第2章 质点运动学

力学教案华南师范大学物理与电信工程学院第二章质点运动学2一参考系质点质点是经过科学抽象而形成的理想化的物理模型.目的是为了突出研究对象的主要性质,暂不考虑一些次要的因素.为描述物体的运动而选择的标准物叫做参考系.1参考系如果我们研究某一物体的运动，而可以忽略其大小和形状对物体运动的影响，若不涉及物体的转动和形变，我们就可以把物体当作是一个具有质量的点（即质点）来处理.2质点选取的参考系不同，对物体运动情况的描述不同，这就是运动描述的相对性.§2.1质点的运动学方程3二位置矢量运动方程位移1位置矢量r*Pxyzxzyokzjyixr222rrxyz位矢的值为r确定质点P某一时刻在坐标系里的位置的物理量称位置矢量,简称位矢.r式中、、分别为x、y、z方向的单位矢量.ijk§2.1质点的运动学方程4rxcosrzcosrycos位矢的方向余弦rPPrxzyoxzyo2运动方程ktzjtyitxtr)()()()()(txx)(tyy)(tzz分量式从中消去参数得轨迹方程0),,(zyxft)(tr)(tx)(ty)(tz§2.1质点的运动学方程5422222xytytx得轨道方程消去t解：(1)先写参数方程[例1].已知质点的运动方程求：(1)质点的轨迹。(2)t=0及t=2s时，质点的位置矢量。jtitr)2(22(2)位置矢量t=0时，x=0y=2r=2jt=2时，x=4y=-2r=4i–2jxPy42Q-2Orr§2.1质点的运动学方程6位置矢量的大小m47.4m)2(4m222rrrr位置矢量的方向2900226324arctgarctgxPy42Q-2Orr§2.1质点的运动学方程rx与的夹角'rx与的夹角73位移xyoBBrArArArBBrArxyoBxAxABxxByAyAByyrrrABABrrr经过时间间隔后,质点位置矢量发生变化,由始点A指向终点B的有向线段AB称为点A到B位移矢量.位移矢量也简称位移.tr§2.1质点的运动学方程8222zyxr位移的大小为ArBBrArxyoBxAxABxxByAyAByyjyixrAAAjyixrBBBjyyixxrABAB)()(ABrrr所以位移若质点在三维空间中运动，则在直角坐标系中其位移为OxyzkzzjyyixxrABABAB)()()(4路程（）:质点实际运动轨迹的长度.s又§2.1质点的运动学方程9222zyxrrr212121zyx222222zyxr位移的物理意义A)确切反映物体在空间位置的变化,与路径无关，只决定于质点的始末位置.B）反映了运动的矢量性和叠加性.s),,(1111zyxP),,(2222zyxP)(1tr1P)(2tr2Pr注意位矢长度的变化xyOzrkzjyixr§2.1质点的运动学方程10位移与路程（B）一般情况,位移大小不等于路程.rs（D）位移是矢量,路程是标量.s)(1tr1p)(2tr2prxyOz's（C）什么情况？sr不改变方向的直线运动;当时.0tsr讨论（A）P1P2两点间的路程是不唯一的,可以是或而位移是唯一的.rs's§2.1质点的运动学方程11[例2].求例1中P、Q两点间的位移和路程。解：(1)位移jirjr24242244rrrijjijm65.5m4422r4arctg0xy大小：方向：xPy42Q-2Orrr0§2.1质点的运动学方程1222)d()d(dyxsdxdydsQPssd(2)路程422222xytytxxxyd21dxxyxsd421)d()(dd2224201d4d5.91m2QPssxxxPy42Q-2O0rrjikjirrr44224§2.1质点的运动学方程13一、速度1平均速度)()(trttrr在时间内,质点从点A运动到点B,其位移为tt时间内,质点的平均速度平均速度与同方向.rvjtyitxtrv平均速度大小22)()(tytxvjiyxvvv或r)(ttrB)(trAxyos§2.2瞬时速度、瞬时加速度矢量142瞬时速度当质点做曲线运动时,质点在某一点的速度方向就是沿该点曲线的切线方向.当时平均速度的极限值叫做瞬时速度,简称速度0tjtyitxtt00limlimvtrtrtddlim0vsrdd当时,0ttddetsv§2.2瞬时速度、瞬时加速度矢量15xyov222ddd()()()dddxyztttvv瞬时速率：速度的大小称为速率vyvxvjiyxvvvjtyitxddddv若质点在三维空间中运动,其速度为ktzjtyitxddddddvddstvtddetsv§2.2瞬时速度、瞬时加速度矢量16平均速率tsvr)(ttrB)(trAxyosddstv瞬时速率讨论一运动质点在某瞬时位于矢径的端点处，其速度大小为),(yxrtrddtrdd（A）（B）（B）（B）trdd22)dd()dd(tytx（C）（D）§2.2瞬时速度、瞬时加速度矢量171）平均加速度BvBAvBvv与同方向.va（反映速度变化快慢的物理量）xyOatv单位时间内的速度增量即平均加速度2）（瞬时）加速度0dlimdtattvv四加速度AvA§2.2瞬时速度、瞬时加速度矢量18xyzaaiajak222222ddddddddddddxxyyxattyattattzzvvvz加速度大小222xyzaaaa22ddddrattv加速度jtityxddddvv加速度大小220limyxtaatav质点作三维运动时加速度为§2.2瞬时速度、瞬时加速度矢量19吗？vv()()tttvvvaccbv()tv()ttvvOabc讨论)()(tttvvvoaoc在Ob上截取有cbvtnvv速度方向变化acnv速度大小变化cbtv§2.2瞬时速度、瞬时加速度矢量20)(ta)(tr求导求导积分积分()tv§2.3-2.4质点运动学两类基本问题一、由质点的运动方程可以求得质点在任一时刻的位矢、速度和加速度；二、已知质点的加速度以及初始速度和初始位置,可求质点速度及其运动方程.讨论问题一定要选取坐标系注意矢量的书写与的物理含义d,d,d,drsvt,,,rsvt注意21[例1]:质点的运动方程：求：（1）质点第一秒末的速度和加速度；（2）在t=1秒到t=3秒时间间隔内质点运动的平均速度和平均加速度。)()4()2(3SIjttitr解：（1）jtidtrdv)34(2t=1时:)/(smjivjtdtvda6,)(6,2smjatrv(2)tva13)1()3(trtrji913)1()3(tvtvj12运动学第一类问题22[例2]:一质点沿x轴作直线运动，其运动方程为已知：x=6t-t2(SI)求：（1）质点在任意时刻t的速度和加速度；（2）简述质点运动情况；（3）求t=1秒到t=5秒间质点的位移和路程。解：（1）)/(26smtdtdxv（2）质点作匀减速直线运动，在t=3质点“回头”。本题是一维情况，用正负表示方向)(2,2smdtdva0)116()556(2215xxx（3）)(83513mxxxxs运动学第一类问题23[例3].一艘快艇在速率为时关闭发动机，其加速度，式中k为常数，试证明关闭发动机后又行驶距离x时，快艇速率为：0v2akv0kxvve证明：2ddddddddvvxvvakvtxtx00ddddvxvvkxvvkxv00lnkxvkxvvve运动学第二类问题24[例4]:一质点沿x轴运动,其加速度a与位置坐标的关系为a=3+6x2(SI),如果质点在原点处的速度为零,试求其在任意位置x处的速度v。dtdvadxxvdv)63(2dxdvvx263322321xxv解:本题的关键是得出x与v的关系dtdxdxdvv0x0)4(631/2xxv运动学第二类问题25[例5].在离水面高h的岸上，有人用绳拉船靠岸，如图。设人以匀速率收绳。试求:当船距岸边时，船的速度和加速度的大小各是多少？0vx解建立坐标系如图设任意时刻t，绳长为l，船处于x位置收绳过程中满足关系222lxh两边求导得22dldxlxdtdt260dlvdt收绳过程中l随时间减小则船运动的速度为0dxlvvdtx220xhvx对速度求导即可得到船运动的加速度220023()vhvdvdldxaxldtxdtdtx船做怎样的运动？加速？减速？思考27一、用平面直角坐标系描述质点平面运动22ˆˆ,,cos/,cos/rrrxiyjrxyxryrˆˆ,/,/xyxyvvivjvdxdtvdydtv/vcos,v/vcos,vvvyvxvyx22222222ˆˆ,,,cos/,cos/yxxyxyxyaxaydvdvdxdyaaiajaadtdtdtdtaaaaaaa求导积分求导积分)t(x)t(vx)t(ax求导积分求导积分)t(y)t(vy)t(ay§2.5-2.7质点的平面运动28二、抛体运动以抛射点为坐标原点建立坐标系，水平方向为x轴，竖直方向为y轴。设抛出时刻t=0的速率为v0，抛射角为，,cos00vvxsin00vvy而加速度恒定gajg故任意时刻的速度为：jiv)sin()cos(00gtvv则初速度分量分别为：Oyx0vxv0yv0vg§2.5抛体运动29将上式积分，得到运动方程的矢量形式为ttgtvtv000d)sin(d)cos(jirji)21sin()cos(200gttvtv消去时间参数t，得抛体运动的轨迹方程为2202cos21tgvgxxyy=0得射程：gvH2sin20求极值得最大射高：gvh2sin220Oyx0vxv0yv0vgHh30抛体运动可看作是由水平方向的匀速直线运动与竖直方向的匀变速直线运动叠加而成。ji)21sin()cos(200gttvtvr抛体运动也可以分解为沿抛射方向的匀速直线运动与竖直方向的自由落体运动的叠加。jjir20021)sincos(gttvvjv2021gttOyxt0vtgr31三、用自然坐标系描述质点平面运动质点运动学方程：S=S(t)切向单位矢量，与S方向一致法向单位矢量，指向曲线凹侧ˆnˆ，不是恒矢量注意：)t(nˆnˆ),t(ˆˆSO'ˆnˆO)t(r)(ttrr)t(ˆˆvv,dtdsv,ˆdtdsˆtstrvlimlimtt令00⒉自然坐标中的速度dt/d