复变函数与积分变换----第五章----复旦大学出版社

§5.1留数1.留数的定义如果z0是f(z)的孤立奇点，那么对于解析圆环内包含z0的正向简单闭曲线C，上述积分只与f(z)和z0有关，而与C无关，但积分值不一定为零.f(z)在z0的邻域内可展开成罗朗级数：0()()nnnfzazz其中101()d,0,1,2,2π()nnCfaniz11()d2πCafi1()d2πCfia把f(z)在z0处的罗朗级数中(z−z0)−1项的系数a−1称为f(z)在孤立奇点z0处的留数，记为Res[f(z),z0]=a−1,即Res[f(z),z0]=.1()d2πCfzzi例5.1求下列积分的值，其中C为包含z=0的简单正向闭曲线.3(1)cosdCzzz12(2)edzCz解：(1)令f(z)=z−3cosz，则z=0为f(z)的孤立奇点.246cos1,.2!4!6!zzzzz3311(),0,24!6!zzfzzzz所以Res[f(z),0]=.123cosdCzzzi(2)令f(z)=，则z=0为f(z)的孤立奇点.21ez2e1,,1!2!!nzn以代入上式，得21z242111111()1,0.1!2!!nfzzzznz所以，Res[f(z),0]=0.12ed0zCz2.留数定理定理5.1(留数定理)设函数f(z)在区域D内除有有限个孤立奇点z1,z2,…,zn外处处解析，C是D内包围这些奇点的一条正向简单闭曲线，那么1()d2πRes(),.nkkCfzzifzz证明：以zk为圆心，作完全含在C内且互不相交的正向小圆Ck:|z−zk|=k,(k=1,2,…,n)，由复合闭路上的柯西积分定理，有12()d()d()d()d.nCCCCfzzfzzfzzfzz但()d2πRes(),.1,2,,.kkCfzzifzzkn1()d2πRes(),nkkCfzzifzz于是有3.留数的计算方法(1)如果z0为f(z)的m级极点，那么010011Res(),lim()1!mmmzzdfzzzzfzmdz证明：因为z0是f(z)的m级极点，故在z0的邻域中有01()()mfzgzzz其中g(z)在z0处解析，且g(z0)0.于是0000000()()1()()(),!!nnnnmmnngzgzfzzzzznnzz其中(z−z0)−1的系数为.(1)0()1!mgzm又g(z)=(z−z0)mf(z)，因而得到011001()1lim().1!1!mmmmzzgzdzzfzmmdz(2)若z0是f(z)的一级极点，那么00Res[(),0]lim()().zzfzzzfz例5.2求f(z)=分别在z=0和z=1的留数.252(1)zzz解：z=0是f(z)的一级极点，故21052Res[(),0]lim()lim2.(1)zzzfzzfzzz=1是f(z)的二级极点，得2121Res[(),1]lim1()5(52)lim2.zzdfzzfzdzzzz(3)设f(z)=,P(z),Q(z)在z0都是解析的.如果P(z0)0,Q(z0)=0且Q'(z0)0，那么z0是f(z)的一级极点，因此有()()PzQz000()Res[(),]()PzfzzQz证明：因Q(z0)=0及Q'(z0)0，所以z0为Q(z)的一级零点，由，其中(z)在z0解析且(z0)0，于是011()()zQzzz01()()()fzzPzzz因为在z0解析且(z0)P(z0)0，故z0为f(z)的一级极点.0000000000000()Res[(),]lim()()lim()()()lim()()()()()lim.()()()zzzzzzzzPzfzzzzfzzzQzPzzzQzQzPzPzQzQzQzzz例5.3计算f(z)=在z=0处的留数.esinzz解:P(z)=ez,Q(z)=sinz，于是P(0)=1,Q(0)=0,Q'(0)=1.0Res[(),0]1(0)PfzQ例5.4计算f(z)=在z=0处的留数.6sinzzz解：因为35663sin111[()]3!5!1111,3!5!zzzzzzzzzz所以16sin1Res,0.5!zzaz例5.5计算积分，这里C:|z–1|=取正向.222d(1)(1)Czzzz3解：令f(z)=，则z1=i,z2=–i为f(z)的两个一级极点，z3=1,z4=–1为f(z)两个二级极点.z1,z2,z3位于C的内部.222(1)(1)zzz由留数定理，31()d2πRes[(),].kkCfzzifzz221Res[(),]lim()()lim.(1)()8zizizfzizifzzzi1Res[(),].8fzi22211Res[(),1]lim{(1)()}lim(1)(1)zzddzfzzfzdzdzzz323221311lim.(1)(1)8zzzzzz于是111π()d2π().8884Cifzzi4.在无穷远点的留数设函数f(z)在圆环域R|z|内解析，C为这圆环域内绕原点的任何一条简单闭曲线，那么称f(z)沿C的负向积分值称为f(z)在点的留数，记作Res[f(z),]=.1()d2πCfzzi1()d2πCfzzi111Res[(),]()d()d,2π2πCCfzfzzfzzbiif(z)在点的留数等于它在点的去心邻域R|z|内的罗朗展开式中z–1的系数的相反数.定理5.2如果函数f(z)在扩充的复平面内只有有限个孤立奇点，那么f(z)在所有奇点（包括点）的留数之和为零.证明：取r充分大，使f(z)的有限个孤立奇点zk(k=1,2,…,n)都在|z|r中.由留数定理，得其中积分取圆周的正项.1()d2πRes[(),]nkkzrfzzifzz于是就有1Res[(),]()d2zrfzfzzi1Res[(),]Res[(),]0nkkfzfzz例5.6判定z=是函数f(z)=的什么奇点？并求f(z)在点的留数.223zz解：因为所以点是可去奇点.lim()0,zfzf(z)在复平面内仅有i和–i为一级极点3332Res[(),3]lim13zizfzizi32Res[(),3]lim13zizfziziRes[(),]Res[(),3]Res[(),3]112fzfzifzi§5.2留数在积分计算上的应用1.形如的积分()dRxxR(x)=为有理函数，P(x)=xm+a1xm–1+…+am,Q(x)=xn+b1xn–1+…+bn,P(x),Q(x)为两个既约实多项式，Q(x)没有实零点，且n–m2.()()PxQx复函数R(z)=，则除Q(z)的有限个零点外，R(z)处处解析.()()PzQz由留数定理，得1()d()d2πRes[(),].rrskkrCRxxRzzifzz当r充分大时，右端的值与r无关.111111111111().11mmmmnmnmnnnnazazazazRzbzbzbzbzzz故存在常数M，当|z|充分大时，有2().nmMMRzzz令z=，于是eirππ00π20()d(e)ed(e)dπd0()riiiCRzzRrriRrrMMrrrr令r得1()d2πRes[(),].skkRxxiRzz例5.7计算积分.242d109xxxxx解：记R(z)=，R(z)在上半平面内有2个一级极点z1=i和z2=3i.242109zzzz1Res[(),]16iRzi37Res[(),3]48iRzi2421375d2π[]π.109164812xxiixixx例5.8计算积分.240d1xxx解：R(x)=为偶函数，241xx224401dd.121xxxxxxR(z)的分母高于分子两次，在实轴上无奇点，在上半平面上有两个一级极点，22(1),(1)22ii21Res[(),(1)]242iRzii21Res[(),(1)]242iRzii24112d2π[]π.124242xiixxi2402dπ.14xxx2.形如的积分()ed(0)ixRxxR(x)是实轴上连续的有理函数，而分母的次数n至少要比分子的次数m高一次(n–m1).1()ed2Res[e(),].sixixkkRxxiRzz其中zk(k=1,2,…,s)是R(z)在上半平面的孤立奇点.取积分曲线Cr，当r充分大，使zk(k=1,2,…,s)全落在曲线Cr与[–r,r]所围成的区域内.1()ed()ed2Res[e(),].rrsixizixkCkrRxxRzziRzz又n–m1，故充分大的|z|，有()MRzz因此sincos0πsin0ππ2sinsin00()ed(e)ed(e)eded2ed.rizirirCirrrRzzRrrRrrMM当时，，所以有π022sinπ2ππ20π()ed2ed(1e).rizrrCMRzzMr当r时，()ed0rizCRzz1()ed2Res[e(),].sixixkkRxxiRzz1()cos()sind2πRes[()e,].sizkkRxxdxiRxxxiRzz例5.9求积分.20cosd45xxxx解：设R(z)=，则R(z)的分母高于分子二次，实轴上无奇点，上半平面只有一个一级极点z=–2+i，2145zz2122()ed2πRes[()e,2]2πlim[(2)]()eee2πlim2π.22ixizizziiziziRxxiRziiziRziizii1212cosedRe[2π]πecos2.452ixxixxi例5.10计算积分的值.0sindxxx解：取函数f(z)=，并取围道如图所示，在此围道中f(z)是解析的eizz由柯西积分定理，得eeeedddd0.rRrRixizixizRCrCxzxzxzxz令x=–t，则有eeeddd.rrRixitixRRrxtxxtx所以有即eeeeddd0.RrRixixizizrCCxzzxzzsinee2ddd0.RrRizizrCCxixzzxzz由于π2eππsin00sin0eeddedπ22ed(0,sin)2ππ(1e),iRiRizRCRRzRzRR时所以elimd0.RizRCzz又因为其中(z)在z=0解析，且(0)=i.因此当|z|充分小时，可设|(z)|2.1e11(),2!!iznnzziizzznz由于edd()d,rrrizCCCzzzzzz而0πde