复变函数-孤立奇点及分类

第五章留数及其应用•孤立奇点的概念•留数的定义、计算、留数定理•留数定理的应用（积分计算）5.1孤立奇点的分类1、孤立奇点的定义00()fzzz若在点不解析，但在的某个去心邻域内解析的孤立奇点。为则称)(0zfz例如：的孤立奇点。、是zezzz1sin0)1)((1)(zizzf1,ziz有两个孤立奇点点，的奇点，但不是孤立奇是函数zz1sin101()zkk因为为非零整数都是它的奇点，时）当kk(0100zz注：当为不解析点，又是一系列奇点的极限点，则为非孤立奇点。例2、孤立奇点的分类的孤立奇点，是设)(0zfz000zzz的去心邻域则存在在该邻域内解析。)(zf内可展开为洛朗级数在于是00)(zzzfnnnzzazf)()(00100)()(nnnnnnzzazza（1）可去奇点的负幂项，若洛朗展开式中不含有)(0zz,0na即的可去奇点。为则称孤立奇点)(0zfz例如：zzsin由于zzz0......!5!3142的可去奇点。是所以，zzzsin0,......)2,1(n351(.......)3!5zzzz！可去奇点的判别法：(i)展开为洛朗级数；(ii)0lim()(zzfzl有限值），0()zfz为的可去奇点的充分必要条件是21cos0zzz是的什么类型的孤立奇点？...)!2()1(...!4!21cos242nzzzznn由于z...)!2()1(...!4!21cos122122nzzzznn于是为可去奇点。所以0z解法一20cos1limzzz由于212sin2lim220zzz为可去奇点。所以0z例解法二（2）极点的负幂项，有限项若洛朗展开式中只含有)(0zz100(-)()mzzzzm且其中关于的最高幂为，这里是正整数，级极点。的为则称mzfz)(00()zfz则称为的极点。的负幂项，有限项若洛朗展开式中只含有)(0zz例如：2)(zezfz因为...)!21(122zzz...!4!3!21212zzzz的二级极点。是所以，)(0zfz极点的判别法：(i)展开为洛朗级数，用定义判别；(iii)级极点的为mzfz)(0mzzzhzf)()()(000()0()hzhzz其中，且在解析；（iv)000-()lim()()0mmzzmzfzmzzfzccm为的阶极点，这里，为正整数（ii))(lim)(00zfzfzzz的极点为例如：22)1)(1(2)(zzzzf的一级极点。是的二级极点，为)()(1zfizzfz注意判别条件21)(zezfz例如：的二级极点，不是)(0zfz...)!3!2(1)(322zzzzzf因为...!3!211zz的一级极点。是所以，)(0zfz极点和零点的关系：零点：的零点。称为的点使解析函数)(0)(0zfzzf级零点：m),()()()(0zgzzzfzfm可表示为若为正整数点解析，且在其中，mzgzzg,0)()(00级零点。的为则称mzfz)(0零点的判别：级零点的为的解析点，则为若mzfzzfz)()(00)1,...1,0(0)(0)(mkzfk0)(0)(zfm而例如：3()1,fzz1()zfz所以，为的一级零点。21(1)0,'(1)3|30zffz（v)级零点；的为级极点的为mzfzmzfz)(1)(00(vi)点解析，在且若00)(0)(,)()()(zzPzPzQzPzf级极点。的级零点，则必为的是若mzfmzQz)()(0例的奇点类型。试确定函数1)1tan()(zzzf解：)1cos()1()1sin(1)1tan()(zzzzzzf由于显然，函数的奇点是1,1(0,1,2...)2kzzkk1)1tan(lim1zzz由于)1cos(11)1sin(lim1zzzz1为可去奇点。所以，1zkkzzzz)1sin(])1[cos(sin()2k1k（）110k（）的一级极点。的一级零点，是是所以)()1cos(zfzzk,01)1sin(kzzz又0)1cos(kzz3、本性奇点的负幂项，穷多项的洛朗展开式中含有无若)()(0zzzf的本性奇点。为则称)(0zfz判别法：(i)()fz把展开为洛朗级数，用定义判别；(ii)不存在，也不是的本性奇点是)(lim)(00zfzfzzz例如：为本性奇点，因为以函数0)(1zezfz的负幂项。中含有无穷多zznzzenz...!1...!2112111sin1z例讨论的孤立奇点及类型。解：）（1的孤立奇点。是11sin1zz120)1()!12(1)1(11sinnnnznz由于10z的负幂项，有无穷多个1z的本性奇点。是所以，)(1zfz例的孤立奇点的类型。讨论)1(sin)(zezzzf解：:)(的孤立奇点为zf）,...2,1(2,0kikzzk)(...!5!3sin53zzzzz由于)(...!3!2132zzzzez)...1...1(1)(!3!2!5!3242zzzzzzf于是zzhz)(1(0)0h其中，且在0解析，()fz于是，0为的一级极点。,...)2,1(2kikzk以下考察)1(sin)(zezzzf)1(sinzzze解析，在且由于kzzzzzzksin0sin0)1(,0)1(kkkzzzzzeee而的一级零点。是于是1,...)2,1(2zkekikz的一级极点。因此是)(zf定义10()()tfmtzfzm如果是的可去奇点，阶极点或本性奇点，则称为的可去奇点，阶极点或本性奇点4、函数在无穷远点的性态()||0()fzzRzRfz在扩充的复平面上，如果函数在的去心邻域内解析（）,则称点为的孤立奇点231234zzzz例函数是否以为孤立奇点？若是，属于哪一类？()()zfzzfz定理为的可去奇点、极点、本性奇点的充要条件分别为当的极限为有限数、为无穷大、不存在也不为时，无穷大。21zzz例函数是否以为孤立奇点？若是，属于哪一类？sincoszzz例函数是否以为孤立奇点？若是，属于哪一类？