l的方程为y＝k(x－2)，并设A(x1，y1)、B(x2，y2)、P(x0，y0)，则x0＝x1＋x22，y0＝k(x0－2)．把y＝k(x－2)代入x2－y2＝1并整理得：(1－k2)x2＋4k2x－(1＋4k2)＝0，则x1、x2是该方程的两根，∴x1＋x2＝4k2k2－1，x0＝2k2k2－1，y0＝2kk2－1，消去k得：x20－y20－2x0＝0.①②若l⊥x轴，则P的坐