复变函数-总结

1复变函数与积分变换课程总结21.代数形式:iyxz复数的表示法1)点表示iyxz复数(,)XOYzxy平面上的点2)向量表示22zzrxy----复数z的模----复数z的辐角(argument)zx与轴正向的夹角记作Argz=.复数z=x+iy矢径z-p0p的0称为Argz的主值,记作0=argz.则Argz=0+2kp=argz+2kp(k为任意整数)1i-第一章复数与复变函数32.三角形式与指数形式利用直角坐标与极坐标的关系:x=rcos,y=rsin,可以将z表示成三角表示式:)sin(cosirz利用欧拉公式ei=cos+isin得指数表示式:),(zArgzrirez4§1.2复数的运算222111,iyxziyxz设1.加减法运算加减法与平行四边形法则的几何意义:1z2z12zz12zz-512121212211121221122222222222()()(0)zzxxyyixyxyzxxyyxyxyizzxyxy--乘、除法的几何意义:111izre222izre12()1212izzrre,1212121212rgzzrrzzArgzzAzArgz,,定理1两个复数乘积的模等于它们的模的乘积,两个复数乘积的幅角等于它们幅角的和.2.乘除法运算622112211122110zzzzzzzzzzArgzArgArgzz21()2211izrezr-22112211zzzzzArgArgzArgzz-按照乘积的定义,当z10时,有定理2两个复数的商的模等于它们的模的商,两个复数的商的辐角等于被除数与除数的幅角之差.73.乘方与开方运算1）乘方cossinnninnzrerninDeMoivre公式：cossincossinninin2）开方:若满足，则称w为z的n次方根，nwz记为.nwzziArgwinArgnezew2(0,1,2,,1)nwzargzkArgwknnp-于是推得824)1()3(ii-1．(3分)复数辐角主值为．p65的模为8，9§1.3复数形式的代数方程与平面几何图形很多平面图形能用复数形式的方程(或不等式)来表示;也可以由给定的复数形式的方程(或不等式)来确定它所表示的平面图形.解析几何中代数方程与几何图形的对应关系10x1x2x3oz(x,y)xyP(x1,x2,x3)x1x2x3N(0,0,2r)除了复数的平面表示方法外,还可以用球面上的点来表示复数.对复平面内任一点z,用直线将z与N相连,与球面相交于P点,则球面上除N点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系,而N点本身可代表无穷远点,记作.这样的球面称作复球面.11§1.5区域1.区域的概念设G为一平面点集,z0为G中任意一点.如果存在z0的一个邻域,该邻域内的所有点都属于G,则称z0为G的内点.如果G内的每个点都是它的内点,则称G为开集平面点集D称为一个区域,如果它满足下列两个条件:1)D是一个开集;2)D是连通的。就是说D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连接起来.12)1Re(|3|-zz2．满足的点集所形成的平面图形为（抛物线及其内部），该图形是否为区域否.28(1)yx-13§1.6复变函数定义设D是复平面中的一个点集,,,wfzfxiyuxyivxy称为复变函数.fDzw复数函数w=f(z)在几何上可以看做是把z平面上的一个点集D(定义集合)变到w平面上的一个点集G(函数值集合)的映射(或变换).如果D中的点z被映射w=f(z)映射成G中的点w,则w称为z的象(映象),而z称为w的原象.xuDGZzwW=f(z)vyW14xyOz0dzOuvAef(z)0lim()zzAfz意味着：0()zzfz当从平面上任一方向、沿任何路径、以任意方式趋近于时，均以A为极限。§1.7复变函数的极限和连续性15等价定义：设f(z)=u(x,y)+iv(x,y),A=u0+iv0,z0=x0+iy0,则0000000lim(,)lim().lim(,)xxyyzzxxyyuxyufzAvxyv运算性质：)(lim)(lim))()((lim)1(000zgzfzgzfzzzzzz)(lim)(lim)()(lim)2(000zgzfzgzfzzzzzz0)(lim)(lim)(lim)()(lim)3(0000zgzgzfzgzfzzzzzzzz162.函数的连续性定义)()(lim00zfzfzz如果则说f(z)在z0处连续.如果f(z)在区域D内处处连续,我们说f(z)在D内连续.函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z0=x0+iy0处连续的充要条件是u(x,y)和v(x,y)在(x0,y0)处连续.性质：(1)连续函数的四则运算仍然连续；(2)连续函数的复合函数仍然连续；(3)连续函数的模也连续。(4)有界闭区域D上的连续函数必有界，且其模在D上取到最大值与最小值;(5)有界闭区域D上的连续函数必一致连续.17;),(Dzzfw函数1复变函数的导数定义：Dzzz00,zwz0lim极限zzfzzfz-)()(lim000存在,则就说f(z)在z0可导,此极限值就称为f(z)在z0的导数，记作00().zzdwfzdz或0z应该注意：上述定义中的方式是任意的。第二章解析函数容易证明：可导连续。如果f(z)在区域D内处处可导,就说f(z)在Ｄ内可导.181().nnznz-()ln.zzaaa().zzee(sin)coszz2221(tan)sec1tancoszzzz2221(cot)csc(1cot)sinzzzz---(cos)sinzz-(sec)tanseczzz复变函数的导数具有与实函数同样的求导法则。19例2问f(z)=x+2yi是否可导?解：这里0()()limzfzzfzz-0()2()2limzxxyyixyixyi--02limzxyixyi0,zx取002limlim1.zzxyixxyix0,ziy取0022limlim2.zzxyiyxyiy所以f(z)=x+2yi的导数不存在.（即f(z)=x+2yi在整个复平面处处不可导.）202.解析函数的概念函数在一点解析在该点可导。反之不一定成立。在区域内：解析可导.定义解析：在0)(zzf0()fzz在的某邻域内可导.称为解析点，0z否则称为奇点。内解析：在区域Dzf)(()fzD在内处处解析.21ixyxzf2)(20y4．函数何处解析?处处不解析．在何处可导？实轴，22,uvvuxyxy-定理1函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其定义域D内解析的充要条件是u(x,y)与v(x,y)在D内可微,并满足Cauchy-Riemann方程.定理2函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)定义在区域D内一点z=x+iy可导的充分必要条件是:u(x,y)与v(x,y)在点(x,y)可微,在该点满足Cauchy-Riemann方程推论：,(,)uvxyCR-若在处一阶偏导数连续且满足()fzuivzxiy方程,则在处可导.,uv解析可导可微且满足C-R方程23§2.2解析函数与调和函数的关系定义1内的调和函数：为区域实函数Dyxu),(内有二阶连续偏导数，在区域Dyxu),(0yyxxuuu且满足(称为调和方程或Laplace方程)定理1：内的解析函数是区域Dyxivyxuzf),(),()(内的调和函数是区域与Dvu注：逆定理显然不成立，即对区域D内的任意两个调和函数u,v,ivuzf)(不一定是解析函数。24定义2若u与v是区域D内的调和函数且满足C-R方程，则称v为u的共轭调和函数.定理2：()(,)(,)fzuxyivxy函数在区域D内解析v为u的共轭调和函数。解析函数的虚部为实部的共轭调和函数2522),(ayxyxv),(yxuviuzf)(1)0(f1022-aavvyyxx),(yx)0,(xxy0RC-yvuyx2-xvuxy2----),()0,0(1)2()2()(yxCdyxdxyyxu--yCxyCdyx02)2(三、(8分)已知，求常数a以及二元函数，使得为解析函数且满足条件解：由于解析函数实部、虚部都调和，故由方程知：26),(),()(yxivyxuzf)(222yxiCxy--11)0(Cf)(12)(22yxixyzf--12iz由27已知共轭调和函数中的一个，可利用C-R方程求得另一个，从而构成一个解析函数。例题1已知一调和函数22,,uxyxyxy-求一解析函数00.fzuivf使解：2,2xyuxyuyx-由C-R方程22yxvuxyvxydy2122xyycx2,xvycx22xyvuycxyx--由21,2cxxc-2211,2.22vxyyxyxc-所以于是（法一）28222211222fzxyxyiyxyxc--000()00xfcy由从而222221121222ifzxyxyiyxyxz---即为所求解析函数。（法二）0,yxxxyyuuuuxy-因(NMMdxNdyxy已知为某一二元函数的全微分)yxxyudxudyCRvdxvdydv--29,0,0,xyyxvxyudxudyc-(0,0)(x,y)(x,0)002xyxdxxydyc-2211222xxyyc-,0,022xyyxdxxydyc-（法三）22xxxyfzuivuiuxyiyx---222xiyyixxiyixiy--2iz-21.2ifzzc-(000)fc30§2.3初等函数3.1指数函数定义：)sin(cosyiyeeexiyxz1,:00eeeyxzyiyeexiyzsincos:0性质：(1)0zzee定义在全平面上，且(2)zzzeee在全平面解析，且21,)3(2121zzeeezzzz加法定理：(4)2zeip是以为基本周期的周期函数(0,cossin00)xiyzeeyiye3122(cos2sin2,)zkizkizzeeeekikekZpppp(5)lim.zze不存在(lim,lim0)zzzxzxee-3.2三角函数定义：,2sinieeziziz--,2cosizizeez-性质：(1)Euler公式仍然成立：zizeizsincos(2)全平面解析函数，且sincos,cossinzzzz-(3)各种三角恒等式仍然成立(半角公式除外)(4)sinz为奇函数，cosz为偶函数323.3双曲函数定义：eeeech,sh.22zzzzzz---（1）全平面解析函数：,.shzchzchzshz（2）以2pi为基本周期的周期函数：2,2.shzki